1、第二章 3 初等函数,1 、指数函数定义,注：, 定义域为全平面 当 y 0 时，它即为实变量指数函数,一、指数函数,定义3.1 对于任何复数z=x+iy,规定,2 指数函数的性质,复指数函数与实指数函数保持一致.,(4) 加法定理,(5) ez是以2 i为基本周期的周期函数,因为：当z沿实轴趋于+时ez;当z沿实轴趋于-时, ez0.,2 i是ez的周期,上述这个性质是实变指数函数所没有的。,（7）解析性:,在全平面上解析，且,二、对数函数,1.定义 对数函数定义为指数函数的反函数.,满足方程 的函数称为对数函数，记作 ,注：, 注意符号的正确书写，以免发生混乱。,事实上:,容易看到,u是单
2、值的,而由幅角函数的多值性知道,v是多值的；因为 幅角,所以, 若规定Argz 取主值argz,则得 Lnz 的一个单值“分支”，记作:lnz, 称为Lnz 的主值支，即：,则这时，有, 当 z = x 0 时, Lnz 的主值 lnz = lnx，即实对数函数。,三种对数函数的联系与区别：,例1 求 解 因为 -1的模为1，其辐角的主值为 ，所以而 又因为i 的模为1，而其辐角的主值为 ，所以,2.例题:,在实变函数中, 负数无对数, 上例说明在复数范围内不再成立. 而且正实数的对数也是无穷多值的.因此, 复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.,练习求：,和它们的主值,解：,3.性质:,4.
3、解析性:, 当 a 为正实数, 且 z = 0 时, 还规定,三、幂函数,1.定义:,注：, 一般 也是多值函数。,2.性质:,3.解析性,课堂作业：,四、 三角函数,1.三角函数的定义： 由于Euler公式，对任何实数x，我们有：所以有因此,对任何复数z,定义正弦函数和余弦函数如下：,解 根据定义, 有,(2) 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.,2.正弦与余弦函数的性质,遵循通常的 三角恒等式， 如,(5),sinz的零点(i.e. sinz=0的根)为z=k,cosz的零点(i.e. cosz=0的根)为z=(k+1/2),k=0,1, 2,n,(注意：这是与实变函数完全不同的)
4、,(6),例如z=2i时，有,即:cosz与sinz不再是有界函数,因此,|sinz|1和 |cosz|1在复数范围内不再成立.,3. 其他复变数三角函数的定义,五、 小结与思考,复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如:,1. 指数函数具有周期性,3. 三角正弦与余弦不再具有有界性,2. 负数无对数的结论不再成立,思考题,实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?,思考题答案,两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式.,最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都是有界函数, 但在复变三角函数中,作业,P37页 9,18 1. （ ） A.无定义 B.0 C.i D.(2k+1)i(k为整数)2.求复数1-i 的模为( ); -1-i 的模为( )3.,
