1、4184 线性代数（经管类）重点难点总结1、设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 0，且 A 的秩为 n-1，则齐次线性方程组 Ax=0 的通解为_K(1,1,1.1) T2、设 是 矩阵，已知 只有零解，则以下结论正确的是（ A ）mxA B （其中 是 维实向量）必有唯一解bmC D 存在基础解系r)( 0A若 ，即方程个数小于未知量个数，则 必有非零解n 0Ax3、实数向量空间 的维数是 _|),(321321xV就是齐次方程组 的解向量组，它的基础解系（即极大无关组）含有V0个向量，所以 的维数是 2213rn4、设线性方程组 有无穷多个解，则 _132xaa 12103121),(
2、 aaaabA，)2()1(2034203aaaa方程组有无穷多个解，则 5、设向量 ，求 ),3(10)(T解： ， 101010 )()( TTT 由于 ，)3(2),(T所以 （标准答案） 101010)()(TT 46913)2,(3010T6、 已知 线性无关，证明： , , , 线性无关4321, 2131证：设 ，0)()()()( 144332 kkkk即 ，0)()()()( 43322141 kkkk因为 线性无关，必有 ，4321,04321k，0211010101| A只有 ，所以 ， ， ， 线性无关4321kk213417、设 A 是 n 阶方阵，若对任意的 n 维
3、向量 x 均满足 Ax=0,则（ ）A.A=0 /A/=0? B.A=EC.r(A)=n D.0r(A)(n)8、设 A 是 mn 矩阵，Ax= 0,只有零解，则 r(A)=_n 9、设二次型 f(x)=xTAx 正定,则下列结论中正确的是( )A.对任意 n 维列向量,xTAx 都大于零B.f 的标准形的系数都大于或等于零C.A 的特征值都大于零D.A 的所有子式都大于零 20、求二次型 f(x1,x2,x3)=- 4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3 经可逆线性变换 所得的标33212yx准形.12、设 A、 B 为同阶方阵，且 r(A)=r(B)，则( ) A 与 B 合同 r(A)=
4、r(B) PTAP=B, P 可逆A.A 与 B 相似 ？ B.| A |=| B |C.A 与 B 等价 D.A 与 B 合同 ？13、若 A、B 相似，则下列说法错误的是( B )A.A 与 B 等价 B.A 与 B 合同C.| A |=| B | D.A 与 B 有相同特征值A、 B 相似 A、B 特征值相同 | A |=| B | r(A)=r(B)；若 AB ，BC，则 AC （代表等价）14、若 A、B 为 5 阶方阵，且 Ax=0 只有零解，且 r(B)=3，则 r(AB)=_3_.若矩阵 A 的行列式| A | 0，则 A 可逆，即 A A-1=E，E 为单位矩阵。 Ax=0
5、只有零解 | A | 0，故 A 可逆若 A 可逆，则 r(AB)= r(B)=3，同理若 C 可逆，则 r(ABC)= r(B)15、问 a 为何值时，线性方程组 有惟一解？有无穷多解？并在有解时63241321xax求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解） 。四、证明题（本题 6 分）http:/ 自考资料 ,自考白皮书16、设 A，B，A+ B 均为 n 阶正交矩阵，证明（A +B） -1=A-1+B-1。D17、若四阶方阵的秩为 3，则( )A.A 为可逆阵 B.齐次方程组 Ax=0 有非零解C.齐次方程组 Ax=0 只有零解 D.非齐次方程组 Ax=b
6、必有解18、设 2 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，它们对应的特征向量分别为 =(1，1) T,1=(1，k) T，则数 k=_-1_.19、对非齐次线性方程组 Amnx=b，设秩（A）=r，则（ A ）Ar=m 时，方程组 Ax=b 有解 Br=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解Cm=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解 Drn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解20、设 A=32311a为 3 阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组032312xaxa的解为_零解_.21、设 为 Ax=0 的非零解， 为 Ax=b(b 0)的解，证明 与 线性无关.证明： 122111()00kAkk0b所以 与 线性无关。不可逆矩阵
