1、第 1 页 共 8 页运用解题思维程序提高学生的解题思维能力实验高中 曾颖嘉摘要:“问题 是数学的心脏 ”,教会学生解题是中学数学教学的首要任 务，也是中学数学习题课的目标之一.但目前教学中多数课堂的教学效果并不理想，学生仍出现审题入手难、解题遗漏多等问题.笔者通过实践发现解题准确与否与解题习惯密切相关，如能给予学生一定的解题思维程序，对学生学习解题有一定帮助.笔者根据高中数学习题特点设计了一个解题思维程序，并以此为依据进行了习题课的教学实验.经过一段时间的训练，学生的解题习惯有所改进，解题能力也得以迅速提高.关键词：解题思维程序 解题思维能力 解题习惯一、问题的提出著名的数学教育家波利亚说：
2、“善于解题不仅要善于解一些标准的题目，而且要善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题目.”可是，在教学实践中笔者发现，很多自认为听明白了例题的学生，类似的习题却完成得并不顺利，更谈不上独立思考有发明创造的题目.这种现象向我们提出了以下问题：为什么学生找不到正确的解题思路？学生在习题课的教学中需要学会什么？习题课的教学除了总结基础知识、基本解题方法外，我们还应教会学生什么？怎样帮助学生提高解题能力？在实践中笔者发现，解题能力好的学生，往往有较好的解题思维习惯.所以，要想提高解题能力,可以先从培养良好的解题思维习惯做起.为此，笔者设计了一个数学解题思维程序，以此来帮助学生培养良好
3、的解题习惯，达到提高解题能力的目的.二、解题思维程序的介绍与应用经过一段时间的教学实践，笔者认为，解题的思维程序应为审题寻求解题途径实施计划检查与反思.第一阶段是审题.包括认清习题的条件和要求，深入分析条件中的各个元素，充分挖掘隐含条件，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息，为解题作好知识上的准备.第二阶段是寻求解题途径.即有目的地进行各种组合的试验，选择解题方案，经检验后作修正，最后确定解题计划.第三阶段是实施计划.将计划的所有细节付诸实现，并通过与已知条件作对比后修正计划，然后着手叙述解答过程.第 2 页 共 8 页第四阶段是检查与反思.求得最终结果以后，检查并分析结果，探讨实现解题的各种
4、方法，研究特殊情况与局部情况，将新知识和经验加以整理使之系统化.其中，对中学生来说审题和寻求解题途径是难点，检查与反思则常常被忽略.下面，笔者将结合本人教学实践，通过实例介绍如何运用解题思维程序，指导学生解题,以提高学生的解题思维能力.【例 1】已知函数 的定义域是 ，求实数 a 的取值范围.xxaf321)(1,(可引导学生分析如下：【翻译条件】由条件可得：x1 时 1+2x+a3x0 恒成立.【目标分析】求实数 a 的取值范围.【条件及其作用】不等式 可理解为关于 x 的不等式，也可理解为关于 a0321xx的不等式.【方法联想】欲求给定不等式中实数 a 的取值范围，可从解不等式着手.【解
5、题策略分析】若从解关于 x 的不等式入手，入手不易.分析结论求 a 的范围，想到解关于 a 的一元一次不等式.【解题实践】由 变形得 ，0321xxaxxa321求当 时 之最大值，解之得 .xxx【验证结论】取 a=0 代入，发现函数 的定义域是 R,不合题意.思考xxaf321)(错误原因,解题时作了条件转换:用“x1 时 1+2x+a3x0 恒成立”代替了“函数的定义域是 ”，是否等价？仔细分析知条件转换时应加上“当xxaf321)(,(时， 恒成立”这一限制，继续求解得 a=-1x0【总结、归纳】本题先用符号语言翻译条件，再从条件的运用、目标的要求联想到相关解题策略，通过对比选择了解关
6、于 a 的不等式这一方向，得出 a 的范围后，运用特殊值进行验证，发现了错误，于是再审题，挖掘隐含条件得到正确答案.因此，对条件、目标进行转换时应注意等价性.条件、目标的常用转换方法有：语言转换、分解与组合、特殊化、一般化等.点评：在本题解决过程中，思维程序起了积极的引导作用，运用程序有助于寻找解题的突破口，找出条件与结论的联结点，通过验证及时发现和纠正了错误.在程序中特别强调第 3 页 共 8 页验证、归纳，是因为这两个步骤是学生常常忽视的，而缺少这些步骤一方面容易导致解题过程不完善，另一方面没有必要的归纳也难以及时总结经验教训.三、如何合理运用解题思维程序的几点建议(一)认真审题，善于联想
7、审题首先要弄清楚题目要我们干什么，现在能干什么，还要干什么，已有什么，还缺什么，所缺的向谁要去，并将条件和结论符号化、图形化，编拟条件简化了的同类题.其次是要善于联想.联想以前是否遇到过类似题目，联想哪些定义、公理、定理与题目有联系，联想熟悉的一般数学方法.以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室” ，找到解题的切入点.【例 2】在ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a,b,c,且 A，B，C 成等差数列，a,b,c 成等比数列，求证：ABC 为等边三角形.【转化条件】将 A，B，C 成等差数列，转化为符号语言就是 2B=A+C.将 a,b,c 成等比数列，转化为符号语言就是
8、b2 =ac.【挖掘隐含条件】 A，B，C 是ABC 的内角，即 A+B+C= .【转化结论】ABC 为等边三角形,即 A=B=C 或 a=b=c.【编拟同类题】在ABC 中，已知 A+B+C= ，2B=A+C ，b 2 =ac.求证：A=B=C（或 a=b=c）【联想方法】题目中的条件和结论都与三角形的边角有关，如果能把边和角统一起来，就可以进一步寻找边和角之间的关系，进而判断三角形的形状.【联想定理】用余弦定理或正弦定理可以将三角形中的边和角联系起来，又因为条件中出现平方项 ，所以联想到余弦定理中的 ,对比两式得，acb2 Bacbos22，可以以此作为解题的切入点，去寻求解题途径.具体解
9、法如下:Bacos证明:由 成等差数列，有 （1）CA, CA2因为 为 的内角，所以 （2）B由（1） （2）得 （3）B由 成等比数列，有 （4）cba, acb2由余弦定理及（3） ，可得 Bcos2ac2第 4 页 共 8 页再由（4）得 即acac2 0)(2c因此 从而有 （5）CA由(2)(3)(5),得 ，所以 为等边三角形.3BAB点评:解题时,往往要先作语言的转换，比如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言，并编拟条件简化了的同类题，让人一看就知道题目是要根据什么，求证或求解什么.(二)运用分析法寻求解题途径在制定计划寻求解法阶段，可以借助分析法寻找解题思路.
10、【例 3】 0,lg,lg,22abaabmnmn已 知 则 与 的 大 小 关 系 为,0可 以 分 析 如 下 ： 因 为,ll所 以 为 了 比 较 与 的 大 小 2ba只 需 比 较 与 的 大 小ab即 比 较 与 +的 大 小 ab而 且 +0,(22所 以 这 又 只 需 比 较 )与 )即 与 的 大 小,而 由 0得 显 然 成 立 lgl2ab所 以 点评:分析法不仅仅是一种证明方法,它还可以作为寻找解题思路的常用方法.特别是当条件和结论之间的关系不够明确时,用此法更有效.有时,我们也会将综合法与分析法结合使用，先看看条件能提供什么，再看看求解或求证结论时需要什么，从两头
11、向中间靠拢，逐步接通解题思路.【例 4】 ),1 已 知 0,为 f(x)=cos2+)的 最 小 正 周 期 ,a=(tn+484in()(cos2).Ab且 abm求 的 值 .分析：该题目中条件与所求都比较复杂，学生往往会不知从何入手，此时，可先引导学生尝试转化条件，看看条件能提供什么，再化简所求的式子，看看需要什么，然后再做打算.),1(cos,2)cos2,cos2mmA由 为 fx=+的 最 小 正 周 期 ,可 得 a=(tn+84又 b且 abmtn(即 (4第 5 页 共 8 页sin21co.sin2()sin()(sin): 2cococo212imm 整 理 得到 了
12、这 里 ， 很 多 学 生 会 觉 得 不 知 如 何 继 续 化 简 这 时 ， 可 以 建 议 学 生 停 止 对 条 件 的 转 化 ，转 为 化 简 所 求 的 式 子 ,即对 比 式 和 式 得 =4(三) 猜想题目目标,确定解题方向在制定计划寻求解法阶段，如果对题目觉得束手无策时,可以尝试对题目的目标做出一个“猜想”,以便确定解题方向.【例 5】判断函数 的奇偶性xxf1log)(2分析:在判断该函数的奇偶性时,大部分学生都懂得应该通过考察 与 、()fxf的关系来加以判断 .但是,当具体做到应该如何对 进行变形,以判断()fx xf1log)(2它究竟是等于 还是等于 时, 就束
13、手无策了.此时,可引导学生将)(xf()fx与 , 进行比较,发现 与 不可能xf1log)(21log2 xf1log2 )(xff相等，所以猜想： ，即： ,而对于定义域（-1，1）内)(xf)(f l2的每一个 x,都有 ，所以猜想正确，即122ll()xx()f原函数是奇函数.（四）重视解题反思，优化解题思维教学中我们经常会遇到这样的现象：许多学生解完一道题后就觉得万事大吉了，而不再去思考、探索.事实上，引导学生进行解题后反思，不仅能使学生善于发现解题过程中的错误，养成认真仔细的学习习惯，而且还能加深学生对知识的理解，掌握知识间的联系，提高学生的知识驾驭能力.笔者认为，可以引导学生从以
14、下几个方面进行反思.1、题意理解是否准确 2、解题过程是否完善 3、是否还有其它解法 4、能否拓展题目，一题多变.【例 6】已知 求 的最小值.,1,0yxxyx 412122,0 xyxy即解 ： 第 6 页 共 8 页当且仅当 时，等号成立. 的最小值为 4211yx即 yx1【解题反思】【反思 1】检查解题过程是否正确在解题过程中，先后有两次应用到基本不等式，所以要使 的最小值为 4，yx1应保证 和 能同时成立.经检验，当 时等号成立.yx11yx【反思 2】是否还有其它解法解法 2 解：由 得，1yxx4142)1()1(010 yxxxxx当且仅当 时，等号成立. 的最小值为 4y
15、即解法 3 解： 且1x,0x 421yxyy当且仅当 时，等号成立. 的最小值为 421xy即 yx1解法 4 解： 且1yx0,1,y令 ),2(cos,sin22 Zk则 2sin4cosin11si1222 yx 42sin1i0, yxZkZk第 7 页 共 8 页当且仅当 ，即 时，等号成立 的最小值为12sinZk,24yx14方法小结：上述解法中，第四种解法太繁琐，一般不采用；而第三种过程简洁，方法易懂，是最优解法.以后解决这类题目时，一般采用解法三.【反思 3】能否拓展题目，实现一题多变变式 1：已知 求 的最小值.,2,0,yxxyx1解： 且y0,当且仅2)(1)1(2)
16、(21)(1 yxyxxx当 时，等号成立. 的最小值为 2yxy即 x变式 2:已知 求 的最小值.,14,0yx81241 41,0 xyxy 即解 ： 当且仅当 时，等号成立 的最小值为 8yx4yx1小结：上述解题过程是错误的，因为不存在正数 , ，使 和 x=4y 同时成立.yx1正解： 且14yx,0yx 94541yx当且仅当 时，等号成立. 的最小值为 96,34xy即 yx1解题思维程序的运用，为学生思考数学问题提供了一个可操作的思维流向，使学生在该程第 8 页 共 8 页序的引导下，一步步地接近问题的中心，展开解题实践活动.程序提醒学生验证和反思，在有意识的验证、反思中不断提高数学知识、思想方法的运用能力，学生以后遇到类似问题时就能较快地进行知识迁移，找到相应的解题方法.但是，在解题教学中要注意思维程序的灵活运用.要提醒学生，并不是所有习题都需用该程序来思考、解决，在采用这一程序解题时也不一定要严格按照程序操作.对于不同的题目，可根据具体情况适当增减，顺序也可调换或交叉.关键是要做到：在解题程序的帮助下，使学生的审题思考方向变得有序，使验证、归纳成为学生解题时的自觉行为，从而有效地提高学生的解题思维能力.参考文献：1甘华鸣等创新的策略通用方法指南红旗出版社 2林崇德主编中学生数学教学心理学 北京教育出版社3丁一等主编高考总复习全解数学 陕西人民教育出版社
