1、1,例题.半径为r的车轮A在直线轨道上作纯滚动.写出其轮心A点的速度vA加速度aA与车轮的转动角速度角加速度之间的关系.,2,y,x,o,x,y,B,C,解:取A为基点建立静系O xy 和随基点A 平动的动系A xy .,由 xA = r 得:,（开始运动时，轮上B点 与地面O点接触。）,3,例题. 椭圆规的构造如图所示.滑块A和B分别可在相互垂直的直槽中滑动,并用长l =20cm的连杆 A B 连接.设已知vA= 20cm/s, 方向如图示.求 =30时滑块B和连杆中点C的速度.,4,解:取A为基点B为动点.,vB = vA + vBA (1),把(1)式向AB方向投影得:,vB sin =
2、 vA cos,vB = vA ctg = 34.64 cm/s,把(1)式向 vA方向投影得:,0 = vA - vBA sin,vBA = 40 cm/s=20, = 2 rad/s (顺时针）,vA,vA,vB,vBA,5,取A为基点C为动点.,vC = vA + vCA (2),vCA = (CA) = 20 cm/s,对(2)式应用余弦定理得:,vA = 20 cm/s,6,直接建立点的运动方程.,O,x,y,由 vA = -20 cm/s , =30得: = 2 rad/s,vB = l cos = 34.64 cm/s,vA = -l sin,得: vC = 20 cm/s,7,
3、例题.在图示机构中,已知曲柄O1A的角速度,求滑块C的速度.图中O1A = r, O2B= BC= l .,8,解:分析A, B和C点的运动并画速度矢量图.,vA,vB,vC,由速度投影定理得:,vAcos= vBcos(+),vBcos(90-2)= vCcos,联立上述两式得:,vA= r,9,例9-5 如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CDED。,求：此瞬时点E的速度。,10,解： 1、 AB作平面运动,11,2、CD作定轴转动，转动轴：C,
4、3、DE作平面运动,12,例题.图示为一连杆滑块机构. 连杆长AB=BC= 3m,已知滑块 A以等速 vA = 0.2m/s向右运动. 在图示瞬时, 连杆AB的角速度 AB = 0.4 rad/s.求此瞬时滑块 C的速度和连杆BC的角速度 BC .,13,解:取B为动点,分别取A和C为基点画速度矢量图.,vB = vA + vBA (1),vB = vC + vBC (2),vA + vBA = vC + vBC (3),联立(1)和(2)式得:,vA,vBA,vC,vC,vBC,tg = 0.75,tg = 1,vBA = 1.2 m/s,14,把(3)式向BC方向投影得:,- vA sin
5、 + vBA cos(90-2) =- vC cos(90- - ),vC = -1.02 m/s,把(3)式向 vA 方向投影得:,vA- vBAcos = vCcos + vBCcos,vBC= -0.06 m/s=BC 3,BC = -0.02 rad/s,BC,15,3.瞬心法,(1)问题的提出,既然基点是任选的,若选取速度等于零的点为 基点,问题将大大的简化. 那么, 在某一瞬时,图形 上速度等于零的点如何确定?,vM = vo + vMO (1),(1)式是应用基点法求 平面图形上任一点速度 的合成公式.,16,设在某一瞬时,已知图形上A点的速度为vA图形的角速度为.,vc = v
6、A - vCA = vA - (AC) = vA -(vA/) = 0,L,L,C,vA,vCA,17,一般情况下,在平面图形中,每一瞬时 都唯一地存在着速度等于零的点.该点称为平面图形 在此瞬时的瞬时速度中心.简称速度瞬心.,N,M,vM =(CM),vM,vN,vN =(CN),图形上任一点的速度大小与该点到速度瞬心C的 距离成正比,其速度方位垂直于该点与速度瞬心C的 连线. C又称为平面图形的瞬时转动中心. CM和 CN 称为瞬时转动半径.,18,速度瞬心可在平面图形内,也可在平面图形外.且 它的位置不是固定不变,而是随着时间变化的.,(2)速度瞬心的确定,C,(a)当平面图形沿某一固定
7、面作无滑动的滚动时,图形上与固定面的接触点C即为该图形的瞬心.,C,19,(b)已知在某瞬时图形上任意两点A和B速度的方位且它们互不平行.则通过两点A和B分别作速度vA 和 vB 的垂线其交点C即为瞬心.,C,20,(c)已知在某瞬时图形上A和B两点的速度互相平行,且垂直于A B的连线 ,但速度大小不等.则此时AB直线与两速度矢量 vA和 vB 的终端连线的交点C 即为瞬心.,C,C,21,(d)已知在某瞬时图形上A 和 B两点的速度的方位互相平行,但不垂直于A B的连线.此时瞬心在无穷远处.这种情况称为瞬时平动.,AB=0 AB0,22,例题. 在图示机构中,已知曲柄O1A的角速度.确定平面
8、运动杆件的瞬心.图中O1A = r, O2B = BC = l .,23,解:AB杆和BC杆作平面运动.其瞬心分别 为C1和C2,C1,C2,24,例题.图示瞬时滑块A以速度 vA 沿水平直槽向左运动,并通过连杆AB带动轮B沿园弧轨道作无滑动的滚动.已知轮B的半径为r,园弧轨道的半径为R,滑块A离园弧轨道中心O的距离为l .求该瞬时连杆AB的角速度及轮B边缘上M1,M2和M3各点的速度.,25,解: 轮B和杆AB作平面运动,C为轮B 的瞬心.,C,vB,杆AB作瞬时平动. AB = 0,vA = vB,B,vM1,vM2,vM3,vM1 = 2 vB = 2 vA,vM2 = (CM2)B =
9、,vM3 = (CM3)B =,26,例题：半径为r的行星齿轮A由曲柄OA带动，沿半 径为R的固定齿轮O作纯滚动。设曲柄OA 以匀角速度o转动。求轮A上M点的速度。（AMOA）,解：齿轮A的瞬心为C点。,VA=(r+R)o=rA,A=(r+R)o/r,A,VM,27,例题.半径为R的车轮沿直线轨道作无滑动的滚动,如图所示.已知轮心 A在图示瞬时的速度为vA.求该瞬时车轮角速度 .,28,解:轮A作平面运动 C为其瞬心. VA=R,29,例题. 图示曲柄肘式压床,已知曲柄OA的角速度 = 40rad/s ,OA=15cm, AB=80cm,CB=BD=60cm. 当曲柄与水平线成 30角 时连杆
10、AB处于水平位置, 而肘杆 CB与铅垂线也成 30角.求此机构在图示位 置时连杆AB和BD的角速 度及冲头D的速度.,30,C1,C2,C1为AB杆的瞬心.,C2为BD杆的瞬心.,解:杆AB和BD杆作平面运动.,vA= (OA) = 6m/s,=8.66rad/s,AB,vB=(C1B)AB=(C2B)BD,vD=(C2D)BD,BD= 5.77rad/s,vD= 3.46m/s,BD,vA,vB,vD,31,例题. 图示为一平面连杆机构 , 等边三角形构件ABC的边长为a 三个顶点A ,B和C分别与套筒A,杆O1B和O2C铰接,套筒又可沿着杆 OD滑动.设杆 O1B长为 a并以角速度 转动,
11、求机构处于图示位置时杆OD的角速度OD .,32,解:等边三角形构件ABC作 平面运动 C1为其瞬心.,C1,vB,vB= (O1B) = a ,vA,vAcos30 = vBcos60,vr,ve,OD,3,33,例题：OA=O1B=r=30cm，AB长2r，OA以角速度o=4rad/s转动。求AB杆的角速度和O1B杆的角速度。,解：速度合成法,以A点为基点,VB=VA+VBA,VA,VB,VA,VBA,VA=1.2,(均为逆时针),34,或：速度投影定理：,VAcos30=VBsin30,VA,VB,VA=1.2,AB杆瞬心为O点：,35,四、平面图形上各点的加速度,aM,aMO,aO,a
12、M = ae + ar,ar = aMO,平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度 与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加 速度三者的矢量和.,36,例题.半径为R的车轮沿直线轨道作无滑动的滚动,如图所示.已知轮心 A在图示瞬时的速度为vA及加速度为aA .求该瞬时车轮边缘上瞬心 C的加速度aC .,37,解:轮A作平面运动C为其瞬心.,C,aA,38,例题. 图示瞬时滑块A以匀速度vA= 12 cm/s 沿水平直槽向左运动,并通过连杆AB带动轮B沿园弧轨道作无滑动的滚动.已知轮B的半径为r = 2cm,园弧轨道的半径为R=5cm,滑块A离园弧轨道中心 O的距离为l = 4cm .求该瞬时
13、连杆AB的角加速度及轮B的角加速度.,39,解: 轮B作平面运动C为瞬心.杆AB为瞬时平动.,AB = 0,vB = vA,C,B,vB,sin = 0.6,cos = 0.8,40,取A为基点.,aA = 0,= 0,= (AB) AB,aB = aBn + a B,aBn = vB2/(R-r),aB= aBA = (AB) AB,aBn,aB,aBn + aB = (1),aB= aBA,把(1)式向CBO方向投影得:,AB,41,把(1)式向CBO方向投影得:,cos = aBn,AB = 12 rad/s2,aB,= r B,= r B2,把(2)式向水平方向投影得:,0 = aB
14、sin -,B = 18 rad/s2, AB,aB= aBA =60,aCB =36,ac,42,例9-8 如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度1绕O1转动。大齿轮固定，行星轮半径为r，在大轮上只滚不滑。设A和B是行星轮缘 上的两点，点A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上。,求：点A和B的加速度。,43,解: 1、轮作平面运动，瞬心为 C。,44,2、选基点为,45,46,例9-9 如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度绕O 轴转动。ODADBDl。,求：当 时，尺AB的角加速度和点A的加速度。,47,解：1、 AB作平面运动，瞬心为 C。,48,49,例.
15、试判断下列情况的可能性。已知：ABCD为正方形，VA=VB=VC=VD,A VA,VB B,C VC,VD D,A VA,VB B,C VC,VD D,不可能,可能,= 45,50,确定平面运动物体上点的速度方法小结：,1、首先分析题中各物体的运动，清楚物体间的联系； 2、选取一个作平面运动的物体为研究对象，恰当选择解题方法； （1）应用基点法时，要选一运动已知的点为基点，作速度图； （2）应用速度投影定理时，须注意已知条件，该方法有一定局限性； （3）应用瞬心法时，须先确定瞬心位置，后求速度。,注意：每个作平面运动的物体有自己的瞬心和角速度，切忌混淆。,51,3、注意区别点的合成运动与刚体的
16、平面运动,点的合成运动中，速度合成定理所描述的是“两个运动物体之间的速度的关系式”。相对运动可以是直线运动或任意曲线运动；动系可以是平动、转动或其它运动。,刚体平面运动中，速度投影定理所描述的是“一个物体上两个点的运动之间的速度关系式”。相对运动是绕基点（平动坐标系原点）的转动；动系只是平动。,52,总 结,1.平面运动的定义：在运动过程中,刚体上任一点离某一固定平面的距离始终保持不变。即刚体内任一点始终在与该固定平面平行的某一平面内运动。,2. 刚体的平面运动可分解成平动和转动这两种基本运动。,3.平面运动随同基点的平动规律与基点的选择有关,而绕基点的转动规律与基点的选择无关。,4.在同一瞬
17、时,图形绕任一基点转动的角速度和角加速度都是相同的。,53,总 结,5. 平面图形内各点的速度,(1) 速度合成法（基点法）,(2) 速度投影法,(3) 速度瞬心法,6.平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度三者的矢量和.,54,问 题 判 断,1.研究刚体的平面运动时，因基点可以任意选择，故平面图形绕不同基点转动的角速度就不同。,2.平面图形在任一瞬时的运动，可视为绕速度瞬心的瞬时转动。,3.刚体作平面运动时，其上任一点的轨迹可能是平面曲线。,4.平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，这一结论就是速度投影定理。,55,问 题 判 断 答 案,1.研究刚体的平面运动时，因基点可以任意选择，故平面图形绕不同基点转动的角速度就不同。 （错）,2.平面图形在任一瞬时的运动，可视为绕速度瞬心的瞬时转动。（对）,3.刚体作平面运动时，其上任一点的轨迹可能是平面曲线。（对）,4.平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，这一结论就是速度投影定理。 （对）,
