1、绝密启用前试 卷 类 型 ： A2019 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 广 东 卷 ）数学（文科）本试卷共 4 页，21 小题，满分 150 分。考试用 时 120 分钟。注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔
2、作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4. 作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式 ，其中 为锥体的底面积， 为锥体的高.13Vshh一组数据 的方差12,nxL22221()()(),nxxxL其中 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
3、要求的.1. 已知集合 ， ，则2,34M0,23NMNIA.0,B.C.3,4D.3,52. 已知复数 满足 ，则z()5izz.i.i.i.4i3. 已知向量 ， ，则1,2ar3,brar.(,).(1).(2,0).(,3)4. 若变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值等于xy28043xyzxyA.7B.C.10D.15. 下列函数为奇函数的是1.2x2.sinx.2cosx2.x6. 为了了解 1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的间隔为.50B.40C.5.07. 在 中，角 所对应的变分别为 ，则 是 的 ABC, ,abcb“”
4、siniAB“”充分必要条件 充分非必要条件必要非充分条件 非充分非必要条件. D.8. 若实数 满足 ，则曲线 与曲线 的k052165xyk22165xky实半轴长相等 虚半轴长相等A. B.离心率相等 焦距相等CD9. 若空间中四条两两不相同的直线 ， ， ， ，满足 ， ， ，则下列结论一定正确的是1l23l412l3/l4l.14l.1/与 既不平行也不垂直 位置关系不确定l与10. 对任意复数 ， ，定义 ，其中 是 的共轭复数，对任意复数 ，有1w2121w2w123,z如下四个 12333zzz3113zzz 1212则真1 2 3 4A.B.C.D.二、填空题：本大题共 5
5、小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.（一）必做题（1113 题） 11. 曲线 在点 处的切线方程为 .3xye(0,2)12. 从字母 中任取两个不同的字母，则取到字母 的概率为 .,abcd a13. 等比数列 的各项均为正数且 ，则 .n154a212232425logllogllogaa（二）选做题（1415 题，考生只能从中选做一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线 与 的方程分别为 与 ，1C22csincos1以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 与 的交点的直角坐x 1C2标为 .15. （几何证
6、明选讲选做题）如图 1，在平行四边形 ABD中，点 E 在 上且 , 与 交于点 ，则AB2EACDF .CDF的 周 长的 周 长三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16 （本小题满分 12 分）已知函数 532()sin(),().31fxAxRf（1）求 的值；（2）若 ，求 .(),(0,)2f()6f17 （本小题满分 13 分）某车间 20 名工人年龄数据如下表：年龄（岁） 工人数（人）EFD CBA19 128 329 330 531 432 340 1合计 20（1）求这 20 名工人年龄的众数与极差；（2）以这十位数为茎，个位数
7、为叶，作出这 20 名工人年龄的茎叶图；（3）求这 20 名工人年龄的方差.18. （本小题满分 13 分）如图 2，四边形 为矩形， 平面 ， ,作如图 3 折叠，折痕ABCDPABCD1,2PCEF，其中点 分别在线段 上，沿 折叠后点 叠在线段 上的点记为 ，并且 .DC,EF,EFADMC（1）证明： 平面 ;M（2）求三棱锥 的体积.19. (本小题满分 14 分)设各项为正数的数列 的前 和为 ,且 满足.nanS22*(3)()0,nSN（1）求 的值;1a（2）求数列 的通项公式;n（3）证明:对一切正整数 ,有 1211()()()3naaa20. (本小题满分 14 分)已
8、知椭圆 的一个焦点为 ，离心率为2:(0,)xyCba5,053（1）求椭圆 的标准方程;（2）若动点 为椭圆 外一点,且点 到椭圆的两条切线相互垂直,求点 的轨迹方程.0(,)PxyCPP21. (本小题满分 14 分)已知函数 .321(1()faxR（1）求函数 的单调区间;)x（2）当 时 ,试讨论是否存在 ,使得 .0a01,201()2fxfCE FPBADPADCBFEM2019 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 广 东 卷 ）数学（文科）参考答案：一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
9、符合题目要求的.1. B 2. D 3. B 4. C 5. A 6. C 7. A 8. D 9. D 10. B二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.11. 12. 13. 5 14. 15. 3520xy(1,2)三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16. 3:(1)sin()sin,23.2142:)3,(sin()3sin()3co3(sin)cos()in336sin3sin,(0,)2fAAAfx解 由 得26cos1in3()3(in)663f 17. :(1)2030,4192.解
10、这 名 工 人 年 龄 的 众 数 为 极 差 为(2)茎叶图如下:1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0 22222(19283053140) 3: 3,20:()()(541013410)0251.6 年 龄 的 平 均 数 为故 这 名 工 人 年 龄 的 方 差 为18. 00:(1):, ,. 1(2),6,3,=,2,PDABCPDPCABDMABMPCCFFFFDDEFC 解 证 明 平 面 平 面 平 面平 面 平 面 平 面 平 面平 面 又 平 面平 面 平 面 又 易 知 从 而 2222133,=, ,4836()(,1
11、16.338CDEMCDEFDEPSPVS 即19.2 2111122 2221:(1):()30,60,(3)0,0,.),:(),(), ,1nnnnnnnSSSaaNS解 令 得 即 即由 得 从 而当 时12212,().33(3) (),64111)()()()241144()()()()(k nakka kkkaaa 又 当 时 )11143()4441().1nnn 20.222002025:(1),3,954,1.94(2), ,(3),.(),(), 1949418(ceabcaxyCykxxykxy解 椭 圆 的 标 准 方 程 为 :若 一 切 线 垂 直 轴 则 另 一
12、 切 线 垂 直 于 轴 则 这 样 的 点 P共 个 ,它 们 的 坐 标 分 别 为若 两 切 线 不 垂 直 于 坐 标 轴 设 切 线 方 程 为即 将 之 代 入 椭 圆 方 程 中 并 整 理 得 :00222220 02 000 122)(),()36()4(9),4, ,:11,(,2)kxkykxyxkyQ依 题 意即 : 即两 切 线 相 互 垂 直 即显 然 这 四 点 也 满 足 以 上 方13.Px 程点 的 轨 迹 方 程 为21.222 :(1),0:4,0(),(),).1(,1),()0,(), ,()fxaaaaffxxxafffxx解 方 程 的 判 别
13、式当 时 此 时 在 上 为 增 函 数当 时 方 程 的 两 根 为当 时 此 时 为 增 函 数当 时 此 时 为 减 函 数当 时 ,(),(),( ,1) 1,(1,)().fafxaaf此 时 为 增 函 数综 上 时 在 上 为 增 函 数当 时 的 单 调 递 增 区 间 为的 单 调 递 减 区 间 为323200032000 020111(2)()()()1()()()421136()fxxaaxxxxxa02007),(,21417,).,6(24(8,772148: , ,87+1,0,1fxaaaaxa若 存 在 使 得必 须 在 上 有 解方 程 的 两 根 为 只 能 是依 题 意 即 000 5,49218,245=,445 1(,)(,),(,)().12 27102axa fx即又 由 得 故 欲 使 满 足 题 意 的 存 在 则当 时 存 在 唯 一 的 满 足当 时 不 存 在 使
