1、第二章 波函数和波动方程,德布罗意假设 不确定关系 波函数的统计诠释 态叠加原理 薛定谔方程,德布罗意假设 (1),普朗克与爱因斯坦的光量子论考虑到光具有波动与粒子两重性。玻尔的量子化条件德布罗意根据类比的方法，设想实物粒子也可能有粒子与波动两重性。 物质波,德布罗意假设 (2),粒子对动量p对应对能量E对应,宏观领域的物质波,一颗质量为10g的子弹，飞行速度为900ms-1,波动性不显著,微观领域的物质波,动能为70MeV的质子(mc2=938.3MeV),在非相对论情形下,波动性可测,计算单位,戴维孙-革末实验,布喇格散射公式,n=1,2,3, a为横竖晶格常数,电子的德布罗意波长 (1)
2、,非相对论近似下,电子的德布罗意波长 (2),镍晶体 a=0.215nm 若入射电子能量Ek=54eV,微观粒子的状态,经典力学的决定性观念经典力学中，对于一个受到已知力的粒子(或系统)，只要给定初始条件，即t=0时的确切位置与动量， 那么在以后任意时刻粒子(或系统)的位置 与动量 唯一确定的。 量子力学中与物质波相联系的不仅有一个波长，而且还有一个振幅， 称之为波函数。量子力学中微观粒子的状态用波函数 表示。,我们的问题,自由电子对应的物质波,戴维孙-革末实验的结果可以由两个假设解决布喇格散射公式德布罗意假设,X射线散射实验的结果可以由布喇格散射解释,根据类比，我们假设自由电子对应的物质波可
3、以由平面波的形式描述。,描述自由粒子的波函数 (1),我们继续假定自由粒子对应的物质波由平面波的形式描述。,一维自由粒子的波函数由平面波的形式描述。而且我们采用复数的形式。,描述自由粒子的波函数 (2),对于自由粒子,子弹的双缝实验 (1),子弹的双缝实验 (2),水波的双缝实验 (1),水波的双缝实验 (2),电子的双缝实验 (1),电子的双缝实验 (2),波粒两象性,描述单个粒子的波函数为 ，是位置 和时间t的函数,电子的双缝实验中, 从屏上的衍射花纹得到的波长和德布罗意波一致，证实电子的波动性。在经典理论中，粒子性和波动性是排斥的。在量子力学中，粒子性和波动性兼容。 波粒两象性波函数是波
4、粒两象性的体现。,电子的双缝实验 (3),如果在同一时刻电子几乎一个一个地通过狭缝，在足够长的时间后同样得到衍射花纹，说明波并非由大量粒子组成。 衍射花纹也是大量粒子同一时间条件的统计结果 在底板上r点附近衍射花纹的强度 在r点附近感光点子的数目 在r点附近出现的电子的数目 电子出现在r点附近的几率,几率密度,波函数的统计诠释 (1),量子力学中，对于微观粒子，我们不能同时确定它们的位置和动量,大量粒子处于同一时间条件的统计结果,波函数的统计诠释 (2),波函数的几率解释不是，也不可能从什么地方推导出来。波函数的几率解释是量子力学的基本原理之一，也就是一个基本假设。,归一化条件,要求波函数 有
5、界 单值 连续,不确定关系 (1),对于微观粒子，我们不能同时确定它们的位置和动量。另外的表达方式,不确定关系 (2),px=0 x,x=0 px,例如具有确定动量的自由粒子，其波函数为平面波形式，位置是完全不确定的。,谐振子的基态能级,氢原子的基态能级,态叠加原理 (1),若体系处于 描述的状态下，测量某力学量A所得结果是一个确切的值 若体系处于 描述的状态下，测量某力学量A所得结果是一个确切的值 (n=1,2,),态叠加原理 (2),在 态下，测量A所得结果既可能为 ，也可能为 . 而测得 的相对几率是完全确定的，它们分别是,光子的偏振态的叠加 (1),设有一束线性偏振光，射向一个理想的电
6、气石晶片 情况(a) 当光的偏振方向与晶轴平行时，光束将全部通过。 情况(b) 当光的偏振方向与晶轴垂直时，光束将被完全吸收。 情况(c) 当光的偏振方向与晶轴成角，光束部分通过:,现在考虑只有一个光子入射 情况(a) 光子将通过晶片，能量及偏振态均不发生变化。 情况(b) 光子将被完全吸收，晶片后观测不到光子。 情况(c) 在晶片后有时观测到一个整个光子，有时没有。光子通过晶片的几率为,光子的偏振态的叠加 (2),相同态的叠加, 是两个相同状态的线性叠加。,和描述的相对几率分布是完全相同的。在量子力学中,和描述体系的同一个状态。这是和经典力学不同的地方。,薛定谔方程的引入 (1),描述一维自
7、由粒子的波函数,非相对论情形,薛定谔方程的引入 (2),描述一维自由粒子的波函数满足下述波动方程,薛定谔假设在势场V(x,t)中运动的一维自由粒子的波函数满足,薛定谔方程的引入 (3),在三维情况下，薛定谔继续假设下式成立,其中,上式称为薛定谔方程，是描述体系波函数 满足的波动方程,边界条件 波函数 及其导数 在边界处保持连续。 归一化条件 粒子在整个空间出现的几率为1,边界条件和归一化条件,几率流密度 (1),S方程：,其中,为 的复数共轭, 它满足,几率流密度 (2),几率流密度 (3),定义：,则有：,几率流密度 (4),我们称为几率密度，J具有几率流密度的意义，为矢量。,几率流密度 (5),另有积分形式：,积分表达式的左边表示在闭合区域V内找到粒子的总几率(或粒子数)在单位时间内的增加，右边则表示单位时间内通过封闭曲面S而进入V的几率(或粒子数)。,几率流密度 (6),
