1、1中考几何母题的一题多解(多变) 一、三角形一题多解如图：已知 AB=AC，E 是 AC 延长线上一点，且有 BF=CE，连接 FE 交 BC 于 D。求证： FD=DE。证法一 证明：过 E 点作 EM AB 交 DC 延长线于 M 点，则M= B，又因为ACB=BACB=ECM= M ，所以 CE=EM， 又 EC=BF 从而 EM=BF，BFD=DEM则DBFDME，故 FD=DE；证法二证明：过 E 点作 EM AB 交 DC 延长线于 M 点，则 M=B，又因为ACB=BACB=ECM= M ，所以 CE=EM， 又 EC=BF 从而EM=BF，BFD=DEM则DBFDME，故 FD
2、=DE；证法二 证明：过 F 点作 FMAE，交 BD 于点 M，则1= 2 = B 所以 BF=FM，又 4= 3 5= E2所以DMF DCE，故 FD=DE。二、平行四边形一题多解如图 4，平行四边形 ABCD 中 AD=2AB,E、F 在直线 AB 上，且 AE=BF=AB,求证：DFCE.证法一、易知 ADF、BCE 为等腰三角形，故1=F, 2=E,又CDAB,故3=F, 4=E,从而1=3，2=4，而1+2+3+4=180 0，故3+4=90 0，表明 COD=90 0，所以DFCE。证法二、如图 5，连接 MN，则 CD=BF,且 CDBF，故BFCD 为平行四边形，则 CN=
3、BN=AB,同理,DM=MA=AB,故 CN=DM 且 CNDM，得平行四边形 CDMN，易见CD=DM，故 CDMN 也是菱形，根据菱形的对角线互相垂直，结论成立。证法三、如图 6，连接 BM、AN, 可证 AFN 中，BN=BF=BA,则 AFN 为直角三角形，即 DFAN,利用中位线定理可知 ANCE，故 DFCE。3证法四、如图 7，作 DGCE 交 AE 延长线于 G，则 EG=CD=AB=AE,故AD=AG=AF,从而 DFDG, 而 DGCE,故 DFCE四一题多解、多变四边形面积1. 如图所示，一个长为 a，宽为 b 的矩形，两个阴影都是长为 c 的矩形与平行四边形，则阴影部分
4、面积是多少。解法一将大矩形进行平移将平行四边形进行转换。(a-c)(b-c)解法二重叠面积为 c 的平方，大矩形面积为 ab，小矩形为 ac，平行四边形为 bc，阴影面积为 ab-ac-bc+cc=（a-c） （b-c ）2 如图所示一个长为 500dm 宽为 300dm 的花坛要修两条过道，两条过道一样宽，花坛面积 1340 平方米，求过道宽。方法一：将大矩形进行平移将平行四边形进行转换。解：1500-80x=1340X=2过道宽两米。方法二：解：（300-x ） （500-x ）=1340X=2过道宽两米图2图24五正方形一题多变1 已知正方形 ABCD ， EOF=90，O 是对角线交点
5、，点 E F 在 BC ，CD 上 ，求证 EO=FO证明 四边形 ABCD 是正方形 BO=CF BOC=-90 OBE= COF 又 EOF=90BOE= COF BOECOF EO=FO变式一已知正方形 ABCD ， EOF=90 ，O 是对角线交点，点 E F 在 BC ，CD 边延长线上 ，求证 EO=FO证明 四边形 ABCD 是正方形 BO=CF BOC=-90 OBE= COF 又 EOF=90BOE= COF BOECOF EO=FO变式二已知正方形 ABCD，O 是 AC 任意一点 BOF=90点 E 在 BC 边上 ，求证 BO=EO 过 O 作 ON， OM AB，DC
6、 四边形 ABCD 是正方形OCM=45又 ON， OM AB，DCMO=CM=NBONB= OMCMOE= NBOMOENBOlkmoFEDCBAFEODCBAON MEDCBA5BO=EO参考答案AECOBFDAECBFDAEC证法一ADBC将 AB 平移到 DC由平行四边形 ABDEAB=DEDG=ABDG=EDADBC, 即 DFBCEF=FC证法二连接 BE 交 AD 于 O平行四边形 ABDEOB=OEADBC, 即 OFBC 中位线EF=CF如图：已知梯形 ABCD，ADBC,，以AB、BD 为边，作平行四边形ABDE，AD 的延长线交 CE 于 F。求证：EF=FC.六 一题多解练习6GBFDAEC证法三ADBC，即 AFBC将 BD 平移到 CG 的位置，并交 AF 延长线于 G。可证AEFGCFFE=FC
