1、托盘天平佯谬向右移动右图左盘中的物体（未画出） ，图中杠杆显然不会保持平衡。但在使用托盘天平测量物体的质量时，物体、砝码在托盘内的位置却并不会影响到天平度量的结果，这是为什么呢？另外，上图中的杠杆的平衡显然不是稳定平衡，而实际中利用托盘天平测量物体的质量时横梁的平衡显然是稳定的。若横梁的平衡不是稳定的，那也就不可能用托盘天平来度量物体的质量了。为何物体、砝码等都在横梁之上，整个系统的重心高高在上，横梁的平衡却仍然是稳定的呢？仔细观察托盘天平的结构（为简明起见，本文重点分析天平的右侧，图中也只重点画出了天平右侧的内部构造） ，可以看到如右图所示的两点巧妙的构造（这两点设计都很巧妙，右图仅为托盘天
2、平内部构造的正面竖直投影平面简图，并没能完全展现出其内部的巧妙的构造。要想较彻底地认识这两点构造的精妙，读者有必要仔细观察实物）：一、托盘天平上共有三个刀口，这三个刀口的口锋 E、D（只有此刀口的刀锋朝下，栋梁通过此刀口与天平的底座活动相连） 、B 位于同一条直线 DB 上。托盘底座并非与第一幅图所示的那样是与横梁固定相连的，它是通过一个吊架与固定在横梁上的一个刀锋朝上的刀口活动相连的。这样，图中的角 DBA 是可以活动的，不是固定不变的。二、天平底座O AD BE内有一与 DB 平行的可绕 O 点转动的拉杆 OA，此拉杆与通过图中右上侧的虚线固定在托盘底座上的竖直杆 AB 活动相连。这样，图
3、中的角 OAB 也是可以活动的，也不是固定不变的。由于图中ODAB，DBOA，这就保证了不论横梁是否平衡，图中的四边形 DBAO 都是平行四边形。先分析拉杆 OA 的受力情况。拉杆 OA 所受的重力显然由支点O 与竖直杆 AB 共同承担。当天平放在水平台上时，因为四边形DBAO 始终都是平行四边形，所以竖直杆 AB 始终与 OD 平行，也就始终处在竖直线上。以 O 为支点，将竖直杆对 OA 施加的力沿竖直和 OA 两条直线分解，由杠杆原理或力矩平衡条件可推知，拉杆OA 平衡时竖直杆对 OA 施加的力的竖直方向的分力的大小是一定的。由牛顿第三定律可知，若将拉杆 OA 对竖直杆 AB 所施加的力沿
4、 OA和竖直两个方向进行分解，那在 OA 杆平衡时那个竖直方向的分力的大小也是一定的。这样，若将上述的竖直方向的分力并入到竖直杆所受的重力之中，且再将托盘、盘中砝码、托盘底座、竖直杆 AB视作一个整体，并记作 ZT，则在托盘天平正常使用的情况下，ZT受到这样的三个力的作用竖直向下的重力、拉杆 OA 施加的沿OA 所在直线的拉力或推力以及刀口对之所施加的支撑力。ZT 可绕刀锋 B 转动。拉杆 OA 施加的沿 OA 所在直线的拉力或推力的大小与什么有关呢？以刀锋 B 为转轴分析 ZT 的平衡。由力矩平衡条件可知，拉杆施加的力的大小等于 ZT 的重力对刀锋 B 的力矩的大小与刀锋 B到 OA 的距离
5、的比值。若 ZT 的重力的作用线刚好通过刀锋 B，则此力的大小就等于零。若 ZT 的重心偏在刀锋的左侧，则拉杆对竖直杆施加的力为拉力；若偏在右侧，则它对竖直杆施加的力就为推力。再来看为何物体在托盘上的位置并不会影响托盘天平的平衡。以 ZT 为研究对象，由三力平衡条件可知，若将支撑力沿竖直和拉杆 OA 所在直线进行分解，则竖直方向的分力与重力平衡，另一方向的分力与拉杆 OA 所施加的力平衡。由牛顿第三定律可知，若将ZT 对刀锋 B 所施加的力沿上述的两个方向分解，则竖直方向的分力F1 与重力大小相等，方向相同；另一分力 F2 与拉杆所施加的力大小相等，方向相同。由于 OA 与 BD 平行，因此分
6、力 F2 的作用线恰好过刀锋 D，故而它对横梁绕刀锋 D 的转动平衡状态没有影响。这就相当于不论 ZT 的重心偏在哪里，前述的两点构造都确保了将其移至刀锋 B 上。这样，物体在托盘上的位置也就不会影响横梁绕刀锋 D 的转动平衡，即不会影响横梁的平衡。下面进一步探讨横梁平衡的稳定性。由托盘天平的操作流程不难看出，若横梁的平衡是不稳定的，那就无法利用托盘天平测量物体的质量。为什么横梁的平衡是稳定的呢？仔细观察横梁的结构，不难发现横梁平衡时单就横梁而言，其重心是位于刀锋 D 的正下方的。由于将左右刀锋所受的力沿竖直和 BD 线（注：即使横梁稍微偏离平衡位置后此线并不在水平面上，也并不会影响到前述的结
7、论。事实上，前面分析时也没有假定横梁在水平位置上。 ）分解后即可看出由于前述的两点构造确保了将左右ZT 的重心移至 BD 线上，因而横梁平衡时左右 ZT 和横梁的总的重心也是处于刀锋 D 之下的。也就是说，左右 ZT 和栋梁作为一个整体就如同一个吊在一根绳下的小球。因此，作为一个整体，横梁的平衡也是稳定的。推论：1、物体与砝码应尽量放在托盘的中心虽然物体与砝码在托盘内的位置对测量的结果几乎没有什么影响，但若它们的质量很大且重心偏离各自所对的刀锋的距离较远，那它们各自所对的刀锋所受的 BD 线上的分力也就都会很大。这不仅可能会损折刀锋，而且也会影响到刀锋的受力点。若刀锋的受力点发生一点点向侧下的
8、移动，那前述的 BD 线上的分力对刀锋 D 的力臂就不再为零。这显然会影响到测量的准确程度。虽然实际中这点影响一般说来可以忽略，但若能够避免当然还是尽量避免为好。因此，在实际测量的过程中，物体与砝码还是应当尽量放在托盘的中心为好。2、水平力不会影响横梁平衡。由于 DBAO 始终为平行四边形，在横梁平衡时，在 DBAO 平面内对砝码、托盘底座或竖直杆施加一平行于 DB 的力的作用，不会影响横梁的平衡。以刀锋 B 为转轴分析 ZT 的动态平衡过程可知，施加了此力后拉杆 AO 自会调整对竖直杆施加的水平作用力的大小与方向，使 ZT保持平衡。因为二力都在水平方向上，所以它们只会影响 ZT 对刀锋 B
9、的水平方向的分力的大小，而不会影响到竖直方向分力的大小，进而也就不会影响到横梁的平衡（ZT 对刀锋 B 的水平方向上的分力对刀锋 D 的力臂为 0） 。事实上，由于左右托盘是架在左右刀锋上，中间的刀锋是架在底座上，三者都是通过一条锋线而不仅仅是一个点与相关部分活动相连，故而在拉力不是很大的情况下，只要力是水平的，不论作用在 ZT 何处，也不论指向何方，都不会影响横梁的平衡原因分析起来很繁琐，本文从略。3、托盘天平对台面的水平平整程度要求并不高下表为作者用最大秤量 500 g、分度值 0.5 g、等级为三、底座长 25.5cm 的托盘天平测量物体质量所得到的一组数据。表中 9mm意为托盘天平底座
10、左侧比右侧高 9mm，0 即左右两侧等高，9mm意为左侧比右侧低 9mm。测量时，不论左高还是右高，均仍以指针指在分度盘的中心为横梁平衡的标志。测量值/g 物 A 物 B 物 C9mm 101.8 200.6 302.40 101.6 200.3 3029mm 101.6 200.1 301.8由表可见，左右高度相差 9mm 居然对测量结果没有多大影响。为什么会这样呢？秘密还是隐藏在前述的两点结构之中，特别是DBAO 恰好构成一平行四边形之中。将左右 ZT 所受的重力沿 DB和 AB 两方向进行分解，由前述分析可知，沿 DB 方向的分力对横梁的平衡没有影响，而沿 AB 方向的分力又都按同一比例
11、变化，这样，底座两侧的高度差对测量结果几乎没有什么影响。多测几次，再仔细分析实测的数据，还是能够发现由于左右高低不平而导致的微小的系统偏差。究其原因，显然是由于左右高低不平时，左右两侧刀锋的受力点略微有变化，从而导致力臂此长彼消造成的。实验还发现，由于对应的转轴是一条线，故而前后两侧的高度差对测量也没有什么影响。总之，实验结果表明，托盘天平对台面的要求其实并不高。当然，高度差偏大易损坏天平。后记：托盘天平的实质是一个等臂杠杆，其测量原理为杠杆平衡条件。我在使用托盘天平测量质量过程中留意到物体与砝码在托盘内的位置居然对测量结果没有影响，进而注意到横梁平衡的稳定性问题。通过仔细观察和考究，我终于发
12、现奥秘的关键在于托盘天平在设计上巧妙地利用了力的分解的平行四边形法则四边形 DBAO 始终为平行四边形。从效果上看，四边形 DBAO 始终为平行四边形这一巧妙的设计不仅能自动地将左右盘（含盘中物体等）的重心调节到左右刀锋之上，而且居然在一定程度上将作用在左右托盘上的水平方向上的力消融即使之不对横梁的平衡产生影响。导出这一结论后笔者也很诧异。实际中会那样吗？实际做做，果然没有什么影响。事实上，测量体重的台秤、卖菜的电子秤、测量车重的地秤等都应利用了这一点。笔者试过，在秤体重或菜重时给人或菜施加一个水平力，也不会影响到测量结果。由于 DBAO 始终为一平行四边形，且分解力时并非非正交分解不可，故我
13、又推测出在实际测量中 BA 也并非一定要处在竖直方向上，由此也就推测出台面的平整程度对托盘天平的测量结果的影响应当并不大。实际做做，果不出所料。从探究，到预测，再到验证，充满了趣味性。在谜题被破解，在推测被证实的同时，对托盘天平及其发明者，又多了一份敬畏之情。托盘天平的自我调节和抗干扰的能力着实令人敬畏。若能将这一设计迁移至其它领域，如各种电子产品和家用电器之中，那一定能大大提高电子产品和家用电器的抗干扰和自稳能力。从托盘天平自然联想到其它的实验器材。事实上，实验室中的大部分的实验器材都很精巧，学生在做实验时对实验器材的兴趣往往比对要做的实验兴趣高。引导学生探究实验器材，开发利用好实验器材这一
14、教学资源，对激发学生学习科学的兴趣，对提高学生的科学素质教育，肯定是有帮助的。笔者在此介绍一例个人的教学实践活动。在学生学习了电阻的串并联后，想到学生对电路设计的兴趣与电路设计在培养学生的创新精神和综合运用知识的能力方面的所特有的优势，结合学生提出的一些问题，我组织了一堂探讨电阻箱内部电阻器的连接情况的专题课，大致的教学流程如下：1、讨论：不同档位上的电阻器是串联还是并联？同一档位上的电阻器是串联还是并联？（注：将一个复杂的问题分解为几个比较简单的问题，可使复杂的问题更加具体更加明确，也更容易分析处理。 ）2、学生画1 档上的电阻器的连接图。 （注：渗透从简单到复杂的研究方法，即先研究简单的问
15、题，然后再逐步过渡到复杂的问题。具体地讲，先叫学生画1 档只能提供两到三个阻值的电阻器的电路图。 ）3、针对绝大部分同学认为同一档位上的电阻器只能是并联而引导学生回顾滑动变阻器的结构和变阻的原理，强调若将环绕在瓷筒上的电阻线视为由许许多多一环环的小电阻串联而成的大电阻，那通过移动滑片改变电阻线连入电路中的长度来改变连入电路中的电阻就相当于通过改变接入电路中的小电阻的个数来改变接入电路中的电阻，启发学生思考同一档位上的电阻器串联行不行？要求学生画串联电路图。 （注：培养学生思维的灵活性并渗透类比的研究方法。） 4、组织学生讨论串并联的优缺点，渗透理论与技术联系实际、特别是联系降低实际生产成本的原
16、则。5、学生阅读中学百科全书 物理卷 P112 电阻箱 （先速印好，每人或两人一份） ，讨论刷形开关的工作原理以及书中图 2 所示的电阻器的连接方式的好处。 （注：培养学生看图能力并渗透技术创新的方法。 ）6、讨论：书中图 3 所示的电阻箱内一共有多少个电阻器？能否在不减小电阻值的变化范围的前提下减少电阻器的个数呢？引导学生讨论图 1 所示的插头式电阻箱的原理，并思考其功能与图 2 所示的电阻箱的1 档的功能是否相同及优缺点。7：讨论：若分别用阻值为 8、4、2 和 1 的四个电阻取代图 1 中从左到右的四个电阻，则图示电阻箱的阻值的变化范围为多少？阻值能否从 0 逐一增大到 15 呢？引导学
17、生回顾二进制，写出几个数字的二进制表达式，并与上图对应起来。启发学生对照十进制刷形开关式电阻箱的面板图画出二进制刷形开关式电阻箱的面板图，并进而设计出二进制电阻箱。 （注：注意培养学生综合运用知识的能力与创新思维，注意引导学生领会感受数学在科学技术创新中的作用。 ）8、作业：（1） 、讨论两种进制的电阻箱的优缺点，探讨如何克服二进制电阻箱的缺点。 （2） 、画三进制开关式电阻箱的面板图。补记：电阻箱是常用的实验器材。一天上课时，我偶尔冒出了这样的一个问题，电阻箱内的电阻元件是如何连接的呢？下课后，我认真地思考了一番。自认为弄清楚了其内部结构后我到图书馆翻阅相关资料，发现实际的设计更为精妙借助刷形开关，不仅所需的电阻器的个数更少，而且所用到的电阻器的种类也没多几种。我进一步想，能不能设计出一种所用电阻器种类与个数都更少的电阻器呢？由此便有了二进制电阻箱的想法。当然，直到今天，这一想法在技术上也许仍不是可行的。虽然二进制电阻箱的想法在技术上仍然不可行，但我认为引导学生想想相关的问题对拓展学生的思维与视野应当是有帮助的。于是，就安排了上文所述的一堂专题课。从学生的课堂与课后的表现来看，我个人觉得这一堂课是成功的。
