1、第 2 章,正弦交流电路,本章主要内容,正弦交流电的基本概念 正弦量的相量表示方法 单一元件正弦交流电路 复杂正弦交流电路的分析 功率因数及功率补偿,正弦交流电的基本概念,正弦交流电与正弦交流电路 正弦量的三要素 例题分析,正弦交流电与正弦交流电路(1),所谓正弦交流电就是指大小和方向随时间按正弦规律变化的交流电压和交流电流的总称.,正弦交流电与正弦交流电路(2),正弦电压和电流都是按正弦规律周期性随时间变化的.,其波形图可用正弦曲线来表示：,正弦交流电与正弦交流电路(3),如果在线性电路中施加正弦激励（正弦交流电压源或正弦交流电流源），则电路中的所有响应在电路达到稳态时，也都是与激励同频率的
2、正弦量，这样的电路，我们习惯上称为正弦交流电路。,激励,响应,正弦量的三要素,正弦量的特征表现在变化的快慢、大小及初值三个方面，它们分别由频率(或周期)、幅值(或有效值)和初相位来确定。所以称频率、幅值和初相位为正弦量的三要素。 设正弦电流为,幅值,角频率,初相位,周期与频率正弦量的快慢(1),交流电往复变化一周需要的时间称为周期,它也是波形再次重复出现所需的最短时间间隔,通常用字母 T 表示,如图所示,它的单位是秒(s)。,例如频率 f =50Hz的交流电,其周期为,T=0.02s,因为我们的工业生产和日常生活中所使用的交流电的频率就是50Hz，所以，我们称频率f=50Hz的交流电为工频交流
3、电。,周期与频率正弦量的快慢(2),工程中常用的一些频率范围：,中频电炉的工作频率为5008000Hz；,高频电炉的工作频率为200300kHz；,无线电工程的频率为104301010Hz。,低频电子工程的频率为2020103Hz。,正弦量变化快慢的衡量有时还用角频率来描述。它与频率和周期的关系为,正弦量的大小 瞬时值、幅值与有效值(1),正弦交流电流、电压的大小可表示如下:,瞬时值：任一时刻交流电量值的大小就叫瞬时值,都用小写字母i、u表示, 它们都是时间的函数,不同时刻其量值也不同。,如图，在t2时刻的值为i(t2)在t3时刻的值为i(t3)。,正弦量的大小 瞬时值、幅值与有效值(2),最
4、大值(幅值) 在一个周期里最大的瞬时值叫最大值,它是交流电的振幅,通常用大写字母并加注下标m表示。如Im、Um。,可见，最大值实际上就是最大的瞬时值，也是与时间有关的量。,在工程中，表示正弦电压与电流的大小不是瞬时值也不是幅值，而是有效值。,正弦量的大小 瞬时值、幅值与有效值(3),有效值 若有一交流电流通过电阻R,在一个周期时间内消耗的电能,与数值为I的直流电流在同样的时间内,通过同一电阻所消耗的电能相等,则这个直流电流I的数值就称为该交流电流的有效值。,对任意周期电流都适用。,可见：交流电流的有效值就是与它的平均耗能相等的直流电流值,正弦量的大小 瞬时值、幅值与有效值(4),对于正弦交流电
5、流,正弦交流电的有效值等于它的最大值除以 而与其频率及初相无关。,同理,正弦量的大小 瞬时值、幅值与有效值(5),例题分析 已知 u= Umsint,Um=310V, f =50Hz试求有效值U和t =0.1s 时的瞬时值.,最后应指出有效值与最大值之间的 关系只适用于正弦交流电量。其他非正弦交流量的有效值与最大值之间不存在的关系。,初相位与相位差(1),相位与初相位,对于已知的正弦量,称(t+i) 为正弦交流电流的相位角,简称相位。在不同的时刻正弦量的相位也不同,交流电流的大小和方向也不同。,相位,初相,t=0对应的相位i称为初相位。,初相位与相位差(2),初相用来确定交流电初始瞬时状态。初
6、相是正弦交流电的一个重要的物理量,没有它就无法画出确定的波形图和写出完整的交流电表达式。,相位,初相位,正弦函数,那么，如何画出这两个正弦函数，如何比较它们的关系呢？,初相位与相位差(3),两个同频率正弦量的相位比较：,图中， i 和u分别为u和i 的初相。,画出电压u和电流i 的波形图如下,两个同频率的正弦交流电往往具有不同的相位和初相位，如图中的t+i与i0和t+u与 u i 0所示.,初相位与相位差(4),相位差 我们称两个同频率的正弦交流电在相位上的差值称为相位差,用表示。,相位差 等于初相差,相位差大于零,我们称电压超前电流角,初相位与相位差(5),相位差 可用于表示两个正弦量之间的
7、相对位置关系。,我们称电压滞后电流角,我们称电压与电流同相,初相位与相位差(6),相位差 可用于表示两个正弦量之间的相对位置关系。,我们称电压与电流正交,我们称电压与电流反相,初相位与相位差(7),注意：只有同频率的正弦量的相位差才等于它们的初相之差，与时间t和角频率无关。对于不同频率的正弦量则没有这样的关系，而是与时间有关的量（不是常数）。,由于频率相同,相位差是一个固定的值,它恒等于两个交流电的初相之差。改变计时起点,只影响两个正弦量的初相位,不影响它们的相位差和初相之差,所以，相位差与时间t和角频率无关。在任何瞬时,初相位之差是固定值,所以相位差也是固定值。,例题分析,例： 已知：i1=
8、15sin(314t+45o)A,i2=10sin(314t-30o)A,（1）试问i1与i2的相位差是多少？（2）在相位上i1与i2谁超前？谁滞后？,解（1）,在相位上，i1超前， i2滞后,复数的基本概念,复数的四种表示形式 复数的运算,复数的四种表示形式,复数的直角坐标表示形式,虚数单位 实部 虚部 复数的模 复数的辐角,复数的四种表示形式,复数的极坐标表示形式,直角坐标形式与极坐标形式的互相转换,复数的四种表示形式,复数的三角函数表示形式,复数的四种表示形式,复数的指数函数表示形式,欧拉公式,复数的四种表示形式,直角坐标表示形式 三角函数表示式 指数函数表示形式 极坐标表示式,复数的运
9、算,复数的相等 复数的加减 复数的乘除,已知,复数的运算,正弦量的相量表示方法,正弦量的常见表示方法相量表示法 复数表示法 各种表示法之间的关系 正弦量的计算,正弦量的常见表示方法,正弦量的常见表示方法有：,正弦量的这些表示方法都不利于计算，所以，在电路分析中，我们希望寻求更为简便的表示方法，以方便电路的分析与计算。,三角函数表示法：,正弦波形图示法: (见右图),正弦量的相量表示法,因为正弦量具有三个要素，它们完全可以表达对应的正弦量的特点和共性。所以，利用三要素，我们可以找到多种表示正弦量的方法。其中最形象的方法之一就是相量表示法。,从前面分析可见：复数具有两个要素实部和虚部，或者模和辐角
10、，对于正弦量而言，在同一个电路中，各电压与电流都是相同频率的正弦量，所以，只要确定了幅值和初相位（相量的大小和辐角），该正弦量就完全被确定了，所以，我们可以用复数来表示正弦量相量。,正弦量的相量表示法,如果复平面中有向线段（矢量）的长度等于正弦量的幅值（有效值），有向线段与正实轴的夹角等于正弦量的初相位，则称该矢量为正弦量的幅值（有效值）相量，对应的矢量图为其相量图。,相量,正弦量的相量表示法,用复数表示相量,用指数形式表示,对于相量图,用代数形式表示,用极坐标形式表示,各种表示法之间的关系(1),各种表示法之间的关系各种表示法的转换,用复数的代数形式表示,用复数的指数与极坐标形式表示,用相量
11、图表示,各种表示法之间的关系(2),各种表示法之间的关系多个正弦量的表示,已知,我们称u2超前于u1，u1超前于i,或称u1滞后于u2，i 滞后于u1,各种表示法之间的关系(3),各种表示法之间的关系多个正弦量的表示,如果,可见，u2超前于u1,各种表示法之间的关系(4),各种表示法之间的关系多个正弦量的表示,如果,所以，一个j就是一个90o的旋转因子,相量表示法小结,(1)相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。,注意:,？,(2)只有正弦量才能用相量表示，非正弦量不能用相量表示。,(3)只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。,相量表示法小结,(5)相量的书写方式, 模用最大值表示 ，则用符号
12、：,(4)相量的两种表示形式,相量图: 把相量表示在复平面的图形, 实际应用中，模多采用有效值，符号：,可不画坐标轴,如：已知,正误判断,1.已知：,？,有效值,？,3.已知：,复数,瞬时值,j45,？,最大值,？,？,负号,正弦量的计算,例2: 已知,有效值 I =16.8 A,求：,单一元件的正弦交流电路,电阻元件的正弦交流电路 电感元件的正弦交流电路 电容元件的正弦交流电路,电阻元件的正弦响应(1),电压电流关系,瞬时值关系,可见,电压的幅值等于电流的幅值乘以,电阻元件的正弦响应(2),电压电流关系,有效值关系,可见,所以,电阻元件的正弦响应(3),电压电流关系,相量关系与相量图,电压与
13、电流用相量代替,画出相量图,电阻元件的正弦响应(4),电压电流关系,因为：,所以：,电阻元件的正弦响应(5),电压电流关系,画出相量图：,欧姆定律的复数表达式,电阻元件的正弦响应(6),功率关系,瞬时功率等于在一个直流分量UI的基础上，叠加一个幅值为UI的正弦量。但总有 p0。,瞬时功率在任意瞬时，电压瞬时值u与电流瞬时值i 的乘积，称为瞬时功率，用字母p表示。,对于电阻元件：,电阻元件的正弦响应(7),功率关系,平均功率在一个周期内,瞬时功率的平均值,称为平均功率,用表示,因为平均功率也是电路消耗的功率，所以，也被称为有功功率。,电阻元件的正弦响应(8),功率关系,电阻元件的正弦交流电路中的
14、功率,电阻元件的正弦响应(9),功率关系,例1：有一电阻炉，其额定电压UN220V，额定功率P800W，试求电阻炉的额定电流I和在额定工作状态下的电阻R。,额定电流,额定工作状态下的电阻,解,电阻元件的正弦响应(10),功率关系,例：一只100电阻接入50Hz、有效值为10V的电源上，问电流是多少？若频率改为5000Hz呢？,因电阻与频率无关，所以，电流不会因为频率的改变而改变。,解,电感元件的正弦响应(1),电压电流关系瞬时值关系,u的幅值大小等于i 的幅值乘以L。,电压与电压为同频率的正弦量，在相位上比电流要超前90,电感元件的正弦响应(2),电压电流关系有效值关系,定义,具有电阻的量纲,
15、感抗,电感元件的正弦响应(3),电压电流关系感抗的性质,是一个随频率变化的量，反映了电感元件阻碍电流随频率变化的能力。,对电流的阻碍能力为0对直流相当于短路,对电流的阻碍能力为对高频交流相当于开路。,电感元件的感抗与频率成正比,电感元件的正弦响应(4),电压电流关系相量关系,复感抗,欧姆定律复数表达式,画出相量图：,电感元件的正弦响应(5),功率关系瞬时功率,可见，P是以幅值为UI、角频率为2t 变化的交变量。,电感元件的正弦响应(6),当u 与i的瞬时值为同号时,p0 ,电感元件取用功率(为负载)，磁能增加；当u 与 i 的瞬时值为异号时，p 0，电感元件发出功率(相当于电源)，元件的磁能减
16、少。,释放能量,吸收能量,释放能量,吸收能量,电感元件的正弦响应(7),功率关系平均功率,电感元件不消耗功率.,电感元件的正弦响应(8),功率关系无功功率,由于电感元件在电路中没有能量损耗，只与电源间进行能量交换。其能量交换的规模我们用无功功率Q表示:,为了与平均功率有所区别,无功功率Q的单位为乏(Var)或千乏(kVar).,规定无功功率为瞬时功率p的幅值UI，即,所以平均功率也称为有功功率,电感元件的正弦响应(9),例题分析,一电感交流电路，L=100mH，f=50Hz，已知,求电压u,求电流 i,并画相量图。,由题知感抗为 XL= L=2500.1=31.4,则由相量形式的欧姆定律知：,
17、电感元件的正弦响应(10),例题分析,瞬时值,(2) 电流为,相量图为：,电感元件的正弦响应(11),例题分析,例2：指出下列各式哪些是对的，哪些是错的?,电容元件的正弦响应（1）,电压电流关系瞬时值关系,i的幅值大小等于u的幅值乘以C。,电流与电压为同频率的正弦量，在相位上比电压要超前90,电容元件的正弦响应（2）,电压电流关系有效值关系,定义,具有电阻的量纲,容抗,电容元件的正弦响应（3）,电压电流关系容抗的性质,是一个随频率变化的量，反映了电容元件上的电流随频率变化的能力。,对电流的阻碍能力为对直流相当于开路,对电流的阻碍能力为零对高频交流相当于短路。,电容元件的容抗与频率成反比,电容元
18、件的正弦响应（4）,电压电流关系相量关系,画出相量图：,复容抗,欧姆定律的复数形式,电容元件的正弦响应（5）,功率关系瞬时功率,由上式可见，p是一个幅值为UI，并以2的角频率随时间而变化的交变量，其变化波形如下图所示。,当u 与i的瞬时值为同号时，p0，电容元件取用功率(为负载)，电场能量增加；当u与 i 的瞬时值为异号时，p 0，电容元件发出功率(相当于电源)，元件的电场能量减少。,释放能量,吸收能量,释放能量,吸收能量,电容元件的正弦响应(6),功率关系平均功率P(有功功率),电容元件不消耗功率.,电感元件和电容元件都是储能元件，不消耗有功功率。,电容元件的正弦响应(7),功率关系无功功率
19、Q,电容元件与电感元件一样，不消耗电能,只与电源之间进行能量交换,其能量交换的规模我们用无功功率QC表示:,与电感元件的无功功率进行比较发现,二者形式完全相同,电容元件的正弦响应(8),电容元件的正弦响应(9),为与电感元件的无功功率进行比较，我们也设电流初相为0，即：,由此可见，电容元件的无功功率,如此规定，电容性无功功率要取负值。,电容元件的正弦响应(10),例题分析：把一个25F的电容元件接到频率为50Hz,电压有效值为10V的正弦电源上,问电流有效值是多少?如保持电压值不变,而电源频率改为5000Hz,这时电流将为多少？,当 f =50Hz 时,电容元件的正弦响应(11),当 f =5
20、000Hz 时,可见，在电压有效值一定时，频率愈高，则通过电容元件的电流有效值愈大。,小结（电压电流关系）,小结（功率关系）,思考题,指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？,在电阻电路中：,在电感电路中：,在电容电路中：,复杂正弦交流电路的分析,正弦交流电路的相量分析方法 RLC串联交流电路 正弦交流电路分析方法小结,正弦交流电路的相量分析方法,复阻抗和阻抗 电路基本定律的相量形式 复阻抗的串并联等效变换,复阻抗与阻抗,复阻抗：,阻抗：,阻抗角：,单一元件的复阻抗,电路基本定律的相量形式,基尔霍夫电流定律(KCL)：,基尔霍夫电压定律(KCL)：,欧姆定律：,复阻抗的串联等效变换,分压公式：,
21、Z =Z1+Z2,总复阻抗：,复阻抗的并联等效变换,分流公式：,总复阻抗：,R、L、C串联交流电路（1）,电抗,电压 三角形,R、L、C串联交流电路（2）,阻抗 三角形,R、L、C串联交流电路（3）,在RLC串联电路中，当R0时，感抗XL与容抗XC的大小对于电路性质的影响。,电路中的电流将滞后于电路的端电压。在这种电路中电感的作用比电容的作用大，称为电感性电路。,UL UC,R、L、C串联交流电路（4）,在RLC串联电路中，当R0时，感抗XL与容抗XC的大小对于电路性质的影响。,电路中的电流将超前于电路的端电压。在这种电路中电容的作用比电感的作用大，称为电容性电路。,UL UC,R、L、C串联
22、交流电路（5）,电路中的电流与电压同相，二者的作用相互抵消，这种电路称为电阻性电路，这种纯电阻性现象称为谐振。,UL =UC,R、L、C串联交流电路（6）,储能元件上的瞬时功率,耗能元件上的瞬时功率,在每一瞬间,电源提供的功率一部分被耗能元件消耗掉,一部分与储能元件进行能量交换。,(1) 瞬时功率p,设：,R、L、C串联电路的功率(1),(2) 平均功率P （有功功率）,单位: W,总电压,总电流,u 与 i 的夹角,R、L、C串联电路的功率(2),(3) 无功功率Q,单位：var,总电压,总电流,u 与 i 的夹角,根据电压三角形可得：,根据电压三角形可得：,R、L、C串联电路的功率(3),
23、(4) 视在功率 S,电路中总电压与总电流有效值的乘积。,单位：VA,注： SNUN IN 称为发电机、变压器 等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。,R、L、C串联电路的功率(4),阻抗三角形、电压三角形、功率三角形,将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形,将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形,例题分析(1),RLC串联电路，已知R=30, L=127mH, C=40F,电源电压u=310sin (314t+20)V.求：,(1)电路的感抗、容抗和阻抗； (2)电流有效值及瞬时值的表达式 (3)各部分电压有效值及瞬时值的表达式 (4)作相量图； (5)电路的
24、功率P和Q。,(1) 感抗,容抗,阻抗,例题分析(2),RLC串联电路，已知R=30, L=127mH, C=40F,电源电压u=310sin (314t+20)V.求：,(2)电流有效值,相位差角,(3)电阻端电压,电感端电压,例题分析(3),RLC串联电路，已知R=30, L=127mH, C=40F,电源电压u=310sin (314t+20)V.求：,电容端电压,只有：,显然：,(4)相量图如右所示：,例题分析(4),RLC串联电路，已知R=30, L=127mH, C=40F,电源电压u=310sin (314t+20)V.求：,(5)电路的功率,电路的无功功率,视在功率,解毕,例题
25、分析(5),日光灯示意图如图,已知灯管电阻R=530,镇流器参数r=120,L=1.9H,电源电压U=220V,求：I、U1、U2、电路功率因数cos，,解：总阻抗,例题分析(6),日光灯示意图如图,已知灯管电阻R=530,镇流器参数r=120,L=1.9H,电源电压U=220V,求：I、U1、U2、电路功率因数cos，,与 的相位差：,解毕,3.RLC串联电路中是否会出现 ，,2.RLC串联电路的 是否一定小于1？,1.假设R、L、C 已定，电路性质能否确定？阻性？感性？容性？,的情况？,4.在RLC串联电路中, 当LC时, u超前i ，当L C时，u滞后i ，这样分析对吗？,正误判断,？,
26、？,？,？,在RLC串联电路中，,？,？,？,？,？,？,？,？,？,？,一般正弦交流电路的解题步骤,1. 根据原电路图画出相量模型图(电路结构不变),2. 根据相量模型列出相量方程式或画相量图,3. 用相量法或相量图求解,4. 将结果变换成要求的形式,有功功率 P,有功功率等于电路中各电阻有功功率之和， 或各支路有功功率之和。,无功功率等于电路中各电感、电容无功功率之 和，或各支路无功功率之和。,无功功率 Q,或,或,电路参数与电路性质和功率的关系,R、L、C混联电路分析举例(1),例1.图示电路中，安培计A1和A2的读数分别为I1=7A，I2=9A。 （1）设Z1=R，Z2=jXC，则安培
27、计A0的读数应为多少？ （2）设Z1=R，问Z2为何种参数才能使A0的读数为最大？此读数应为多少？ （3）设Z1=jXL，问Z2为何种参数才能使A0的读数为最小？此读数应为多少？,A1,A2,A0,Z1,Z2,解：（1）,（2）当Z2为电阻时，A0的读数最大，为7+9=16A,（3）当Z2为电容时，A0的读数最小，为|79|=2A,设 为参考相量,45,例2: 图示电路中， 试求 I，XC，XL及R2。,R、L、C混联电路分析举例(2),例3: 图示电路中， 试求：（1）二端网络的串联等效电路；（2）二端网络的功率因数，输入的有功功率和无功功率。,无源 网络,i,u,(1),所以等效电路的 R
28、=4.25 ，XL=40.48,（2）,R、L、C混联电路分析举例(3),例4:图示电路中，已知R1=R2=R3=10，L=31.8mH，C=318F，f=50Hz，U1=10V。试求并联支路端电压U2及电路的P，Q，S及cos。,电路为纯电阻，,R、L、C混联电路分析举例(4),例5 图示电路中，, 分别用支路法、叠加原理和戴维南定理求流过Z2的电流 。,（1）用支路电流法,解方程组得：,R、L、C混联电路分析举例(5),（2）用叠加原理,当电压源单独作用时,当电流源单独作用时,R、L、C混联电路分析举例(6),（3）用戴维南定理,将Z2开路,则戴维南等效电路为：,R、L、C混联电路分析举例
29、(7),电路的谐振,在同时含有L 和C 的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。,研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危害。,谐振的概念：,串联谐振(1),RLC串联谐振的条件：,电源电压u与电路中的电流i同相，电路发生谐振,谐振条件,串联谐振(2),RLC串联谐振的条件：,谐振频率,谐振角频率,谐振是电路本身的特性，所以，要使电路达到谐振可以通过调节电路参数和电源频率来实现。如：调节L、C或者电源的频率f。,串联谐振(3),RLC串
30、联谐振的特点：,因为串联谐振发生在XL=XC处，所以，谐振时电路的阻抗最小，呈电阻性。,由于阻抗最小，所以，在电压有效值一定时，电路中电流获得最大值。如果电路中电阻很小，则总电流会很大。,串联谐振(4),RLC串联谐振的特点：,由于电感上的电压和电容上的电压远远大于电源电压，所以，我们称串联谐振为电压谐振。,注意：电力工程中应避免串联谐振的发生,串联谐振(5),RLC串联谐振的特点：,为了衡量电路中元件电压比电源电压高出多少，我们引入了品质因数Q,可见，Q值越高，电容（电感）元件两端的电压比电源电压高的越多，R越小，Q值就越大。,串联谐振(6),RLC串联谐振的应用：,串联谐振在无线电工程中应
31、用广泛，利用谐振的选择性对所需频率的信号进行选择和放大。而对其它不需要的频率加以抑制。,为通频带,串联谐振(7),RLC串联谐振的应用：,等效电路,无线电信号经天线接受，由L1耦合到L上。LC经谐振选择使某个电波信号与谐振频率f0相同进行选择。,当谐振曲线比较尖锐(Q大)时，被选择信号比其相邻的信号相对大得多；而Q小则选择性差。,功率因数的提高(1),功率因数提高的意义,(1)使电源容量得到充分利用,(2)减小输电线上的电压降和功率损耗，提高输电效率,当电源电压U和输送的有功功率P一定时，随着cos的降低，则输电线上的电流将增加。由于输电线本身具有阻抗，所以，电流的增加将导致阻抗压降的增加，从
32、而线路上的功率损耗增加。,功率因数的提高(2),40W220V白炽灯,40W220V日光灯,供电局一般要求用户的 否则受处罚。,功率因数cos 低的原因感性负载的存在,功率因数的提高(3),功率因数的提高(4),(2) 提高功率因数的措施,必须保证原负载的工作状态不变。即： 加至负载上的电压和负载的有功功率不变。,在感性负载两端并电容,(1) 提高功率因数的原则,功率因数的提高(5),结论,并联电容C后,(3) 电路总的有功功率不变,因为电路中电阻没有变， 所以消耗的功率也不变。,功率因数的提高(6),并联电容值的计算,相量图:,又由相量图可得,即:,功率因数的提高(7),本章教学基本要求,理解正弦交流电的三要素、相位差，有效值和相量表示法。 理解电路基本定律的相量形式和相量图，掌握用相量法计算简单正弦交流电路的方法。 了解正弦交流电路瞬时功率的概念，理解和掌握有功功率、功率因数的概念和计算，了解无功功率和视在功率的概念，了解提高功率因数的方法及其经济意义。,本章习题,2.4 2.7 2.8 2.10 2.11 2.13 2.18,
