1、中山市高二级 2017-2018学年度第二学期期末统一考试数学试卷（理科）第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.用反证法证明：若整系数一元二次方程 有有理数根，那么 ， ，20axbcaab中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是（ ）cA假设 ， ， 都是偶数 B假设 ， ， 都不是偶数 abcC假设 ， ， 至多有一个偶数 D假设 ， ， 至多有两个偶数abc2. 的值为（ ）sin2xdA B C D044423.已知 为虚数单位，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）i 1izA第
2、一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4.通过随机询问 名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：10男 女 总计爱好 4050不爱好 23总计 712PKk0.15.0.50.2.01.05.12638446378928由 算得2nadbcd221.507K参照附表，得到的正确结论（ ）A我们有 以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别有关” 95%B我们有 以上的把握，认为“是否爱吃零食与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关” 2.5D在犯错误的概率不超过 的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”5.已知随机变量 满足 ， ，则下列说法正
3、确的是（ ）X1E15DXA ， B ， 5EXD4EX4DC. ， D ，556.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 和 ，系统 和系统 在任意时刻发生故AB障的概率分别为 和 ，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为 ，则 （ 18p 940p）A B C. D1021516157.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为 ，两个路口连续0.5遇到红灯的概率为 ，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率.4为（ ）A B C. D0.20.60.80.98.用模型 拟合一组数据，为了求出回归方程，设 ，其变换后得到线性回归kxyce lnzy方
4、程 ，则 （ ）.3+4zA B C. D00.344e9.已知随机变量 的概率分布如下表，则 （ ）X10PX125678910P334232323mA B C. D921091010.若函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数，则实2lnfxx,k数 的取值范围（ ）kA B C. D13,231,21,23,211.若 ，则 （ ）5523451xaxaxax2135aA B C. D0412. 为自然对数的底数，已知函数 ，则函数 有唯一零e1,8lnxfyfxa点的充要条件是（ ）A 或 或 B 或 1a2e98a1a28eC. 或 D 或9第卷（共 90分）二、填空题（每题
5、5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.给出下列演绎推理：“自然数是整数， ，所以 是整数” ，如果这是推理是正2确的，则其中横线部分应填写 14.，ln10，234ln，l56725，n8910ln7则根据以上四个等式，猜想第 个等式是 *nN15.已知曲线 在点 处的切线为 ，则点 的坐标为 xefPyaxP16.江湖传说，蜀中唐门配置的天下第一奇毒“含笑半步癫”是由 种藏红花， 种南海毒蛇32和 种西域毒草顺次添加炼制而成，其中藏红花添加顺序不能相邻，同时南海毒蛇的添加顺1序也不能相邻，现要研究所有不同添加顺序对药效的影响，则总共要进行 此实验三、解答题 （本大题共 6小题，共 7
6、0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.以下是某地搜集到的新房源的销售价格 （万元）和房屋的面积 的数据： y2xm房屋面积 2xm1098010销售价格 （万元）y32349521iix521iiy51iiixy06240（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求 关于 的线性回归方程；yx（2）请根据（1）中的线性回归方程，预测该地当房屋面积为 时的销售价格。2150m， ，其中 ，12niixybaybx1nix1niy18. 已知二项式 的展开式的第 项为常数项31nx7（1）求 的值；n（2）求 的值1224.nnCC19. 设 为虚数单位， 为正整数，i
7、0,（1）证明： ；cos2icosinn（2） ，利用（1）的结论计算 。3zi10z20.某商场举行促销活动，有两个摸奖箱， 箱内有一个“ ”号球，两个“ ”号球，三个A12“ ”号球、四个无号球， 箱内有五个“ ”号球，五个“ ”号球，每次摸奖后放回，B2每位顾客消费额满 元有一次 箱内摸奖机会，消费额满 元有一次 箱内摸奖机会，1030B摸得有数字的球则中奖， “ ”号球奖 元， “ ”号球奖 元， “ ”号球奖 元，摸得无5025号球则没有奖金。（1）经统计，顾客消费额 服从正态分布 ，某天有 位顾客，请估计消费X1,65N10额 （单位：元）在区间 内并中奖的人数.（结果四舍五入取
8、整数）X10,5附：若 ，则 ，,N0.6827PX.2294P（2）某三位顾客各有一次 箱内摸奖机会，求其中中奖人数 的分布列.A（3）某顾客消费额为 元，有两种摸奖方法，308方法一：三次 箱内摸奖机会；方法二：一次 箱内摸奖机会.B请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.21.已知函数 ， . 2lnfxaxa0,aR（1）当 时，求函数 的单调区间；f（2）讨论函数 的零点个数.fx请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的方程为xOy1C2cosin
9、xy2C，以 为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系.3yx（1）求曲线 和直线 的极坐标方程；12（2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 .2C1AB1OAB23.选修 4-5：不等式选讲设函数 .2fxmx（1）若 ，求函数 的值域；f（2）若 ，求不等式 的解集.13x中山市 2017-2018 学年度高二第二学期期末水平测试理科数学参考答案一、选择题1-5:BCAAD 6-10:BCDCB 11、12：CA二、填空题13. 是自然数 14. 2ln12.32ln1n 15. 16.,e20三、解答题17.解：（1） 1598120x3234y设所求线性回归方程为，则 5112240
10、.21ni ii ixyxyb 30.49ayx所求线性回归方程为 2yx（2）当 时，销售价格的估计值为 （万元）215xm0.24159y所以该地房屋面积为 时的销售价格为 万元2018.解：（1）二项式通式 13rnrrrTCx526nrrCx因为第 项为常数项，7所以 ，5602n解得 1（2）因为 ，所以 1224.nnCC91010231010.2123100101010.CCC 当 时，x1 221001031010.2C所以原式 =19.解：（1）1当 时，1n左边 ，右边 ，cosicosin所以命题成立2假设当 时，命题成立，*nkN即 ，cosicosink则当 时，1k
11、1cosincosinkcsincsiokkncssikkcs1si1所以，当 时，命题也成立nk综上所述， （ 为正整数）成立osicosinn（2） 312zii112si6由（1）结论得1010cosini 12cossin61032523ii20.解：（1）依题意得 ， ，15026得 ， ，250消费额 在区间 内的顾客有一次 箱内摸奖机会，中奖率为X, A0.6人数约 人0.95412172PX其中中奖的人数约为 人470.68（2）三位顾客每人一次 箱内摸奖中奖率都为 ，A.6三人中中奖人数服 从二项分布 ， ，3,.B330.4kkPC0,123故的分布列为 01P（或 ）.6
12、48125（或 ）0.836（或 ）0.4251（或 ）0.26715（3） 箱摸一次所得奖金的期望为A25箱摸一次所得奖金的期望为B方法一所得奖金的期望值为 ，310.5.方法二所得奖金的期望值为 ，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大21.解：（1）当 时，1a2lnfxx2fx21令 ，得 ，0f1x当 时， ，1xf当 时， ，x所以 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为f 1,fx0,1（2）当 时， 的定义域为 ，0a2lnfxa11fx当 时，即 时， 在 上单调递增，易知180a18fx,010fa所以函数 有 个零点fxa当 时，即 时，令 ，180a108210ax得
13、 ， ，且 ，14x24x21所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减f,1,0,x由 ，知 ，12xa1所以 ，214x则 ，20fxfa2111112lnlnxfax因为 ，1所以 1120x所以 f所以当 时，函数 有 个零点08afx1a当 时， 的定义域为2lnfx0,12xfa令 ，得 ， ，20x1804a21804ax所以 在 上单调递减，在 上单调递增，f2,2,令 ， ，1lngaa1ga所以 在 上单调递减，在 上单调递增，0,所以 （当且仅当 时等号成立）1当 时， ，而 ， ，1a2xa10ff由 单调性知 ，f2f所以 内存在零点，即函数 在定义 内有 个两点2,1
14、xfx0,2当 时， ，而 ， ，0a21xaf1f同理 内存在零点，21,x即函数 值定义域 内存在 个零点f0,2当 时， ，1a210fxffa所以函数 在定义域 内有一个零点f0,综上： 或 ，函数 有个 零点，0a1fx1或 时，函数 有两个零点22.曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，1C2cosinxy直角坐标方程为 ，221即 ，2470xy极坐标方程 2cos4in70直线 的方程为 ，2C3yx极坐标方程为 （或 ）Rta3（2）直线 与曲线 联立，可得21270设 两点对应的极径分别为 ，,AB12,则 ，1237 123OAB23.解：（1）当 时，1m12fxx 2x23 ，33x函数 的值域为f,（2）当 时，不等式 即1mfx123x当 时，得 ，解得 ，x2351当 时，得 。解得 ，2xxx当 时，得 ，解得 ，所以无解1综上所述，原不等式的解集为 ,
