1、 机械 控制 理论 基 础 （修订 本 ） 董霞 等编 著 西安 交通大学出版社，2005 年 9 月第 1 版 习题解答 山东理工 大学 机械工程 学院 机电工 程系 辛世界 2016 年 绪 论 复习思考 题 1. 机械工 程控 制论 的研 究对 象及任 务是 什么? 解 答： 机械 工程 控制 论实质 上 是研 究机 械工 程中 广义 系 统的 动力 学问 题。 具体 地 说， 它 研究 的是机械 工程技 术中的 广 义系统在 一定的 外界条 件 （即输入 或激励 ，包括 外 加控制与 外加干 扰） 作 用 下， 从 系统 的一 定的初 始 状态 出发， 所经 历的由 其 内部 的固 有
2、特 性 （即由 系 统的 结构 与参 数 所决定 的特 性） 所决 定的 整个动 态历 程： 研究 这一 系统及 其输 入、 输出 三者 之间的 动态 关系 。 从 系 统、 输 入、 输出 三者之 间 的关 系出 发， 根 据已知 条 件与 求解 问题 的不 同， 机械 工程 控制 论的任 务可 以分 为以 下五 方面 （1 ） 已知 系统 和输入 求系统 的 输出 （响 应） ， 并 通过 输出来 研究 系统 本身 的有 关问题 ， 即系 统分析 问题 ； （2）己知 系统和 系统的 理 想输出， 设计输 入，使 输 出尽可能 符合给 定的最 佳 要求，即最 优 控制问 题； （3）已知
3、输入和 理想输 出 ，设计系 统，使 得输出 尽 可能符合 给定的 最佳要 求 ，即最优 设计 问题； （4）系统 的输入 和输出 已 知，求系 统的结 构与参 数 ，即建立 系统的 数学模 型 ，即系统 辨识 问题； （5） 系 统和 输 出已 知， 识 别输入 或输 入中 的有 关信 息，此 即滤 波与 预测 问题 。 2. 什么是 信息 及信 息的 传递 ？试举 例说 明。 解答： 信息： 凡是能 反映 被研 究对 象 （包 括控制 器和 被控 制对 象） 的 状态和 属性 的都 可以 称作信 息 。 信息传 递： 是指 信息 在系 统及过 程中 以某 种关 系动 态地传 递， 或称 转
4、换 。 如图 11 所 示机 床加 工工 艺系统 ，将工 件尺 寸作 为信 息 ， 通 过工 艺过 程的 转换 ，加工 前后 工 件 尺寸 分布 有所 变化， 这 样， 研究 机床 加工 精度问 题， 可通 过运 用信 息处理 的 理论 和方 法来 进 行。 3. 么是反 馈及 反馈 控制 ？试 列举一 个反 馈控 制的 实例 。 解答： 所谓信 息的 反馈 ， 就是 把一 个系统 的输 出量 不断 直接 地或经 过中 间变 换后 全部 或部分 地 返 回， 再输 入 （ 或作 用） 到 系 统中 去， 并 对系 统的输 出 发生 影响， 起到 控制的 作 用， 以 达到 图 11 工艺过程中
5、信息的传 递 工艺过程 毛坯尺寸 工件尺寸 x 0 n n 0 y 预定的 目的 。 利用反 馈信 息进 行的 控制 称为反 馈控 制。 如果反 馈回 去的 信号 与系 统的输 入信 号作 用方 向相 反， 或者 说反 馈信 号减 弱输 入信号 的 作用， 使系 统偏 差的 绝对 值减小 ，则 称为 负反 馈。 反馈回 去的 信号 与系 统的 输入信 号的 作用 方向 相同 ， 或者说 反馈 信号 增强 输入 信号的 作 用，使系 统偏 差的 绝对 值增 大 ， 则称 之为“正反 馈” 。 举例： 图 12 是 一个 薄膜 反馈式 径向 静压 轴承 。图 12(a)是其 结构 示意 图， 图
6、12(b) 是其 方框图 。当 主轴 受到 负荷 W 后，产生偏移 e ，因 而 使轴承 下油 腔压力 p 2 增加 ，轴承 上油 腔压 力 p 1 减 小， 这 样， 与之 相通的 薄 膜反 馈机 构的 下油 腔压 力 亦随 之增 加， 上 油腔压 力 则减 小， 从 而使 薄膜向 上 产生 凸起 变形 ， 因此薄 膜下 半部 高压 油输 入轴承 的通 道扩 大， 液阻 下降 ， 从而 使 轴承 下 部 压力 上升。 而基 于与此 相 反的 理由， 轴承 上半部 压 力减 小， 于 是轴 承下半 部 油腔 产生 反作 用 力，与负 荷相 平衡 ， 以减 少偏移 量 e ，甚至 完全 消除偏
7、移量 e ， 即 达到“无穷 大” 的支承 刚度 。 图 12 静压轴承薄膜反馈控 制系统 4. 对控制 系统 的基 本要 求是 什么？ 解答： 对控 制系 统的 基本 要求是 ：稳 、准 、快 。 系统的 稳定 性是 指系 统动 态过程 的振 荡倾 向及 其恢 复平衡 状态 的能 力 。 系 统在 受到外 界扰 动 作用时 ， 其被 控制 量 y(t) 将 偏 离 平衡 位置， 当这 个扰动 作 用去 除后， 若系 统在足 够 长的 时间 内能 恢复到 其原 来的 平衡 状态 ，则该 系统 是稳 定的 。系 统的稳 定程 度称 为相 对稳 定性。 系统的 准确 性是 指系 统的 控制准 确度
8、 ， 一般 用稳 态 误差来 衡量 。 稳态 误差 可 定义为 系统 稳定 后的实 际输 出与 希望 输出 之间的 差值 或输 入量 与反 馈量的 差值 ，或 其它 定义 方法。 系统的 快速 性是 指输 出量 产生偏 差时 ，系 统消 除这 种偏差 的快 慢程 度。 5. 举例说 明开 环控 制系 统及 闭环控 制系 统， 它们 的区 别是什 么？ 解答： 输出量 对系 统无 控制 作用 的控制 系统 称为 开环 控制 系统。 系统的 输出 量对 系统 有控 制作用 ， 或者 说， 系统 中存 在 反馈 回路， 称为 全闭环 控 制系 统， 简 称闭环 控制 系统 。 主要区 别： （1 ）
9、 开环 控制 系统仅 受输 入量 和扰 动量 控制 ， 输出 端和 输入 端之间 不 存在 反馈 回 路； 闭 环控 制系统 输出 端 和输入 端之 间存 在反 馈回 路， 系 统的 输出量 经反 馈 回路对 系统 起着 控制 作用。 （2 ） 开环 控制 系统无自动 纠偏 能力 ； 闭环 控 制系统 具 有自 动纠 偏功 能， 精度 高。（ 3）开 环 控制系 统结构 简单， 易于维 修， 成本 低， 不存 在稳定 性 问题； 闭环 控制 系统存 在 稳定、 振荡 、 超 调等问 题， 调试 复杂 ，系 统性能 分析 和设 计麻 烦， 成本高 。 举例： 以数 控机 床工 作台 的驱动 系统
10、 为例 。 开环控 制 ： 一 种简 单的 控制 方案是 根据 控制 装置 发出 的一定 频率 和数 量的 指令 脉冲驱 动步 进 电 机， 以控 制工 作台 或刀架 的 移动 量， 而 对工 作台或 刀 架的 实际 移动 量不 做 检 测， 其工 作原 理如 图 13(a)所示 。 这种 控制方 式 简单 ， 但是 从驱 动电 路到工 作台 这整 个“ 传 递链” 中的 任一 环的 误 差均会 影响 工作 台的 移动 精度或 定位 精度 。 闭环控 制 ： 为了 提高 控制精 度， 采用 图 13(b) 所示 的反馈 控制 ， 以检 测装 置 随时测 定工 作台 的实际位 置（即其 输 出信
11、息 ） ；然后 反馈送 回输入 端 ，与控制 指令比 较，再 根 据工作台 实际位 置 与目的 位置 之间 的误 差， 决定控 制动 作， 达到 消除 误差的目 的。 图 13 两种控制方式 （b） 闭环 数控 机床 （只 画 出一个 轴） 驱动器 伺服 电动机 减速器 输入 速度 比较 位置 比较 速度检 测元 件 丝杠 轴承 丝母 移动量 （输出 ） 机床工 作台 位置检 测元 件 速度反 馈 位置反 馈 （a ） 简易 数控 机床 （只 画 出一个 轴） 数控 装置 驱动器 步进 电动机 减速器 丝母 机床工 作台 步进脉 冲 方向信 号 输入 移动量 （输出 ） 负载 扰动 拉 普拉
12、斯变换 的数 学方法 复习思考 题 1. 复数有 哪几 种表 示方 法？Equation Chapter 2 Section 1 2. 复变函 数、 极点 及零 点的 概念。 3. 拉氏变 换和拉 氏反 变换 定义 ，原 函数 和像 函数 的概 念。 解：设实 变量 函数 f(t) 在 t 0 时有 定义 ，且 广义 积分 0 () d st ft e t + 在 s 的某一 区域 内收 敛， 则由此 积分 确定 的函 数称 为 f(t) 的拉普 拉斯 变换 （简 称拉氏 变换 ） ， 记为 0 () () () d st Fs Lft ft e t = = (2-1) 这里 s = + j
13、为复 变量 ， 称为拉 普拉 斯算 子（ 其中 、 为实 变量）， 所以 F(s) 一般为 一复 变函 数。f(t) 称为 “原 函数” （本 课 程中 f(t) 一般 是时 间的 函数） ，F(s)称为 “像 函数 ” 。 若式(21)的积 分收 敛于 一确 定 的函 数值 ， 则 f(t)的 拉氏 变换 F(S) 存在 ，这时 f(t) 必须满 足： 在任 一有 限区 间上 ，f(t) 分段连 续， 只有 有限 个间 断点， 如图 2f1 的 ab 区间 。 当 t 时，f(t) 的增 长速 度不超 过某 一指 数函 数， 也就是 说可 以找 到常 数 a 0 和 M 0， 使得 |f(t
14、)| Me qt式中 M 、a 均为 实常 数。 这一条 件是 使拉 氏变 换的 被积函 数 f(t)e st 绝对收 敛 ，由下 式看 出 因为 () () () st st t ft e ft e fte = = 所以 () () st at t a t f t e Me e Me = 只要是 在复 平面 上对 于 Re(s) a 的所 有复数 s ，都能使 式(21)的积 分绝 对收 敛，则 Re(s) a 为 拉氏变 换的 收 敛域 （ 或称 解析域 ） ，a 称作 收敛 坐标，见图 2f2 。 4. 各种典 型时 间函 数的 拉氏 变换及 拉氏 变换 对照 表的 使用。 图 2f1
15、在a ，b 上分段连续 0 f(t) t b a 图 2f2 拉氏变换定义域 a 0 Im(s) Re(s) 定义域 解： 0 0 00 () () d () d () d () d 1 st L t te t te t t t t t = = = = = 0 00 0 0 11 1( ) 1( ) d d ( )d 11 1 Re( ) 1 0 0 st st st st s L t t et et e e ss ee s ss s s + = = = + =+= （解析域： ） ( ) ( ) 0 00 22 22 11 sin d d d 22 1 11 1 Re( 1 2 22 )0
16、= jt jt s t jt s t jt s t jt jt L t e e et e et eet jj sj sj Le Le j js j s j s js s = + + = + + = + （解析域： ） ( ) ( ) 0 00 22 22 11 cos d d d 22 1 R 11 1 1 e( 22 0 = 2 ) jt jt s t jt s t jt s t jt jt L t e e et e et eet sj sj Le Le sj sj s s s s =+=+ + + +=+= + + = + （解 析域： ）() () 00 0 1 d d s at at
17、at st s a t e Le e e t e t sa sa = = （解析域 ：Re(s) a ） 11 0 ( 1) ! d n n st nn nn Lt te t ss + + = = = （解析 域：Re(s) 0） 5. 拉氏变 换的 性质 以及 对各 种规则 波形 的拉 氏变 换。 解答： （1）线 性性 质： 若有 常数 K 1 ，K 2 ， 函数 f 1 (t) ，f 2 (t) ，且 Lf 1 (t)=F 1 (s) ，Lf 2 (t)=F 2 (s)，则 1 1 2 21 12 21 1 2 2 () () () () () () K f t K f t KL f t
18、 KL f t KF s KF s +=+=+(2-2) （2） 时域 微分 定理 ：若 f(t) 的拉氏 变换 为 F(s) ，则 ( ) ( ) (0) L f t sF s f = (2-3) 式中，f(0) 为 t=0 时的 f(t) 值。 进 而 可推出 f(t) 的各阶 导数 的拉氏 变换 ： 2 ( ) 1 2 ( 2) ( 1) ( ) ( ) (0) (0) ( ) ( ) (0) (0) (0) (0) nnn n n n L f t s F s sf f L f t sFs s f s f f f = = (2-4) 式中，f (i) (0) （0i n）表示 f(t)
19、的 i 阶导 数在 t=0 时的 取 值。 此 定 理需 考虑在 t 0 处是 否有断 点。 如果在 t 0 处 有断点， f(0 )f(0 ) ， 则该 定理需 修改 成 ( ) ( ) (0 ) L f t sF s f + + = ( ) ( ) (0 ) L f t sF s f = 式中 ，f(0 ) 为 由正 向使 t0 时的 f(t) 值 ；f(0 ) 为由负 向使 t0 时的 f(t) 值。 2 ( ) 1 2 ( 2) ( 1) ( ) ( ) (0 ) (0 ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) nnn n n n L f t s F s sf f L
20、 f t sFs s f s f f f + + + + + + + = = 2 ( ) 1 2 ( 2) ( 1) ( ) ( ) (0 ) (0 ) ( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) nnn n n n L f t s F s sf f L f t sFs s f s f f f = = 式中 f (i) (0 ) （0i n） 表示 f(t) 的 i 阶导 数在 t 从正 向趋近 于零 时的 取值 。f (i) (0 ) （0i n ）表 示 f(t) 的 i 阶导 数在 t 从负 向趋近 于零 时的 取值 。 当初始 条件 均为 零时 ，即 1 () (0) (0
21、) (0) (0) 0 n ff f f = = = = = 则有 2 () ( ) ( ) “( ) ( ) () () nn L f t sF s L f t sFs L f t sFs = = = （3）积 分定 理 若 f(t) 的拉氏 变换 为 F(s)，则 ( 1) () 1 ( )d (0) Fs L ft t f ss = + (2-5) 是对不 定积 分的 拉普 拉斯 变换。 式中 ( 1) (0) f 是 ( )d ft t 在 t = 0 时的值 。 如果 f(t) 在 t 0 处包 含一 个脉冲 函数 ，则 ( 1) ( 1) (0 ) (0 ) ff + ，此 时，
22、必须将 上述 定理 修改 如下： ( 1) () 1 ( )d (0 ) Fs L ft t f ss + + = + ( 1) () 1 ( )d (0 ) Fs L ft t f ss = + 式中 ( 1) 0 (0 ) ( )d t f ft t + + = = ； ( 1) 0 (0 ) ( )d t f ft t = = 。 依此类 推 2 (1 ) (2 ) 22 11 1 ( )(d ) ( ) (0) (0) L ft t Fs f f ss s =+ (1 ) (2 ) ( ) 1 11 1 1 ( )(d ) ( ) (0) (0) (0) nn nn n L ft t
23、Fs f f f ss s s = + + + 如果 () () (0 ) (0 ) kk ff + ，该定 理也 要修 正成 (1 ) (2 ) ( ) 1 1 0 1 11 1 1 ( )(d ) ( ) (0 ) (0 ) (0 ) 1 11 ( ) ( )(d ) nn nn n n k n n nk t k L ft t Fs f f f ss s s Fs ft t s ss + = = = + + + = + 对于定 积分 的拉 普拉 斯变 换，如 果 f(t)是 指数 级的 ，则 0 () ( )d t Fs L ft t s = 依此类 推 2 2 00 1 ( )(d )
24、( ) tt L ft t Fs s = 00 0 1 ( )(d ) ( ) tt t n n L ft t Fs s = 如果 f(t) 在 t 0 处包 含一 个脉冲 函数 ，则 00 ( )d ( )d tt ft t ft t + ， 此时 该 定理修 改如 下： 0 () ( )d t L ft L ft t s + + + = 0 () ( )d t L ft L ft t s = 00 0 () ( )(d ) tt t n n L ft L ft t s + + + + = 00 0 () ( )(d ) tt t n n L ft L ft t s + = （4）时 域位
25、移定 理 若 f(t) 的拉氏 变换 为 F(s) ， 且 t 0 时，f(t) = 0 ， 则对任 一 正实 常 数 a ，有 ( ) ( ) as Lft a e Fs =(2-6) f(t a) 为 f(t) 沿 t 轴平移( 或者 说 延时)a ，且有 t a 时 ，f(ta) 0 。 （5）复 域位移 定理 若 f(t) 的拉氏 变换 为 F(s)。对 任 一常数 a（实 数或 复数 ） ，有 () ( ) at Le ft Fs a = (2-7) （6）初 值定 理 若 函数 f(t) 及其一 阶导 数都 是可拉 氏变 换的 ，并且 lim ( ) s sF s 存在，则函数 f
26、(t) 的初值 为 0 (0 ) lim ( ) lim ( ) s t f f t sF s + + = = (2-8) 即原函 数 f(t) 在自 变量 t 趋于 零 （从 正向 趋于 零） 时的极 限 值， 取决 于其 象函数 F(s) 的自 变量 s 趋 于 无 穷大时 sF(s)的极 限值。 （7）终 值定 理 若 函数 f(t) 及其一 阶导 数都 是可拉 氏变 换的 ， 并且除 在原点 处唯 一的 极点 外 ，sF(s)在 包含 j 轴的右 半 s 平 面内 是解 析的 （这意 味着当 t 时 f(t) 趋于一 个确 定的 值）， 则函 数 f(t)的 的终 值为 0 lim (
27、 ) lim ( ) ts f t sF s = (2-9) 运用终 值定 理的 前提 是时 间函数 f(t)有 终值 存在 。 当 f(t) 是周期函 数， 如 正弦函 数 sin t 时， 由于它 没有 终值 ，故 终值 定理不 适用 。 （8） 时域 卷积 定理 若 () () Fs L ft = ， () () Gs Lgt = 则有 0 ( ) ( ) d () () t L f t g Fs Gs = (2-10) 式中， 积分 0 ( ) ( ) d () () t ft g ft g t = ， 称作 f(t) 和 g(t) 的卷积 。 6. 用部分 分式 法求 拉氏 反变 换
28、。 解答： （1）F(s)无 重极 点的 情况 F(s) 总是 能展 开为 下面 简单 的部分 分式 之和 ： 12 12 () () () n n K KK Bs Fs A s sp sp sp = = + + (2-11) 式中 K 1 、K 2 、K n 为待定 系 数（系数 K i 为常 数， 称作极 点 s p i 上的 留数）。 () () ( ) ( 1, 2, , ) () ( ) i i ii i sp Bp Bs K sp i n As A p = = = (2-12) 式中 p i 为 A(s) 0 的根 （即 F(s)的极 点） ， d () () d i i sp A
29、s Ap s = = 。 求得各 系数 后， 则 F(s) 可 用部分 分式 表示 12 12 () () () n n K KK Bs Fs A s sp sp sp = = + + (2-13) 因 1 1 i pt i Le sp = ，从而 可求得 F(s)的原函 数 为 12 1 12 1 () () ni n p t pt pt p t ni i f t L F s Ke Ke K e Ke = = = + + = (2-14) 当 F(s)的某 极点 等于 零， 或 为 共轭 复数 时， 同样 可用 上 述方 法。 注意 ， 由于 f(t) 是个实 函数 。 若 p 1 和 p
30、2 是一 对共 轭复 数 极点， 那么 相应 的系数 K 1 和 K 2 也是 共轭 复数 ， 只要求 出 K 1 或 K 2 中 的一个 值， 另一 值即 可得 。 （2）F(s)有 重极 点的 情况 假设 F(s) 有 r 个重极 点 p 1 ，其余 极点 均不 相同 ，则 11 11 12 1 1 2 1 1 1 112 () () () () ( )( ) ( ) () () r n rn n rr r rr rr n Bs Bs Fs A s a sp sp sp K K K KK K sp sp sp sp sp sp + + + = = = + + + + + 式中 K 11 、
31、K 12 、 、K 1r 的求 法 如下 ： 1 1 1 1 11 1 12 1 2 13 1 2 1 11 1 ( )( ) d ( )( ) d 1d ( )( ) 2! d 1d ( )( ) ( 1)! d r sp r sp r sp r r r r sp K Fs s p K Fs s p s K Fs s p s K Fs s p rs = = = = = = = = (2-15) 其余系 数 K r 1 、Kr 2 、 、K n 的求 法与 第一 种情 况 所述的 方法 相同 ，即 () ( )( ) ( 1, 2, , ) ( ) j j jj sp j Bp K Fs s
32、p j r r n Ap = = = =+ 求得所 有的 待定 系数 后，F(s) 的反变 换为 11 2 1 12 11 12 1 12 () () ( 1)! ( 2)! n rr pt pt p t p t rr rr r n KK f t L Fs t t K e K e K e Ke rr + + = = + + + + + 7. 使用 MATLAB 函 数求 解原函 数 的方 法。 8. 用拉氏 变换 求解 微分 方程 ，系统 补函 数和 特解 函数 的概念 。 解答： 用拉 氏变换 解线性常微分 方程 ， 首先 通过 拉 氏变换 将常 微分 方程 化为 象函数 的代 数方 程，进
33、 而解 出象 函数 ，最 后由拉 氏反 变换 求得 常微 分方程 的解 。 与初始 条件 有关 的解 称为 补函数 ，与 输入 有关 的解 称为特 解函 数。 习 题 2-1 试求下 列函 数的 拉氏 变换 ，假 设当 t 0 时 f(t) 0 。 （1 ） ( ) 5(1 cos 3 ) ft t = （2 ） 0.5 ( ) cos10 t ft e t =（3 ） ( ) sin(5 ) 3 ft t = + （用和 角公 式展 开） （4 ） () n at f t te =解： （1 ） ( ) 5(1 cos 3 ) ft t = 解法 1 ：利用 拉氏 变化 的线 性 叠加 特性
34、 和拉 氏变 换对照表 22 2 5 5 45 ( ) ( ) 5 1( ) 5 cos3 3 ( 9) s Fs Lft L t L t s s ss = = +解法 2 ：直接 按定 义求 解 0 12 00 ( ) ( ) 5(1 cos3 ) d 5(1 cos 3 ) 5 d 5 c o s 3 d 5 () 5 () st st st Fs Lf t L te t t et t et F s F s = = = = = 1 0 0 01 5 () d st st e Fs e t ss s = = = = （收敛 域：Re(s) 0 ） ( ) ( ) 2 0 00 0 2 0 0
35、 0 2 2 22 11 ( ) cos3 d cos3 d 3sin 3 d cos3 1 13 3 0 1 sin 3 d 3cos3 d sin 3 13 19 () 0 0 3 () st st st st st st st F s te t te te t te ss te te t te s ss s Fs Fs ss ss = = = = + = += 由上式 得到 2 2 () 9 s Fs s = + （收敛 域：Re(s) 0 ） 所以 12 22 5 5 45 () 5 () 5 () 9 ( 9) s Fs Fs F s s s ss = = + （收敛 域：Re(s)
36、 0 ） 解法 3 ：利用 欧拉 公式 直接 按 定义 求解 0 00 33 ( 3) ( 3) 0 00 0 ( 3) ( 3) 00 ( ) ( ) 5(1 cos3 ) d 5 d 5 cos3 d 5(1 cos 3 ) 1 5(0 1) 5 5 5 ( )d dd 22 55 2 ( 3) ( 3) st st st st jt jt s t sjt sjt sjt sjt F sL f t L t et et t et t e e e et e te t s s ee s sj sj + + = = =+= + = + + 00 33 33 55 33 33 2 11 55 33
37、33 2 st j t st j t tt st j t st j t tt ee ee ee sj sj sj sj s ee ee sj sj sj sj s = = = = + = + + + + = + + + 当 Re(s) 0 时 22 2 11 5 5 5 5 45 00 () 33 2 3 ( 9) s Fs sj sj s s s ss + = + = = + （收敛 域：Re(s) 0 ） （2 ） 0.5 ( ) cos10 t ft e t =解法 1 ：利用 拉氏 变换 对照 表 和 复数 域位 移定 理得 因为 22 cos10 10 s Lt s = + ，根据
38、拉氏 变换 复数 域位移 定理 得 0.5 2 22 0.5 0.5 ( ) ( ) cos10 ( 0.5) 10 100.25 t ss F s L f t Le t s ss + = = = = + + +解法 2 ：直接 按定 义并 与 cos t 的 拉氏 变换 进行 比较 0.5 ( 0.5) 00 2 22 ( ) ( ) cos10 d cos10 d 0.5 0.5 ( 0.5) 10 100.25 t st s t F s L f t e te t te t ss s ss + = = = + = = + + + 解法 3 ：直接 按定 义求 解 0.5 10 10 ( 0
39、.5) 00 ( 0.5 10) ( 0.5 10) ( 0.5 10) ( 0.5 10) 00 00 ( 0.5 10) 1 ( ) ( ) cos10 d ( ) d 2 11 dd 2 2 ( 0.5 10) ( 0.5 10) 1 2 t s t jt jt s t s jt s jt s jt s jt s jt F s L f t e te t e e e t ee e te t sj sj e + + + + + + = = = + =+=+ + + + = 0 ( 0.5 10) 0 ( 0.5) 10 ( 0.5) 10 0.5 10 0.5 10 0.5 10 0.5 1
40、0 11 1 2 0.5 10 0.5 10 0.5 10 0.5 10 s jt tt s tjt s t jt tt ee e sjsj sjsj ee ee sjsj sjsj + = = + + = = + + + + + = + + + + + 当 Re(s) 0.5 时 1 1 1 11 1 () 0 0 2 0.5 10 0.5 10 2 0.5 10 0.5 10 Fs sj sj sj sj = + + = + + + + + 2 22 0.5 0.5 ( 0.5) 10 100.25 ss s ss + = = + + +（收 敛域 ：Re(s) 0.5 ） 解法 4 ：直
41、接 套用 教材 表 21 中第 14 项结 果 0.5 2 22 0.5 0.5 ( ) ( ) cos10 ( 0.5) 10 100.25 t ss F s L f t Le t s ss + = = = = + + +（3 ） ( ) sin(5 ) 3 ft t = + （ 用和 角公 式展 开） 解法 1 ：利 用和 角公 式展 开，然 后利 用拉 氏变 换的 线性叠 加性 和拉 氏变 换对 照表 13 ( ) sin(5 ) sin 5 cos cos5 sin sin 5 cos5 3 3 32 2 ft t t t t t = += + = +所以 22 22 2 1 3 15
42、 3 35 ( ) ( ) sin 5 cos5 2 2 2 5 2 5 2( 25) ss Fs Lft L t L t s ss + =+=+= +解法 2 ： 直接 利用 定义 求解 ( ) sin(5 ) sin5( ) 3 15 ft t t = += + ，令 15 t = + ，则有 () 15 0 15 ( ) ( ) sin5( ) d sin(5 ) d 15 s st Fs Lft t e t e =+= 15 15 15 00 15 sin(5 ) d sin(5 ) d sin(5 ) d ss s ss e ee e e = = （1 ） 而 2 0 5 sin(5
43、 ) d 25 s e s = + （过程 略） （2 ） ( ) 55 15 15 00 ( 5) ( 5) 15 15 00 ( 5) ( 5) 15 15 00 55 55 15 2 0 1 sin(5 ) d d 2 11 dd 22 1 25 5 ( ) 5( ) 1 2 25 2 sin 5 1 2 s j js sj sj sj sj s jj jj s e eee j ee jj ee j sj sj e se e j e e js e sj j + + = = = + + + = + = ( ) 15 2 0 15 2 0 15 2 5 2cos5 25 sin 5 5cos5 25 35 5 22 25 s s j s es s es s + = + + = +( ) 15 22 35 5 2( 25) 25 s es ss = + +（3 ） 将（3 ）式 和（2 ） 式代 入（1 ）得 ( ) 15 15 2 222 35 5 5 35 ( ) ( ) 25 2( 25) 25 2( 25) s s es s Fs Lft e s sss + = = + 【注】 本题不 可直 接利 用时 域位移 定理， 因为 函数 不是 延时函 数， 如 果使 用了 时域 位移定理， 则将改 变定 义域 。 （4 ） () n at f
