1、第 1 页（共 25 页）2015 年江苏省常州市中考数学试卷一、选择题（每小题 2 分，共 16 分）13 的绝对值是（ ）A3 B 3 C D考点： 绝对值.分析： 根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出解答： 解：| 3|=（3）=3故选：A点评： 考查绝对值的概念和求法绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02 （2 分） （2015 常州）要使分式 有意义，则 x 的取值范围是（ ）Ax2 B x2 C x2 D x2考点： 分式有意义的条件.专题： 计算题分析： 根据分式有意义得到分母不为 0，即可求出 x 的范围解答： 解：要使分
2、式 有意义，须有 x20，即 x2，故选 D点评： 此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为 03 （2 分） （2015 常州）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ）A B C D考点： 轴对称图形.分析： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；第 2 页（共 25 页）C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误故选：B点评： 本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找
3、对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合4 （2 分） （2015 常州）如图，BC AE 于点 C，CDAB，B=40，则 ECD 的度数是（ ）A70 B 60 C 50 D 40考点： 平行线的性质；垂线.专题： 计算题分析： 由 BC 与 AE 垂直，得到三角形 ABC 为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出A 的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出ECD 的度数解答： 解：BCAE，ACB=90，在 RtABC 中， B=40，A=90B=50，CDAB，ECD=A=50，故选 C点评： 此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键5 （2 分） （2
4、015 常州）如图，ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，则下列说法一定正确的是（ ）AAO=OD B AOOD C AO=OC D AOAB考点： 平行四边形的性质.分析： 根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可解答： 解：对角线不一定相等，A 错误；对角线不一定互相垂直，B 错误；对角线互相平分，C 正确；第 3 页（共 25 页）对角线与边不一定垂直，D 错误故选：C点评： 本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键6 （2 分） （2015 常州）已知 a= ，b= ，c= ，则下列大小关系正确的是（ ）A
5、abc B cba C ba c D acb考点： 实数大小比较.专题： 计算题分析： 将 a，b，c 变形后，根据分母大的反而小比较大小即可解答： 解：a= = ，b= = ，c= = ，且 ， ，即 abc，故选 A点评： 此题考查了实数比较大小，将 a，b，c 进行适当的变形是解本题的关键7 （2 分） （2015 常州）已知二次函数 y=x2+（m 1）x+1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，而 m 的取值范围是（ ）Am= 1 B m=3 C m1 D m1考点： 二次函数的性质.分析： 根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于 1 列式计算即可得解解答： 解：抛物线的
6、对称轴为直线 x= ，当 x 1 时，y 的值随 x 值的增大而增大， 1，解得 m1故选 D点评： 本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键8 （2 分） （2015 常州）将一张宽为 4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ）第 4 页（共 25 页）A cm2 B 8cm2 C cm2 D 16cm2考点： 翻折变换（折叠问题） .分析： 当 ACAB 时，重叠三角形面积最小，此时 ABC 是等腰直角三角形，面积为8cm2解答： 解：如图，当 ACAB 时，三角形面积最小，BAC=
7、90ACB=45AB=AC=4cm，SABC= 44=8cm2故选：B点评： 本题考查了折叠的性质，发现当 ACAB 时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键二、填空题（每小题 2 分，共 20 分）9 （2 分） （2015 常州）计算（ 1） 0+21= 1 考点： 负整数指数幂；零指数幂.分析： 分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果解答： 解：（1） 0+21=1+=1 故答案为：1 点评： 本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算负整数指数为正整数指数的倒数；任何非 0 数的 0 次幂等于 1第 5 页（共 25 页）10 （2 分） （2
8、015 常州）太阳半径约为 696 000 千米，数字 696 000 用科学记数法表示为 6.96105 考点： 科学记数法表示较大的数.专题： 应用题分析： 科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a|10，n 为整数本题中 696 000 有 6 位整数，n=6 1=5解答： 解：696 000=6.96 105点评： 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值11 （2 分） （2015 常州）分解因式：2x 22y2= 2（x+y） （x y） 考点： 提公因式法与公式法
9、的综合运用.分析： 先提取公因式 2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案解答： 解：2x 22y2=2（x 2y2）=2（x+y） （xy） 故答案为：2（x+y） （x y） 点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底12 （2 分） （2015 常州）已知扇形的圆心角为 120，弧长为 6，则扇形的面积是 27 考点： 扇形面积的计算.分析： 利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积解答： 解：设扇形的半径为 r则 =6，解得 r=9，扇形的面积= =27故答案为：27点评： 此题主要考查了扇形面
10、积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式 l= ；扇形的面积公式 S= 13 （2 分） （2015 常州）如图，在 ABC 中，DEBC，AD：DB=1：2，DE=2，则 BC 的长是 6 第 6 页（共 25 页）考点： 相似三角形的判定与性质.分析： 由平行可得对应线段成比例，即 AD：AB=DE：BC，再把数值代入可求得 BC解答： 解：DEBC， ，AD：DB=1：2，DE=2， ，解得 BC=6故答案为：6点评： 本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键14 （2 分） （2015 常州）已知 x=2 是关于 x 的方程 a（x+1）= a
11、+x 的解，则 a 的值是 考点： 一元一次方程的解.专题： 计算题分析： 把 x=2 代入方程计算即可求出 a 的值解答： 解：把 x=2 代入方程得：3a= a+2，解得：a= 故答案为： 点评： 此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值15 （2 分） （2015 常州）二次函数 y=x2+2x3 图象的顶点坐标是 （1，2） 考点： 二次函数的性质.分析： 此题既可以利用 y=ax2+bx+c 的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标解答： 解：y= x2+2x3第 7 页（共 25 页）=（x 22x+1）2=（x1） 22，故顶点
12、的坐标是（1，2） 故答案为（1，2） 点评： 本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法公式法，配方法16 （2 分） （2015 常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点 O，古塔位于点 A（400，300） ，从古塔出发沿射线 OA 方向前行 300m是盆景园 B，从盆景园 B 向左转 90后直行 400m 到达梅花阁 C，则点 C 的坐标是 （400，800） 考点： 勾股定理的应用；坐标确定位置；全等三角形的应用.分析： 根据题意结合全等三角形的判定与性质得出 AODACB（SAS） ，进而得出C，A，D 也在一条直线上，求出 CD
13、的长即可得出 C 点坐标解答： 解：连接 AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在AOD 和ACB 中 ，AODACB（SAS ） ，CAB=OAD，B、O 在一条直线上，C，A，D 也在一条直线上，AC=AO=500m，则 CD=AC=AD=800m，C 点坐标为：（400，800） 故答案为：（400，800） 第 8 页（共 25 页）点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出 C，A ，D 也在一条直线上是解题关键17 （2 分） （2015 常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想4=2+2； 12=5+7 ；6=3+3； 14
14、=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；通过这组等式，你发现的规律是 所有大于 2 的偶数都可以写成两个素数之和 （请用文字语言表达） 考点： 规律型：数字的变化类.分析： 根据以上等式得出规律进行解答即可解答： 解：此规律用文字语言表达为：所有大于 2 的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于 2 的偶数都可以写成两个素数之和点评： 此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可18 （2 分） （2015 常州）如图，在 O 的内接四边形 ABCD 中，AB=3，AD=5， BAD=60，点 C 为弧
15、 BD 的中点，则 AC 的长是 考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.分析： 过 C 作 CEAB 于 E，CF AD 于 F，得出 E=CFD=CFA=90，推出 = ，求出BAC= DAC，BC=CD，求出 CE=CF，根据圆内接四边形性质求出 D=CBE，证CBECDF，推出 BE=DF，证 AECAFC，推出 AE=AF，设 BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出 x，解直角三角形求出即可第 9 页（共 25 页）解答： 解：过 C 作 CEAB 于 E，CF AD 于 F，则E= CFD=CFA=90，点 C 为弧 BD 的中点， = ，BA
16、C=DAC，BC=CD，CEAB，CFAD，CE=CF，A、 B、C 、D 四点共圆，D=CBE，在CBE 和CDF 中CBECDF，BE=DF，在AEC 和AFC 中AECAFC，AE=AF，设 BE=DF=x，AB=3，AD=5，AE=AF=x+3，5=x+3+x，解得：x=1，即 AE=4，AC= = ，故答案为： 点评： 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中三、解答题（共 10 小题，共 84 分）19 （6 分） （2015 常州）先化简，再求值：（x+1） 2x（2
17、x） ，其中 x=2第 10 页（共 25 页）考点： 整式的混合运算化简求值.专题： 计算题分析： 原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 x 的值代入计算即可求出值解答： 解：原式=x 2+2x+12x+x2=2x2+1，当 x=2 时，原式=8+1=9点评： 此题考查了整式的混合运算 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键20 （8 分） （2015 常州）解方程和不等式组：（1） ； （2） 考点： 解分式方程；解一元一次不等式组.专题： 计算题分析： （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即
18、可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集解答： 解：（1）去分母得：x=6x2+1，解得：x= ，经检验 x= 是分式方程的解；（2） ，由得：x2，由得：x3，则不等式组的解集为2x 3点评： 此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键21 （8 分） （2015 常州）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：第 11 页（共 25 页）（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？（2）求样本学生中阳光体育运动时间为 1.5 小时
19、的人数，并补全占频数分布直方图；（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间考点： 频数（率）分布直方图；扇形统计图；加权平均数.分析： （1）利用 0.5 小时的人数为：100 人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；（2）利用样本容量乘以 1.5 小时的百分数，即可求出 1.5 小时的人数，画图即可；（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可解答： 解：（1）由题意可得：0.5 小时的人数为：100 人，所占比例为：20%，本次调查共抽样了 500 名学生； （2）1.5 小时的人数为：5002.4=120（人）如图所示：（3）根据题意得： ，即该市中小学生一天中阳
20、光体育运动的平均时间约 1 小时点评： 此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键22 （8 分） （2015 常州）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序（1）求甲第一个出场的概率；（2）求甲比乙先出场的概率考点： 列表法与树状图法.专题： 计算题第 12 页（共 25 页）分析： （1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；（2）找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率解答： 解：（1）画树状图如下：所有等可能的情况有 6 种，其中甲第一个出场的情况有
21、 2 种，则 P（甲第一个出场）= = ；（2）甲比乙先出场的情况有 3 种，则 P（甲比乙先出场）= = 点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比23 （8 分） （2015 常州）如图，在ABCD 中，BCD=120，分别延长 DC、BC 到点E，F，使得 BCE 和CDF 都是正三角形（1）求证：AE=AF；（2）求EAF 的度数考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质.分析： （1）由平行四边形的性质得出BAD=BCD=120 ，ABC=ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD， E
22、BC=CDF=60，证出ABE= FDA，AB=DF，BE=AD ，根据 SAS证明ABEFDA，得出对应边相等即可；（2）由全等三角形的性质得出AEB= FAD，求出 AEB+BAE=60，得出FAD+BAE=60，即可得出EAF 的度数解答： （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，BAD=BCD=120，ABC=ADC，AB=CD ，BC=AD，BCE 和 CDF 都是正三角形，BE=BC，DF=CD，EBC= CDF=60，ABE=FDA，AB=DF，BE=AD，第 13 页（共 25 页）在ABE 和FDA 中， ，ABEFDA（SAS ） ，AE=AF；（2）解：ABE FDA
23、，AEB=FAD，ABE=60+60=120，AEB+BAE=60，FAD+BAE=60，EAF=12060=60点评： 本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键24 （8 分） （2015 常州）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示小张星期天上午带了 75 元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费 9 元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费 12.6 元若该市出租车的收费标准是：不超过 3 公里计费为 m 元，3 公里后按 n 元/ 公里计费
24、（1）求 m，n 的值，并直接写出车费 y（元）与路程 x（公里） （x3）之间的函数关系式；（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费 15 元，在光明电影院看电影花费 25元问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？考点： 一次函数的应用.分析： （1）根据题意，不超过 3 公里计费为 m 元，由图示可知光明中学和市图书馆相距 2 公里，可由此得出 m，由出租车的收费标准是：不超过 3 公里计费为 m 元，3 公里后按 n 元/公里计费当 x3 时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论解答： 解：（1）由图
25、示可知光明中学和市图书馆相距 2 公里，付费 9 元，m=9，从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程 5 公里，付费 12.6 元，（ 53） n+9=12.6，解得：n=1.8车费 y（元）与路程 x（公里） （x3）之间的函数关系式为： y=1.8（x3）+9=1.8x+3.6（x3） （2）小张剩下坐车的钱数为：7515 25912.6=13.4（元） ，乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：1.87+3.6=16.2（元）第 14 页（共 25 页）13.4 16.2，故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学点评： 本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次含数的解析式求
26、自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键25 （8 分） （2015 常州）如图，在四边形 ABCD 中，A= C=45，ADB= ABC=105（1）若 AD=2，求 AB；（2）若 AB+CD=2 +2，求 AB考点： 勾股定理；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形.分析： （1）在四边形 ABCD 中，由A= C=45，ADB=ABC=105 ，得BDF=ADCADB=165105=60，ADE 与 BCF 为等腰直角三角形，求得 AE，利用锐角三角函数得 BE，得 AB；（2）设 DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示 AB，CD，得结果解答： 解：
27、（1）过 A 点作 DEAB，过点 B 作 BFCD，A=C=45， ADB=ABC=105，ADC=360ACABC=3604545105=165，BDF=ADCADB=165105=60，ADE 与 BCF 为等腰直角三角形，AD=2，AE=DE= = ，ABC=105，ABD=1054530=30，BE= = = ，AB= ；（2）设 DE=x，则 AE=x，BE= = = ，BD= =2x，第 15 页（共 25 页）BDF=60，DBF=30，DF= =x，BF= = = ，CF= ，AB=AE+BE= ，CD=DF+CF=x ，AB+CD=2 +2，AB= +1点评： 本题考查了勾
28、股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有 30角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线 DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数26 （10 分） （2015 常州）设 是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图） ，画出一个正方形与 的面积相等（简称等积） ，那么这样的等积转化称为 的“化方” （1）阅读填空如图，已知矩形 ABCD，延长 AD 到 E，使 DE=DC，以 AE 为直径作半圆延长 CD 交半圆于点 H，以 DH 为边作正方形 DFGH，则正方形 DFGH 与矩形 ABCD 等积理由：连接 AH，EHAE 为直径，AHE=90，HAE+HEA=90 DH
29、AE， ADH=EDH=90HAD+AHD=90AHD=HED， ADH HDE ，即 DH2=ADDE又 DE=DCDH2= ADDC ，即正方形 DFGH 与矩形 ABCD 等积（2）操作实践平行四边形的“化方” 思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形如图，请用尺规作图作出与ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹） （3）解决问题三角形的“化方” 思路是：先把三角形转化为等积的 矩形 （填写图形名称） ，再转化为等积的正方形第 16 页（共 25 页）如图，ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，
30、保留作图痕迹，不通过计算ABC 面积作图） （4）拓展探究n 边形（n3）的“化方” 思路之一是：把 n 边形转化为等积的 n1 边形，直至转化为等积的三角形，从而可以化方如图，四边形 ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形 ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形 ABCD 面积作图） 考点： 相似形综合题.分析： （1）首先根据相似三角形的判定方法，可得ADHHDE ；然后根据等量代换，可得 DH2=ADDC，据此判断即可（2）首先把平行四边形 ABCD 转化为等积的矩形 ADMN，然后延长 AD 到 E，使DE=DM，以 AE 为直径作半圆延
31、长 MD 交半圆于点 H，以 DH 为边作正方形 DFGH，则正方形 DFGH 与矩形 ABMN 等积，所以正方形 DFGH 与平行四边形 ABCD 等积，据此解答即可（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将ABC 转化为等积的矩形 MBCD；然后延长 MD 到 E，使 DE=DC，以 ME 为直径作半圆延长 CD 交半圆于点 H，则 DH 即为与ABC 等积的正方形的一条边（4）首先根据 AGEH，判断出 AG=2EH，然后根据 CF=2DF，可得 CFEH=DFAG，据此判断出 SCEF=SADF，S CDI=SAEI，所以 SBCE=S 四边形 ABCD，即BC
32、E 与四边形ABCD 等积，据此解答即可第 17 页（共 25 页）解答： 解：（1）如图，连接 AH，EH ， ，AE 为直径，AHE=90，HAE+HEA=90DHAE，ADH=EDH=90，HAD+AHD=90，AHD=HED，ADHHDE ，即 DH2=ADDE又 DE=DC，DH2=ADDC，即正方形 DFGH 与矩形 ABCD 等积（2）如图，延长 AD 到 E，使 DE=DM，连接 AH，EH，矩形 ADMN 的长和宽分别等于平行四边形 ABCD 的底和高，矩形 ADMN 的面积等于平行四边形 ABCD 的面积，AE 为直径，AHE=90，HAE+HEA=90DHAE，ADH=E
33、DH=90，HAD+AHD=90，AHD=HED，ADHHDE ，即 DH2=ADDE又 DE=DM，第 18 页（共 25 页）DH2=ADDM，即正方形 DFGH 与矩形 ABMN 等积，正方形 DFGH 与平行四边形 ABCD 等积（3）如图，延长 MD 到 E，使 DE=DC，连接 MH，EH，矩形 MDBC 的长等于ABC 的底，矩形 MDBC 的宽等于 ABC 的高的一半，矩形 MDBC 的面积等于ABC 的面积，ME 为直径，MHE=90，HME+HEM=90DHME，MDH=EDH=90，HMD+MHD=90，MHD=HED，MDHHDE ，即 DH2=MDDE又 DE=DC，
34、DH2=MDDC，DH 即为与 ABC 等积的正方形的一条边（4）如图，延长 BA、CD 交于点 F，作 AGCF 于点 G，EHCF 于点 H，BCE 与四边形 ABCD 等积，理由如下：AGEH，第 19 页（共 25 页） ，AG=2EH，又 CF=2DF，CFEH=DFAG，SCEF=SADF，SCDI=SAEI，SBCE=S 四边形 ABCD，即BCE 与四边形 ABCD 等积故答案为：HDE、AD DC、矩形点评： （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等
35、积转化的理解，要熟练掌握27 （10 分） （2015 常州）如图，一次函数 y=x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点A、B，过点 A 作 x 轴的垂线 l，点 P 为直线 l 上的动点，点 Q 为直线 AB 与OAP 外接圆的交点，点 P、Q 与点 A 都不重合（1）写出点 A 的坐标；（2）当点 P 在直线 l 上运动时，是否存在点 P 使得OQB 与APQ 全等？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由（3）若点 M 在直线 l 上，且 POM=90，记OAP 外接圆和OAM 外接圆的面积分别是S1、S 2，求 的值考点： 圆的综合题.分析： （1）将 y=0 代入
36、y=x+4，求得 x 的值，从而得到点 A 的坐标；第 20 页（共 25 页）（2）首先根据题意画出图形，然后在 RtBOA 中，由勾股定理得：AB 的长度，然后由全等三角形的性质求得 QA 的长度，从而得到 BQ 的长，然后根据 PA=BQ 求得 PA 的长度，从而可求得点 P 的坐标；（3）首先根据题意画出图形，设 AP=m，由 OAMPAO，可求得 AM 的长度，然后根据勾股定理可求得两圆的直径（用含 m 的式子表示） ，然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可解答： 解（1）令 y=0，得：x+4=0，解得 x=4，所以点 A 的坐标为（4，0） ；（2）存在理
37、由：如图下图所示：将 x=0 代入 y=x+4 得：y=4 ，OB=4，由（1）可知 OA=4，在 RtBOA 中，由勾股定理得：AB= =4 BOQAQPQA=OB=4，BQ=PABQ=ABAQ=4 4，PA=4 4点 P 的坐标为（4，4 4） （3）如下图所示：第 21 页（共 25 页）OPOM，1+3=90又2+1=90 ，2=3又OAP= OAM=90，OAMPAO ，设 AP=m，则： ，AM= 在 RtOAP 中，PO= ，S1= = = ，在 RtOAM 中， OM= = ，S2= = = ， = + =1 + = 点评： 本题主要考查的是全等三角形的性质，相似三角形的性质和
38、判定以及勾股定理和一次函数的综合应用，根据题意画出图形，利用全等三角形和相似三角形的性质和判定求得 AM 和 PA 的长度是解题的关键28 （10 分） （2015 常州）如图，反比例函数 y= 的图象与一次函数 y= x 的图象交于点A、B，点 B 的横坐标是 4点 P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线 AB 的上方第 22 页（共 25 页）（1）若点 P 的坐标是（1，4） ，直接写出 k 的值和PAB 的面积；（2）设直线 PA、PB 与 x 轴分别交于点 M、N ，求证：PMN 是等腰三角形；（3）设点 Q 是反比例函数图象上位于 P、B 之间的动点（与点 P、B 不重合
39、） ，连接AQ、BQ，比较PAQ 与PBQ 的大小，并说明理由考点： 反比例函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质.专题： 综合题分析： （1）过点 A 作 ARy 轴于 R，过点 P 作 PSy 轴于 S，连接 PO，设 AP 与 y 轴交于点 C，如图 1，可根据条件先求出点 B 的坐标，然后把点 B 的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出 k，然后求出直线 AB 与反比例函数的交点 A 的坐标，从而得到OA=OB，由此可得 SPAB=2SAOP，要求PAB 的面积，只需求 PAO 的面积，只需
40、用割补法就可解决问题；（2）过点 P 作 PHx 轴于 H，如图 2可用待定系数法求出直线 PB 的解析式，从而得到点 N 的坐标，同理可得到点 M 的坐标，进而得到 MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即PMN 是等腰三角形；（3）过点 Q 作 QTx 轴于 T，设 AQ 交 x 轴于 D，QB 的延长线交 x 轴于 E，如图 3可设点 Q 为（c， ） ，运用待定系数法求出直线 AQ 的解析式，即可得到点 D 的坐标为（c4，0） ，同理可得 E（c+4，0） ，从而得到 DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有QDE= QED然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，
41、就可得到PAQ=PBQ解答： 解：（1）k=4，S PAB=15提示：过点 A 作 ARy 轴于 R，过点 P 作 PSy 轴于 S，连接 PO，设 AP 与 y 轴交于点 C，如图 1，把 x=4 代入 y= x，得到点 B 的坐标为（4，1） ，把点 B（4，1）代入 y= ，得 k=4第 23 页（共 25 页）解方程组 ，得到点 A 的坐标为（4，1） ，则点 A 与点 B 关于原点对称，OA=OB，SAOP=SBOP，SPAB=2SAOP设直线 AP 的解析式为 y=mx+n，把点 A（4， 1） 、P（1，4）代入 y=mx+n，求得直线 AP 的解析式为 y=x+3，则点 C 的
42、坐标（0，3） ，OC=3，SAOP=SAOC+SPOC= OCAR+ OCPS= 34+ 31= ，SPAB=2SAOP=15；（2）过点 P 作 PHx 轴于 H，如图 2设直线 PB 的解析式为 y=ax+b，把点 P（1，4） 、B （4，1）代入 y=ax+b，得，解得： ，直线 PB 的解析式为 y=x+5当 y=0 时， x+5=0，x=5，点 N（5，0） 同理可得 M（ 3，0） ，MH=1（ 3） =4，NH=5 1=4，MH=NH，PH 垂直平分 MN，PM=PN，PMN 是等腰三角形；（3）PAQ= PBQ理由如下：过点 Q 作 QTx 轴于 T，设 AQ 交 x 轴于
43、 D，QB 的延长线交 x 轴于 E，如图 3第 24 页（共 25 页）可设点 Q 为（c， ） ，直线 AQ 的解析式为 y=px+q，则有，解得： ，直线 AQ 的解析式为 y= x+ 1当 y=0 时， x+ 1=0，解得：x=c 4，D（ c4，0） 同理可得 E（c+4，0） ，DT=c（c4） =4，ET=c+4 c=4，DT=ET，QT 垂直平分 DE，QD=QE，QDE=QEDMDA=QDE，MDA=QEDPM=PN，PMN= PNMPAQ=PMNMDA，PBQ=NBE= PNMQED，PAQ=PBQ第 25 页（共 25 页）点评： 本题主要考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一次函数图象的交点，三角形的中线平分三角形的面积、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、对顶角相等等知识，运用（2）中的结论及（2）中的解题方法是解决第（3）小题的关键
