1、数学之美黄金分割前 言数学可以说是各学科的灵魂，数学中蕴涵着文化价值、美学价值、以及经济价值，而这些价值究竟是如何体现的?随着我国教育水平的逐步提高，我们对数学这门科学的学习更加透彻，我们就以数学中的两大宝藏之一“黄金分割”为例，黄金分割是我们最常见的一种和谐比例关系，即是毕达哥拉斯学派提出的“黄金分割”又称 “黄金段”或“黄金率” 。在初中教学中对黄金分割的了解还不是很深，只是对黄金分割的定义做了简单的说明和简单的练习。随着我们数学能力水平的提升，我们了解到了许多重要的与黄金分割相关联的数学知识，本节主要解决杨辉三角形等数学量与黄金分割的关系，以及与黄金分割有关的一些概念，最后，将进一步阐述
2、黄金分割的实际应用，可见黄金分割用途之广泛，影响之深远。另外，我真诚的希望通过本节学习，能够让学生更多的了解黄金分割的实质和内涵，对以后的学习有进一步的帮助。一、黄金分割的起源与发展1.1 黄金分割的定义古 希 腊 雅 典 学 派 的 第 三 大 数 学 家 欧 道 克 萨 斯 首 先 提 出 黄 金 分 割 。 所 谓 黄 金 分 割 ， 指的 是 把 长 为 L 的 线 段 分 为 两 部 分 ， 使 其 中 一 部 分 对 于 全 部 之 比 ， 等 于 另 一 部 分 对 于 该部 分 之 比 。 证 明 方 法 为 ：设 有 一 根 长 为 1 的 线 段 在 靠 近 端 的 地 方
3、 取 点 ， 使ABCBA则 点 为 的 黄 金 分 割 点 。CAB:设 ， 则 代 入 定 义 式 可 得xxB:x1)(:即 02x解 该 二 次 方 程 ： 151x152其 中 为 负 值 舍 掉 。1x所 以 约 为 .215AC680黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为 10.618 或 1.6181，即长段为全段的 0.618。0.618 被公认为最具有审美意义的比例数字。上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。有趣的是，这个数字在自然界和人们生活中到处可见：人们的肚脐是人
4、体总长的黄金分割点，人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。大多数门窗的宽长之比也是 0.618；有些植茎上，两张相邻叶柄的夹角是 137 度 28，这恰好是把圆周分成 1:0.618 的两条半径的夹角。据研究发现，这种角度对植物通风和采光效果最佳。建筑师们对数学 0.618 特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与 0.618 有关的数据。人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的 0.618 处。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的 0.618处，能使琴声更加柔和甜美。1.2 黄金分割的发展史据 记 载 黄 金 分 割 是 在 文 艺 复
5、 兴 前 后 ， 经 过 阿 拉 伯 人 传 入 欧 洲 ， 受 到 了 欧 洲 人 的 欢 迎 ，他 们 称 之 为 “金 法 ”， 17 世 纪 欧 洲 的 一 位 数 学 家 ， 甚 至 称 它 为 “各 种 算 法 中 最 宝 贵 的算 法 ”。 这 种 算 法 在 印 度 称 之 为 “三 率 法 ”或 “三 数 法 则 ”， 也 就 是 我 们 现 在 常 说 的 比例 方 法 。 其 实 有 关 “黄 金 分 割 ”， 我 国 也 有 记 载 。 虽 然 没 有 古 希 腊 的 早 ， 但 它 是 我 国 古 代 数学 家 独 立 创 造 的 ， 后 来 传 入 了 印 度 。
6、经 考 证 。 欧 洲 的 比 例 算 法 是 源 于 我 国 而 经 过 印 度 由阿 拉 伯 传 入 欧 洲 的 ， 而 不 是 直 接 从 古 希 腊 传 入 的 。由 于 公 元 前 6 世 纪 古 希 腊 的 毕 达 哥 拉 斯 学 派 研 究 过 正 五 边 形 和 正 十 边形 的 作 图 ， 因 此 现 代 数 学 家 们 推 断 当 时 毕 达 哥 拉 斯 学 派 已 经 触 及 甚 至 掌 握 了 黄 金 分 割 。公 元 前 4 世 纪 ， 古 希 腊 数 学 家 欧 多 克 索 斯 第 一 个 系 统 研 究 了 这 一 问 题 ， 并 建 立 起 比例 理 论 。公
7、元 前 300 年 前 后 欧 几 里 得 撰 写 帕 乔 利 时 吸 收 了 欧 多 克 索 斯 的 研 究 成 果 ， 进一 步 系 统 论 述 了 黄 金 分 割 ， 成 为 最 早 的 有 关 黄 金 分 割 的 论 著 。中 世 纪 后 ， 黄 金 分 割 被 披 上 神 秘 的 外 衣 ， 意 大 利 数 学 家 帕 乔 利 称 中 末 比 为 神 圣 比 例 ，并 专 门 为 此 著 书 立 说 。 德 国 天 文 学 家 开 普 勒 称 黄 金 分 割 为 神 圣 分 割 。到 19 世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名
8、的例子是优选学中的黄金分割法或 0.618 法，是由美国数学家基弗于 1953 年首先提出的，70 年代在中国推广。其 实 ， 黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。此后，在我们的生活环境中，就随处可见了，如建处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、报纸、杂志；现代的电影银幕。电视屏幕，以
9、及许多家用器物都是近似这个数比关系构成的。在美术史上曾经把它作为经典法则来应用。有许多美术家运用它创造了不少不朽的著名。早在公元前六世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯就发现了在这种分割状态下存在的和谐美，后来古希腊美学家柏拉图正式将此称为黄金分割，并一直被认为是最佳比例在艺术，建筑，自然界，甚至我们的生活中，这种 0.618 的美都处处存在。二、黄金分割在数学中的渗透2.1 黄金分割在数学学文化中的应用随着新课程改革的进行，数学教学不只是简单的知识传授，更加注意对数学思想方法的总结，使之能被学生完全领悟并应用，进而更好的发挥数学的本质。黄金分割就是数学思想的集中体现，其中特别引人注目的是“数形结合”
10、的思想，因此，黄金分割被称之为神圣的比例， “0.618”同时也被誉为黄金数。数学有着极其重要的价值，其文化价值的教育目的，就是让学生在学习的同时能够鉴赏和体会数学的美，促进学生形成好的数学观念，增加对数学学习的兴趣。下面我们就来了解黄金分割的数学价值。2.2 黄金分割在初中教材中的地位和作用黄金分割是北师大版八年级数学下册第四章相似图形第二节的内容。本章是继图形的全等之后集中研究图形形状的内容，它与前后有关几何部分的内容都有着密切的关系，是对图形全等内容的进一步拓广与发展。整个设计目的是引导学生观察、分析生活现实和数学现实中的相似现象，总结图形相似的有关特征并自觉的应用到现实之中，逐步形成正
11、确的数学观。同时，通过“图形的相似”进一步丰富学生的数学活动经验，有意识的培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进学生观察、分析、归纳、概括的一般能力和审美意识的发展。黄金分割这一节内容通过建筑、艺术等方面的实例让学生进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，同时在教学中让学生学会观察、操作、实验、合作与交流以及学会学习就变得更为重要。下面我就给大家介绍怎么样才能计算出黄金分割比（0.618）它的具体做法是：一、作一线段 AB二、过 作一条直线垂直于 ，在此直线上取 ，使 ，并联结 。BD2ABD三、以 为圆心， 长为半径作弧，交 于 。DBADC四、以 为圆心， 长为半径作弧，
12、交 于 ，则点 是线段的黄金分割点。ACBP以上这种比例性质产生了黄金分割，把它从线段推广到平面图形，可以发现不少图形，因此颇有特点。黄金分割中特别引人注目的是“数形结合”的思想，它被世人称之为和谐性的最完美的表现， “0.618”被誉为黄金数、神圣的比例、宇宙的美神。教师在教学中引用学生非常熟悉的五角形和舞台报幕员所站位置的现实情境，将抽象的数字与其所反映的图形有机地结合起来，通过对直观图形的观察与分析，化抽象为直观，化直观为精确，进一步了解“黄金分割”的数学特征。数学教学中用“数形结合”的思想引导学生思考，在培养形象思维能力的同时，也促进了逻辑思维的发展。随着新课程的改革，挖掘数学文化在数
13、学教学中的价值将逐步得到确认，这也是义务教育对数学课堂教学的时代要求。在毕业后，我们将会成为数学教师，所以我们应不断地加强自身的数学文化素养，更加深入地研究数学文化与数学教学，努力在数学学习的过程中真正体会到数学的文化价值。2.3 黄金分割在教材中的实际应用下面继续了解黄金分割在教材中的实际作用，我们以实际例题来解决有关黄金分割的理论问题。例 1 美是一种感觉，当人体下半身长于高的比值接近 时，越给人一种美感。618.0例如，某女士身高 ，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好cm65的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） 4cm 6cm 8cm 10cmA.B.C.D.例 2 为了弘扬雷锋
14、精神，某中学准备在校园内建造一座高为 的雷锋人体雕像，m2向全体师生征集设计方案，小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中。小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到 ，参考数据：m01. 41.， ） 0.62m 0.76m 1.24m 1.62m732.136.5A.BC.D例 3 校团委举办“五四手抄报比赛”。手抄报规格统一设计成：长 米的黄金矩8.0形（黄金矩形的长与宽的比是 ），则宽为 米。:.例 4 哥哥身高 米，在地面上的影子长是 米，同一时间测得弟弟影子长 米，8.11.2.1则弟弟身高是（ ） Am4B.51m
15、96.25例 5 将一矩形纸片 放在平面直角坐标系中， ， ，动点OC0,O,6A3,0C从点 出发以每秒 1 个单位长的速度沿 向终点 运动，运动 23 秒时QC动点 从点 出发以相等的速度沿 向终点 运动。当其中一点到达终点时，另一点也P停止运动。设点 的运动时间为 （秒） 。t（1）用含 的代数式表示 ， ；tPQ（2）当 时，如图 1，将沿 沿 翻折，点 恰好落在 边上的点t OPQOCB处，求点 的坐标；D（3）连接 ，将沿 PQ 翻折，得到 ，问： 与 能否平行？ 与ACEAPE能否垂直？若能，求出相应的 值；若不能，说明理由。t我们看完以上几道题，就可以知道有关黄金分割的实际例子
16、很多，在我们初中数学教学中有极其广泛的应用。为我们解决了很多生活中实际的难题和问题。2.4 与黄金分割有关的黄金图形黄金分割具有很多的优点和广泛的作用，那么黄金分割是如何解决这些问题的，其根本原因是构成黄金分割的重要因素的作用，以下是构成黄金分割的基本元素：（一）黄金分割点：黄金分割点是分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点。线段上有两个这样的点。利用线段上的两个黄金分割点，可以作出正五角星，正五边形等。（二）黄金分割线：由黄金分割点联想到“黄金分割线” ，并类似地给出“黄金分割线”的定义：直线 将L一个面积为 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 、 ，如果，
17、那么称S 1S221S直线 为该图形的黄金分割线。L（三）黄金分割三角形：正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。黄金分割三角形有一个特殊性，所有的三角形都可以用四个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形，但黄金分割三角形是唯一一种可以用 5 个而不是 4 个与其本身全等的三角形，来生成与其本身相似的三角形的三角形。由于五角星的顶角是 ，这样也可以得出黄金分割36的数值为 。18sin2黄金分割三角形分为两种：一种是等腰三角形，两个底角为 72顶角为 36这种三角形既美观又标准。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比： 。另一种也是等腰21-5三角形，两个底角为 36
18、顶角为 108这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：。 21-5（四）黄金矩形：定义：一个矩形，如果从中截去一个最大的正方形，剩下的矩形的宽与长之比，与原来的矩形一样（及剩下的与原矩形相似）称具有这种宽与长之比的矩形为黄金矩形。那么如何求得黄金矩形的宽与长之比呢?解：设黄金比为 ,则有x xabba1将 x1变形为 02得出 ，负值舍掉51x那么 .68022.5 黄金分割与杨辉三角形的联系黄金分割与多种数学知识有着密切的联系，例如我们下面介绍的杨辉三角形，首先了解什么是杨辉三角形：一 、 杨 辉 三 角 形 的 定 义 ： 杨 辉 三 角 形 ， 又 称 贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系
19、数在三角形中的一种几何排列。二、杨辉三角形的性质：1.每行数字左右对称，由 开始逐渐变大，然后变小，回到112.第 行的数字个数为 个nn3.第 行数字和为 12每个数字等于上一行的左右两个数字之和。因此，可用此性质写出整个帕斯卡三角形。4.将第 行第 个数，跟第 行第 个数、第 行第 个数连成一线，12n2n32n5这些数的和是第 个斐波那契数。将第 行第 个数，跟第 行第 个数、第14行第 个数这些数之和是第 个斐波那契数。615.第 行的第 个数为 ，第二个数为 ，第三个数为 ，第四个数为n1n2n依此类推。321可以看出，杨辉三角形与黄金分割率有着密切的关系。三、生活中的黄金分割0.6
20、18，一个极为迷人而神秘的数字，而且它还有着一个很动听的名字黄金分割律，它是古希腊著名哲学家、数学家毕达哥拉斯于 2500 多年前发现的。古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。在艺术史上，几乎所有的杰出作品都不谋而合地验证了这一著名的黄金分割律，无论是古希腊巴特农神庙，还是中国古代的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间竟然完全符合 1 比 0.618 的比例。科学家和艺术家普遍认为，黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩；而在摩天大楼的黄金分割处布置腰线或装饰物，则可使整个楼群显得雄伟雅致。古代雅典的
21、巴特农神殿，法国的巴黎圣母院，当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔，举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔，都是根据黄金分割的原则来建造的。除了国外著名的巴特农神殿、巴黎圣母院、多伦多电视塔、巴特农神殿、埃菲尔铁塔具有黄金分割外，位于上海黄浦江畔的东方明珠塔同样有，东方明珠塔是亚洲第一，世界第三高塔，它的塔身竟高达 462.85 米，仿佛一把刺天长剑，直冲云霄。要建造这样高而瘦长搭塔身，在造型上难免有些单调，然而设计师巧妙地在塔身上装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱，它既可供游人登高俯瞰城市景色，又使笔直的塔身有了曲线变化，更妙的是，设计师有意将上球体选在 295 米之间的位置，这个位置恰好在塔
22、身 5 比 8 的地方，这 0.618 的比值，使塔身显得非常协调、美观。在日常生活中，最和谐悦目的矩形，如电视屏幕、写字台面、书籍、衣服、门窗等，其短边与长边之比为 0.618，你会因此比例协调而赏心悦目。甚至连火柴盒、国旗的长宽比例设计，都恪守 0.618 比值。在音乐会上，报幕员在舞台上的最佳位置，是舞台宽度的0.618 之处；二胡要获得最佳音色。最有趣的是，在消费领域中也可妙用 0.618 这个“黄金数” ，获得“物美价廉”的效果。据专家介绍，在同一商品有多个品种、多种价值情况下，将高档价格减去低档价格再乘以 0.618，即为挑选商品的首选价格。体型的标准尺度，以古希腊的艺术珍品“金星
23、女神”为模特儿，具体标准是以肚脐眼为界，向上到头顶的长度是整个身长的 0.382 倍；向下到脚心的长度是整个身长的 0.618倍。人体黄金分割因素包括 4 个方面，即 18 个“黄金点” ，如脐为头顶至脚底之分割点、喉结为头顶至脐分割点、眉间点为发缘点至颏下的分割点等；15 个“黄金矩形” ，如躯干轮廓、头部轮廓、面部轮廓、口唇轮廓等；6 个“黄金指数” ，如鼻唇指数是指鼻翼宽度与口裂长之比、唇目指数是指口裂长度与两眼外眦间距之比、唇高指数是指面部中线上下唇红高度之比等；3 个“黄金三角” ，如外鼻正面观三角、外鼻侧面观三角、鼻根点至两侧口角点组成的三角等。除此之外，近年国内学者陆续发现有关的
24、“黄金分割”数据，如前牙的长宽比、眉间距与内眦间距之比等，均接近“黄金分割”的比例关系。专家们认为，这些数据的陆续发现不仅表现人体是世界上最美的物体，而且为美容医学的发展，为临床进行人体美和容貌美的创造和修复提供了科学的依据。古希腊人以为，美是神的语言。他们找到了一条数学证据，宣称黄金分割是上帝的尺寸。几何学天才欧几里德更进一步：他发现大自然美丽的奥妙在于巧妙和谐的数学比例大多接近 1 比 0.618。 在夏季，人们格外留恋春天的感觉，这种体验恐伯每个人都有，也不足为奇。可是你知道吗?人在春季感到舒畅，那是因为这时的环境温度正好在 22 至 24 摄氏度之间，而这种气温与人的正常体温 37 摄
25、氏度正呈现微妙之处：人的正常体温 37 摄氏度与 0618 的乘积为 228 摄氏度，人在这一环境温度中，机体的新陈代谢、生理活动均处于最佳状态。四、黄金分割法的启示随着社会的发展，人们发现黄金分割在自然和社会中有着极其广泛的应用。例如，优选法中有两种方法与黄金分割就有关。其一就是本文开始时指出的“0618 法” ，它是美国数学家基弗于 1953 年提出的一种优选法，从 1970 年开始在我国推广，取得很好的经济效益。在现代最优化理论中，它能使我们用较少的实验找到合适的工艺条件和合理的配方。虽然黄金分割数是一个无理数，0168 是它的一个近似值，但在实际中使用已足够精确。其二是分数法，它取的也是黄金分割数的近似值，但不是 0618 而是黄金分割数的连分数展开式的渐近分数，也就是采用某一个“斐波那契数列”分数。黄金分割运用也表现出数学发展的一个规律。它表明研究和发展数学理论是十分重要的。纯理论的发展对实践的作用也许不是直接的，但它所揭示的自然规律必将指导人们的社会实践。因此一方面我们遇到问题应该寻找数学方法解决，另一方面，我们也应为纯数学理论开辟应用领域。
