1、1用特殊化思想巧解高考选择题广西上思县上思中学(文)王春雷（中学二级教师） (评注)凌旭球（中学特级教师） 如果对于一般条件 A，命题成立，那么对于一般条件 A 中的特殊条件、具体问题，命题也应成立。据此，对一些较为抽象或一般规律又无显露的数学问题，尤其是答案相对唯一的选择题，可以采用抽象问题具体化、一般问题特殊化的方法来验证，而无需作费时费力的严格推证，从而避免“小题大做” ，以降低难度，尽快确定正确答案。这种解题思路就是所谓的数学解题中的特殊化思想。本文拟就如何运用特殊化思想巧解高考选择题例举如下：一、抓住特殊因素，寻求解题思路。某些数学问题，有时难以识别它属于我们所熟悉的哪一类常规问题，
2、或虽有常规方法，但解法将不胜其烦。对于这类问题，应着眼于问题本身的特殊性，紧紧抓住一、两个重要的特殊因素，并以此作为突破口，去探求解题思路。例 1-1(1997 年全国高考)定义在区间 的奇函数 为增函数，偶函数 在),()(xf )(xg区间 的图象与 的图象重合。设 ，给出下列不等式：,0)(xf 0ba )(gabf )()(bgaf (ba其中成立的是( )：A、 B、 C、 D、解：特取 ， ，则 、 满足题目条件。设 ，xf(|(g)(xfg1,2ba代入验证易知，、成立，故选 C。评注：本例据抽象函数的性质和特征，从满足条件的特殊函数(特殊值) 入手分析探求，寻求出问题的解题思路
3、和结论。例 1-2(2001 年全国高考)设 、 都是单调函数，有如下四个命题：)(xfg若 单调递增， 单调递增，则 单调递增(xf )(xgf若 单调递增， 单调递减，则 单调递增)(x若 单调递减， 单调递增，则 单调递减(xfg)(xf若 单调递减， 单调递减，则 单调递减)(xg2其中正确的命题是( )A、 B、 C、 D、解：特取 ，知命题错，排除 A，Bxgxf()特取 ，知命题错，排除 D，从而选 C。评注：本题从发现符合条件的特殊例子(有时是特殊数值 )入手，借用特殊解决一般，收到事半功倍之效。例 1-3：(1999 年全国高考) 函数 在区间 上是增函)0(sin)(xMx
4、f ,ba数，且 则函数 在区间 上是( ),(,(bfMafcoA、增函数 B、减函数C、可以取得最大值 M D、可以取得最大值 解：不妨取 ，得 ，画2,0,1ba xgxfcos)(,sin)(出函数图象，即知选 C。评注：对于条件或结论是一般性的三角题，通常取特例(即考虑特殊角、特殊三角函数)进行验算解答，可以起到以特殊估一般之效。二、巧用特殊因素，优化解题方案。对有些外形貌似熟题的数学问题，如果轻易套用常规方法，则会加大计算量，甚至无法求出结果，此时，应巧妙地运用特殊因素，寻求最优方案，方能收到事半功倍之效。例 2-1(2001 年全国高考)若定义在区间 内的函数 满足)0,1()1
5、(log)(2xfa，则 的取值范围是( )0)(xfaA、 B、 C、 D、21,21,0(),(),0(解：特取 时， 可排除 C、D；而当 时，,x12log)f 21a无意义，故选 A。)(xf评注：本例常规解法是：由于 ，知 ，则由对数函数性质得01xx，即 ，故选 A。然而这里运用了特殊值求解，更显方法之优。120a210例 2-2（2002 年全国高考）已知 ，则有（ ）1ayx3A、 B、0logxya 1log0xyaC、 D、212解：特取 ，则1,48yx 25)(log)48(ll 2121 xya所以应选 D。评注：对于某些只需比较大小的题目而言，若用常规方法来解（或
6、证明） ，有时会不胜其烦，但若巧取特殊值（如： 时可取 ， 时可取10x2x1y等等）则会大大优化解题过程。2,4yx例 2-3(2001 年北京春季高考) 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量 (万件 )近似地满足 。按此nS )12,3,)(521(90nnS计算，在本年度内，需求量超过 1.5 万件的月份是( )A、5 月、6 月 B、6 月、7 月 C、7 月、8 月 D、8 月、9 月解：设月的需求量为 ，由备选项可取 则 ，na,6n5.6Sa，由此可排除 A、B、D，故选 C。5.167Sa评注：本例从题设结构入手，巧取特殊项，从而减少运算量，简化了
7、解题过程。三、分析特殊因素，发现一般规律对一些较为抽象的数学问题，一般规律又无显露，此时，可利用特殊因素来探路，进而发现规律，得出正确结论。例 3-1：（ 2001 年 全 国 高 考 ） 一 间 民 房 的 屋 顶 有 如 图 三 种 不 同 的 盖 法 ： 单 向 倾 斜 ； 双 向 倾 斜 ； 四 向 倾 斜 。 记 三 种 盖 法 屋 顶 面 积 分 别 为P1、 P2、 P3。 若 屋 顶 斜 面 与 水 平 面 所 成 的 角 都 是 ， 则 (A)P3=P2P1 (B)P3P2=P1(C)P3P2P1 (D)P3=P2=P1解：令 ，即可知选 D。0评注：由射影面积公式（ ）可知
8、： 与斜面和水平面所成角cosS斜射 射S图 3-14有关，而与斜面内图形形状及图形放置无关。本例抓住“所成角都是 ”及“射影面 积（民房面积）不变” ，取特值 ，将三种不同的房盖均变成平房盖，而同一间民房0的房盖面积（即射影面积）全部相等，从而得解。例 3-2：(1999 年全国高考) 如图 3-21，在多面体ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF 与面 AC 的距离为 2，则该23,/EFAB多面体的体积为（ ）A、 B、5 9C、6 D、 21解：特取直三棱柱 BCFAGD，如图 3-22，则 |3|EGSABSVACDCFAGDECBF 21521321故选
9、D评注：有些立体几何问题，为了考查考生的辨别能力，故意将有规则的几何图形改造为不规则的图形。对此，我们可用“割补法”补成规则图形或将图形规则化、特殊化，从而使问题化解。由此可知，众多数学问题具备各自的特殊性，若能充分挖掘隐藏于数学问题中或与之相关的特殊值、特殊式、特殊点(线、面) 、特殊位置、特殊关系 ，就能巧妙地利用这些特殊因素使问题得以顺利求解。总评：数学充满着辩证法，一般性往往寓于特殊性之中。解决数学问题时，将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略。数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是数学中的精髓，是联系各类数学知识的纽带，掌握它并能加以灵活运用，就可以巧妙地解题。对学生作必要的数学思想方法在解题中的运用的指导，使学生走出模仿或传统学习的境地，能动地、创造性地学习，是大有脾益的。因为数学思想方法在学习的全过程和考试中都发挥着重要的作用。E FADBCE FADBCG图 3-21图 3-22
