1、 1 第4 节 直接证明与间接 证明、数学归纳法 【选题 明细 表】 知识点 、方 法 题号 综合法 3,5,8,12 分析法 10,11 反证法 1,2,4,9 数学归 纳法 6,7,13 基础对 点练(时间:30 分钟) 1. 用反 证法 证明 某命 题时, 对结论 “自 然 数a,b,c 中 恰有一 个偶 数” 正确 的反 设是( B ) (A) 自 然数a,b,c 中 至少 有 两个偶 数 (B) 自 然数a,b,c 中 至少 有 两个偶 数或 都是 奇数 (C) 自 然数a,b,c 都 是奇 数 (D) 自 然数a,b,c 都 是偶 数 解析: “恰 有一 个偶 数” 反 面应是 “
2、至 少有 两个 偶数 或都是 奇数”. 故选B. 2. 设x,y,z0, 则三 个数+,+,+( C ) (A) 都 大于2 (B)至 少有 一个 大于2 (C) 至 少有 一个 不小 于 2 (D)至 少有 一个 不大 于 2 解析: 假设 三个 数都 小于2, 则+bc (B)bca (C)cab (D)acb 解析: 因为a= - = , b= - = , c= - = , 又因为 + + + 0, 所以abc. 4.(2014 高 考山 东卷)用 反 证法证 明命 题 “设a,b 为实 数,则 方程x 3 +ax+b=0 至 少 有一个 实根 ” 时,要 做的 假设 是( A ) (A
3、)方程 x 3 +ax+b=0 没有 实 根 (B)方程 x 3 +ax+b=0 至多 有 一个实 根 (C)方程 x 3 +ax+b=0 至多 有 两个实 根 (D)方程 x 3 +ax+b=0 恰好 有 两个实 根 2 解析: 至少 有一 个实 根的 否 定是没 有实 根, 故要 做的 假 设是“ 方 程 x 3 +ax+b=0 没 有实根 ”. 故 选A. 5.(2016 成都模拟) 已 知 函 数 f(x)=() x ,a,b 是 正 实 数,A=f( ),B=f( ),C=f( ), 则 A,B,C 的大 小关 系为( A ) (A)A BC (B)AC B (C)B CA (D)C
4、B A 解析: 因为 , 又f(x)=() x 在R 上 是减 函 数, 所以 f( )f( ) f( ), 即ABC. 故选 A. 6. 用数 学归 纳法 证明 + + 时, 由 k 到 k+1, 不 等式 左 边的变 化是( C ) (A)增加 项 (B)增加 和 两项 (C)增加 和 两项 同时 减少 项 (D) 以 上结 论都 不对 解析:n=k 时,左边= + + n=k+1 时, 左边= + + , 由“n=k ” 变成 “n=k+1”时,不 等式 左边 的变 化是 + - . 7. 设ab0,m= - ,n= ,则m,n 的大 小关 系是 . 解析: 法一 取a=2,b=1, 得
5、m a0,显 然成 立,故m0, 用 分析 法证 明 - a+-2. 证明: 要证 - a+-2, 只需证 (a+)-(2- ). 因为a0, 所以(a+)-(2- )0, 所以只 需证( ) 2 (a+)-(2- ) 2 , 即2(2- )(a+)8-4 , 只需 证a+ 2. 因为a0,a+ 2 显然 成立(a=1 时等 号成 立), 所以要 证的 不等 式成 立. 能力提 升练(时间:15 分钟) 11. 分 析法 又称 执果 索因 法,若用 分析 法证明:“设 abc, 且 a+b+c=0,求证 0 (B)a-c0 (C)(a-b)(a-c)0 (D)(a-b)(a-c)bc, 且a+
6、b+c=0 可得 b=-a-c,a0,c0, 即证a(a-c)+(a+c)(a-c)0, 即证a(a-c)-b(a-c)0, 即证(a-c)(a-b)0. 故求证 “ 0. 12. 对 于 函 数 f(x), 若 a,b,c R,f(a),f(b),f(c) 都 是 某 一 三 角 形 的 三 边 长, 则称 f(x) 为 “ 可构 造三 角形 函数 ”. 以 下说法 正确 的是( D ) (A)f(x)=1(x R) 不 是“ 可 构造三 角形 函数 ” (B) “ 可构 造三 角形 函数 ” 一定是 单调 函数 (C)f(x)= (xR) 是“ 可构 造三角 形函 数” (D) 若 定义
7、在 R 上 的函 数 f(x)的 值域 是 ,e(e 为 自 然对数 的底 数), 则 f(x) 一 定是“ 可构 造三角 形函 数” 解析: 对于 A 选项, 由题 设 所给的 定义 知, a,b,c R,f(a),f (b),f(c) 都 是某 一正三 角形 的 三边长,是 “可 构造 三角 形 函数”,故A 选 项错 误; 对于B 选项,由A 选 项判 断 过程知,B 选项 错误; 对于C 选项,当a=0,b=3,c=3 时,f(a)=1f(b)+f(c)=,不构 成三 角形, 故C 错误; 对于D 选项,由于 + e,可知,定义在R 上的 函数f(x) 的 值域是 ,e(e 为 自然
8、对数 的底 数), 则f(x) 一 定是 “可 构造 三 角形函 数”. 13. 设a0,f(x)= ,令 a1=1,an+1=f(an),n N * . (1)写出 a2,a3,a4 的值, 并猜 想数列an 的通 项公 式; (2) 用 数学 归纳 法证 明你 的 结论. (1) 解: 因为 a1=1,所以 a2=f(a1)=f(1)= ; a3=f(a2)= ;a4=f(a3)= . 猜想an= (nN * ). (2)证明: 易知,n=1 时, 猜想正 确. 假 设n=k 时猜 想正 确, 5 即ak= , 则ak+1=f(ak)= = = = . 这说明,n=k+1 时猜 想正 确.
9、 由 知, 对于 任何nN * , 都有an= . 精彩 5 分钟 1. 已 知 三 个 不 等 式 ab0; ; bcad. 以 其 中 两 个 作 条 件, 余 下 一 个 作 结 论, 则可组成 个正确 命题. 解题关 键:-= . 解析: 此 题 共 可 组 成 三 个 命 题 即 ; ; . 若 ab0, 则-= 0, 得 bc-ad0, 即可得命题 正确; 若 ab0,bcad, 则 =-0, 得,即命题 正确; 若bcad,则-= 0, 得ab0, 即命 题 正 确. 综 上可得 正确 的命 题有 三个. 答案: 三 2. 凸 函 数 的 性 质 定 理 为 如 果 函 数 f(
10、x) 在 区 间 D 上是凸函数, 则对于区间 D 内 的 任 意 x1,x2, ,xn, 有 f( ), 已知 函数y=sin x 在 区间(0, )上是 凸函 数,则 在ABC 中,sin A+sin B+sin C 的 最大 值为 . 解题关 键: 利用 所给 凸函 数 的性质 求解. 解析: 因为f(x)=sin x 在 区间(0, ) 上是 凸函 数, 且A,B,C (0, ), 所以 f( )=f(), 6 即sin A+sin B+sin C 3sin = , 所以sin A+sin B+sin C 的最大 值为 . 答案: 3.(2016 洛 阳模 拟) 下面 有4 个命 题:
11、 当x0 时,2 x + 的最 小值 为 2; 若双 曲线-=1(a0,b0) 的一条 渐近 线方 程为 y= x,且其一 个焦 点与 抛物 线 y 2 =8x 的焦 点 重合, 则双 曲线 的离 心率 为 2; 将函 数y=sin 2x 的图 象 向右平 移 个 单位,可 以得 到 函数 y=sin(2x-)的 图象; 在 Rt ABC 中,AC BC,AC=a,BC=b, 则ABC 的外 接 圆半 径r= ; 类比到 空间,若 三棱 锥 SABC 的三 条侧棱 SA,SB,SC 两 两互相 垂直,且 长度 分别 为 a,b,c,则三 棱锥SABC 的外 接球 的半 径 R= . 其中错 误命 题的 序号 为 . 解题关 键: 对四 个命 题的 真 假性逐 一作 出判 断. 解析: 对于 ,2 x +取 得最 小 值为 2 的条 件是 x=0,这与 x0 相矛 盾; 对于 ,将 函数 y=sin 2x 的图象向 右平移 个单位, 可 以得到函 数 y=sin2(x-)=sin(2x-)的 图象; 易证 成立;对于 , 可将该 三棱 锥补 成长 方体, 其外接 球的 直径 恰好 是长 方体的 体对 角线. 答案:
