1、客观题技术1. 选择题技术选择题的目的是考查基础知识和基本概念( 即考察所谓的常识 )，因此没有繁杂或困难的题目。对付的办法自然是越简单越好；另外，选择题的特点是四选一，故只要知道其中一个是对的，其余就可以不管了。例 1 下列命题错误的是 。A.若 A 和 B 可交换,则 AB10 和 BA10 也可交换;B.若 A-B 和 A+B 可交换,则 A 和 B 也可交换;C.若 A 和 B 可交换,则 AT 和 BT 也可交换;D.若 AB 和 BA 可交换,则 A 和 B 也可交换.解 若每个结论都去辨别真伪，则一道选择题就变成了 4 道证明题，大大亏本，故需要好办法：常识！当 A 和 B 可交
2、换时，一切与 A，B 有关的矩阵就都可以交换了，因此 A，C 均正确，可以排除；要从 B，D中选择，有两个办法：一是直接计算 A-B与 A+B 的乘积，得 (A-B)(A+B)=A2+AB-BA-B2，而(A+B) (A-B)=A 2-AB+BA-B2,于是A2+AB-BA-B2 =A2-AB+BA-B2，从而2AB=2BA，故 B 正确，所以选 D，但此法显然较麻烦；二是继续发动你的常识：在上矩阵第一节课的时候，老师谆谆教导我们，两个非 0 矩阵 A,B 的乘积 AB 可能等于 0，那时老师没说过 AB=BA，可见，AB=0,但可能 BA0，故 D 错，选 D！注解：一般而言，当选择题的选项
3、都是“若,则”之类的命题时，可以选择条件最复杂的选项作为突破口；而且，概率很大地，该选项就是最终的答案。例 2 设 A,B 均为 mn 矩阵,且矩阵方程AX=B 有解，则必有 。A. r(A)r(B) B. r(A)r(B)C. r(A)0 D. r(B)0解 正解(力敌)：由于 r(B)=r(AX) minr(A),r(X), 故选 B。巧解( 智取 )：如果一时半会想不起来正解，可以从最简单处着手，同时取AB0，则方程显然有解，故 C，D 均错；而 A0，B=0 时方程依然有解，故 A 也错，不选 B 选什么？（不想得分都不可能！）回忆：此法称为排除法。例 3 已知 为三阶方阵， ，A3A
4、则 。129AA.15 B. 9 C. 27 D.-171解 正解:11 311129|2*9|69|3|()93AAEE巧解：令 ，则 ，13*31A于是 ,12*929131/31A所以选 B。此称为特殊值法。 （启示：最简单的就是最漂亮的！）例 4 设 n 阶方阵 A 的各行与各列之和均为 0，则 .A. A 的秩为 0 B. A 的代数余子式全相等C. A 为对称矩阵 D. A 的秩小于 n-1解 此题即使高手亦费思量。此时，A 不可逆，故其秩 rn-1.如果 rn-1,则 A 的所有代数余子式均为 0；如果 r=n-1,则 r(A*)=1，且向量 (1,1,1)T 是方程 Ax=0
5、的一个基础解系; 由于 AA*=0,A*的列向量均是方程 Ax=0 的解，因此 A*的每一列中的元素均相等；同理，由于 A*A=0,故 A*的每一行均为方程 yA=0 的解，而(1,1,1)是该方程的一个基础解系，故 A*的每一行中的元素均相等,从而 A*的元素均相等；故应选B。巧解：取 可知 A,D 均错。满1A足条件的二阶矩阵均具有形式 ，aA此时 B,C 均正确。故考虑三阶矩阵。由上面的二阶矩阵，可令 ，它显然10A满足条件，但非对称矩阵，排除 C，选B！例 5 设为 n 维向量1212,s t 组，且 12(,),sr a，则 12(,)tr b.1212(,)s t A. B. ab
6、abC. D. mx, min,解 最错的是 D(林子越大鸟越多，怎么可能减少呢？) 。再错的是 B(两片林子合在一起，鸟不会比各自的鸟加起来更多：因为有些鸟属于两片林子！)。于是 C 也错( 两片林子合在一起，鸟可能真会比每一片的鸟都多) 。所以选 A。( 启示：线性代数实际上是逻辑，是常识，是思想和智慧。)例 6 设 43 矩阵 A 的秩 r(A)=2, B=,则 r(AB)= .1023A. 0 B. 1 C. 2 D. 3正解: 注意 B 是可逆矩阵，因此 r(AB)=r(A)（可逆矩阵右乘一个矩阵,相当于对该矩阵实行一系列列初等变换,不改变秩） ，故选 C.巧解: 你知道最简单的 4
7、3 矩阵吗？好，就令 A 是这个矩阵，即 ，计100A算 AB 可得， ，幸福！这个120AB矩阵的秩是 2！例 7设 是线性方程组 Ax=010,1的解，则系数矩阵 A 可以取为 。A B.10123431023C. D. 0123101233正解:该方程组有 3 个未知数，而，显然线性无关，故一个基础解系至少包含 2个向量，从而知道系数矩阵的秩 r 3-2=1.纵观四个选项，只有 D 的秩 1，故选 D。巧解: 容易想到将两个解 与代入,此时悲剧发生: 因为确实满足 A(验证了四次!), 也满足前两个方程,此时若将 A 选定,则非常不幸.但注意到和的特殊关系,懒人可以用懒办法(此懒办法是思
8、考的结果): 也01是方程的解,于是系数矩阵的第二列必须都是 0!例 8 设 则130()479,32AI的特征值1()()AIAI之和为 .A.10 B.20 C.23 D.83解 正解：特征值之和等于迹即对角线元素之和。如何求对角线元素之和呢？即使是老老实实做，也不至于去求 AI 以及乘积 吧！如果必须要做乘法，1()()AII我们当然愿意用 0 矩阵乘，但此处无 0 矩阵；所以我们愿意用单位矩阵乘或用一个矩阵去乘它的逆矩阵，这个愿望看来较为现实。改造 ，可得1()()AII,1 13*()2()2()5AEEAE 幸福再次降临！选 C。巧解：要求对角线元素之和。故扔掉所用非对角元素试试：
9、如此，而 于是10()7,2AI10()/7,/2AI故30()15/7,/2AI美丽的线性代数！130()()5,AE例 9 设有三条不同的直线，它们所组成的线性方(1,23)iiiaxbyc程组的系数矩阵的秩为 2，而增广矩阵的行列式等于-3, 则这三条直线可能的位置关系是 。A. 两条重合且与另一条相交 B. 两两相交但不共点C. 均不重合且交于一点 D. 三条均平行但不重合解 正解：系数矩阵的秩为 2，表明三条直线至少有两条不平行，故 D 错；增广矩阵的秩为 3，故三条直线均不重合，A 错；另外，由于增广矩阵不等于系数矩阵的秩，故方程组无解，即三条直线不能相交于一点，故 C 错；选 B
10、.巧解：按题意，选取最简单的三条直线如下： ,此时,系数矩阵的秩为 2,增01xy广矩阵的秩为 3,恰好对应选项 B.例 10 若 是齐次方程组1234,的基础解系,则 还有一个基础0AX 0AX解系是 。A. 12341,B. 123324,C. 12341,D. 121232, ,解 需要找到四个线性无关的解。显然四个选项中的向量全部为解向量。但 A 中的向量之和为 0，故线性相关；向量组 B 与题目中的组等价，故为基础解系，选 B.(继续下去有,C 中的向量线性相关:前二者之差等于后二者之差;D 中缺少 ,当然也线性相4关.)总结: 对付选择题,尽可以八仙过海，各显神通.但基本概念与理论
11、必须融会贯通方能达到美妙的境界。2. 填空题技术首先要明白填空题的目的是考察基本计算能力，仅涉及简单的计算技巧，比选择题要求高，需要对整个课程的基本内容有较好的了解，方能取得理想的成绩。个别题目可以使用类似于选择题的特殊办法。但总体属于计算题的范畴，极易失分，须特别仔细。对策: 大多数填空题包含一个简单的技巧,通常可以通过恒等变形化成较为简单的形式.例 1 设 44 矩阵 A=(,), B=(,). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|= .正解：|A+B|=|+, +, +, +|=|+, 2(+), +, +|=2|+, +, +, +|=2|+, , +, +|=2|+, ,
12、+, |=2|+, , , |=2(|, , , |+|, , , |)=2(|A|+|B|)=6.巧解：正解令人羡慕，但可能想不起来.于是令 A=E,则 .但|B|=2, 所以?01?0B取最简单的 .于是2010B,故AB6。301例 2 设 ， 是 的410351|2ijDa2iA2ia代数余子式( i=1,2,3,4), 则 。421ii解： 就是第二列的代数余子式的421iiA和，即将原行列式的第二列统统换为 1 所得到的行列式的值，从而 421101045145154522(52)3.23031301iiA 例 3 已知 则 A= .104,23A解 此题考查分块矩阵，正交矩阵以及
13、逆矩阵，属于填空题中偏难的题目；但由于可以直接计算，故难度降低(应出一个四阶矩阵的题目) 。分块变形可得则 B 是正交矩阵,104031,2ACC=(2),从而 C 1 =(1/2), 因此1312,TB.111 100()BCAC 例 4 若四阶方阵 A 的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A -1+2A*|= .解 此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要( 也是最简单的 )的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了:A-1+2A* = A-1 (E+2A A*) = A-1 (E+2|
14、A|E)=-11A-1.故|A -1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6.本题有巧解，你想到了吗？对！就让 A是那个满足条件的最简单的矩阵！例 5 设 nm 矩阵 A 的秩序为 k(m),则齐次线性方程组 AX=0 中独立方程的个数有个,多余方程有个,其基础解系含个解向量。解 此题好.我们平时所讨论的方程组AX=0 中一般均假定 A 为 mn 矩阵,现在反过来了.因此概念要清楚:本题的方程组共有 n 个方程,m 个未知数.故有 k 个独立的方程,n-k 个多余的方程,m-k 个解向量.例 6 若三阶方阵 A 的特征值为-1,0,1,则与方阵 B=A3-A+2E 相
15、似的对角矩阵为 .正解 需要知道方阵 B 的特征值.因为 B是 A 的多项式,所以其特征值是 A 的特征值的相应的多项式的值,即 B 的特征值为(-1) 3-(-1)+2=2,03-0+2=2,13-1+2=2,于是所求矩阵为 2E.巧解 取最简单的 A，即 Adiag-1,0,1,于是 B=diag-1,0,1-diag-1,0,1+2E=2E, ok. 例 9 设 A，B，C 均为 n 阶方阵且ABC E，则 BT(CA)T = 。正解 由矩阵的转置可知 BT(CA)T =(CAB)T ,所以需要理解 CAB:由条件知 C 是 AB 的逆矩阵,因此 CAB=E,所以(CAB) T =E.(
16、说实话,一眼便知此题和矩阵 A，B，C 没什么关系,因此除了 E 外,还有什么可填的?)巧解 取 ABCE。为什么不？！例 10 若 n 阶方阵 A 满足 A2-2A-E0，则(A-3E) -1= .解 (A-3E)(A+E)= A2-2A-3E=-2E,所以(A-3E)-1=-(A+E)/2.(此种题目的答案显然与 A有关，巧解不适合.)例 11 设 1=(2,1,1)T, 2=(-1,2,7)T , =(1,2,t)T. 若 可由 1, 2 线性表示，则 t= .解 此时三个向量线性相关，故必有 1， 2，= 0, 即,205305312(5)017 tttt所以 t=5.例 12 设齐次
17、线性方程组有非零解，则 t 满足的204xyztxyz关系是 。解 此时系数行列式必为 0，所以 222211110 304303tt ttt所以 t=1 或 t=2。例 13 已知=(1,2,3),=(1,1/2,1/3). 设A=,其中表示转置,则 A50= .解 关键是 =11+(1/2) 2+(1/3) 3=3是数. 从而 A50=()49=349=349A,其中 1231121.23332A此题的意义深远,它再次唤醒我们的一个美妙记忆: 秩为 1 的矩阵是非常可爱的,它不仅可以写成一个列矩阵和一个行矩阵的乘积,而且它的任意次幂也可以轻松算出(对照: 一般矩阵的幂需要对角化方可算出.)
