1、第九章 直线,平面,简单几何体（第 14 课时） 1课 题： 球教学内容： 球教学目的： 掌握球的概念和性质；球的半径, 球面两点间距离 ,表面积及体积的求法；能熟练处理球中的有关线面关系的证明与计算. 教学重点： 掌握球的概念和性质教学过程：一、知识概要教学要求： 掌握球的概念和性质；球的半径,球面两点间距离, 表面积及体积的求法；能熟练处理球中的有关线面关系的证明与计算. 知识点 1 球半圆以它的直径为旋转轴所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球。指出：（1）球中形成球的半圆的圆心叫做球心；连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径； 连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的
2、直径。（2）球面也可以看做定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合（轨迹） 。（3）球面与球体是有区别的，球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间知识点 2 球的截面的性质用一个平面去截一个球，截面是圆面。 球心和截面圆心的连线垂直于截面（图 9-8-2） 球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半径 r，有下面的关系： r=（如图 9-8-3）2dR指出： 当 d=0 时，截面过球心，此时截面积最大，此圆叫球的大圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 （不过球心的截面截得的圆叫球的小圆 ） 当 d=R 时，平面与球相切 球是平面图形圆在空间的延伸，
3、因此在研究球的性质时，应注意与圆的性质作类比，球又是旋转体，由于旋转体是轴对称几何体，故解题时，常利用它的轴截面图形，从而化空间问题为平面问题 掌握大圆的半径、截面圆半径以及球心到截面圆圆心的距离的关系是解决有关球的问题的关键知识点 3 地球上的经纬线当把地球看做一个球时，经线是球面上从北极到南极的半个大圆。赤道是一个大圆，其余纬线都是一个小圆.某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的半平面与本初子午线（0经线）和地轴确定的半平面所成的二面角的度数（0经线也叫本初子午线东线 180和西线 180同在一条经线上，那就是 180经线 ）某点的纬度是：经过这点的球半径赤道面所成角的度数知识点 4 球
4、面距离在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离 （如图 9-8-4 中的 PQ 的长度就是P、Q 两点的球面距离 ）指出：（1）球面上两点间的球面距离，是在球的过此两点的大圆中求此两点所对应的劣弧的长度。（第九章 直线,平面,简单几何体（第 14 课时） 2（2）球面距离的求法：设球面上两点间的球心角为 弧度，球半径为 R，则球面上两点间距离为|R 所以计算球面距离关键是确定球心角 两点在同一经线圆上，可直接计算两点间劣弧长度 两点在同一纬线圆上，先求弦长，由余弦定理求球心角，化为弧度，再用 =|可求得l 两点经纬度都不同时
5、，用异面直线上两点间距离公式求弦长，再由余弦定理求球心角(这一种情况，高考不作要求)知识点 5 球的表面积和体积半径为 R 的球表面积公式是： S=4R2； 半径为 R 的球体积公式是：S= R34二.典例解析例 1 (球中的有关计算) 正三棱锥的底面边长是 2cm，侧棱与底面成 60角，求它的外接球的表面积.解 ： 如图，PD 是三棱锥的高，则 D 是 ABC的中心，延长 PD 交球于E，则 PE 就是外接球的直径。AD AB ，PAD60 ，PDADtan602,PA ，32 34而 APAE，PA 2PDPE ，R ，S 球 (cm)2.PDA238496例 2 (球中的有关计算) 如图
6、 812，球面上有四个点 P、A 、B、C，如果 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解：如图 812，设过 A、B 、C 三点的球的截面圆半径为 r，圆心为 O，球心到该圆面的距离为 d。在三棱锥 PABC 中，PA，PB ，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a,AB=BC=CA= a,且 P 在ABC 内的射影即是ABC 的中心 O。由正弦定2理，得 =2r,r= a。又根据球的截面的性质，有 OO平面 ABC，60sin36而 PO平面 ABC，P 、O、O共线，球的半径 R= 。又 PO= = =2dr2rPA23aa，3OO=R a=d
7、= ,(R a)2=R2 ( a)2，解得 R= a,S 球 =4R2=3a2。32rR3363指出：本题也可用补形法求解。将 PABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径 R= a,下略。2例 3 (球面距离)设地球的半径为 R，在北纬 45圈上有两个点 A、B，A 在西经 40，B 在东经 50，求 A、B 两点间纬线圈的弧长及 A、B 两点间的球面距离第九章 直线,平面,简单几何体（第 14 课时） 3解：如图 9-8-8，设 45纬度圈中心为 O1，地球中心为 O，则AO 1B=40+50=90。又OO 1圆 O1 所在平面，OO 1
8、O 1A，OO 1O 1B又A、B 在北纬 45圈上，OBO 1=OAO 1=45O 1A=O1B=O1O=OAcos45= R.2在直角AO 1B 中，AO 1=BO1，AB= AO1=R AOB 为等边三角2形AOB= 在 45纬线圈上，AB 弧长为 AO1= R= R （此时是小圆上的弧长）324在球面上，A、B 两点的球面距离为 AB 弧长=|AO= R （此时是大圆上一段劣弧长）.A、B 两点间3纬线圈的弧长为 R，A、B 两点间的球面距离为 R42例 4 (球中的线面关系) 球 O 的截面 BCD 到球心的距离等于球的半径的一半，BC 是截面圆的直径，D 是圆周上的一点，CA 是球
9、 O 的直径。（1）求证：平面 ABD平面 ADC； （2）如果 BDDC= 2，求二面角 B-AC-D 的大小。3解：（1）设截面圆 BCD 的圆心为 O1，则 OO1面 BCD。因为 AC 为大圆直径，所以 ABBC，又 OO1BC ，所以 ABOO 1。所以 AB面 BCD，所以 ABCD。又 BC 是O 1 直径，所以CDBD 。所以 CD面 ABD，所以面 ABD面 ADC。（2）由（1）知，AB面 BCD，所以面 BCD面 ABC。作 DEBC 于 E，则 DE面 ABC。作EFAC 于 F，连 DE。由三垂线定理知 DFAC，所以DFE 是二面角 B-AC-D 的平面角。设球的半
10、径为 2，则 OO1=1，AB=2 ，ACB=30，BC=2 。在 RtBCD 中，由3BDCD= 2 及勾股定理，得 BD= ，CD= ，所以3764DE= ，CE= ，EF= CE= ，所以 tanDEF= ，所以DFE=60 。7181343EFD例 5 (与球有关的组合体) 设棱锥 MABCD 的底面是正方形，且 MAMD ，MAAB，如果 AMD的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解：ABAD，AB MA，AB 平面 MAD，由此，面 MAD面 AC.记E 是 AD 的中点，从而 ME AD.ME平面 AC，ME EF.设球 O 是与平面 MAD、AC、平面 MBC 都
11、相切的球.不妨设 O平面 MEF，于是 O 是 MEF的内心. 设球 O 的半径为 r，则r ,设 ADEF a,S AMD1. ME .MFSE2 a2MF ,r -1。当且仅当 a ，即 a 时，等号成2)(a2)(a2立.当 ADME 时，满足条件的球最大。例 6 (与球有关的组合体) 已知圆锥的母线长为 l，母线对圆锥底面的 倾（第九章 直线,平面,简单几何体（第 14 课时） 4角为 ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.解： 设球半径为 R，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接 OA，OAD ，RODADtan ,VAl,ADlcos,Rlc
12、ostan 。222又设正方体棱长为 x，则 3x2EG 24R 2,x R.V 正方体 (lcostan )3.3938例 7 (球中的综合问题) 如图，过半径为 R 的球面上一点 P 作三条两两垂直的弦 PA、PB 、PC。(1) 求证：PA 2+PB2+PC2 为定值；(2) 求三棱锥 PABC 的体积的最大值.解：(1)设过 PA、PB 的平面截球得O 1，PAPB， AB 是O 1 的直径，连 PO1 并延长交 O 1 于 D，则 PADB 是矩形，PD 2PA 2+PB2.设 O 为球心，则 OO1平面O 1，PCO 1 平面，OO 1PC，因此过 PC、 PD 的平面经过球心 O
13、，截球得大圆，又 PCPD.CD 是球的直径.故 PA2+PB2+PC2PD 2+PC2 CD24R 2 定值.(2) 设 PA、PB、PC 的长分别为 x、y、z，则三棱锥 PABC 的体积 V xyz，V 2 x2y2z26361( )3 R6.V R3.即 V 最大 R3.36122zyx617454327274评注：定值问题可用特殊情况先“探求” ，如本题(1)若先考虑 PAB 是大圆，探求得定值 4R2，可为(1)的证明指明方向.球面上任一点对球的直径所张的角等于 90，这应记作很重要的性质.例 8 (球中的综合问题) 同底的两个正三棱锥内接于半径为 R 的球，它们的侧面与底面所成的
14、角分别为 求： (1) 侧面积的比； (2) 体积的比； (3) 角 的最大值.,21 21解：（1）设 O 为球心， 为正三棱锥底面 ABC 所在圆的圆心，两个三棱锥的顶点分别为 P,Q, 取1BC 的中点 D,则 是侧面与底面所成二面角的平面角。,BCAD,P1PO，同理 = 。 ，11Q2,cosD121cosQ .P3S132ABCP 侧 213ABCcosDOBC3S侧: = 侧侧Q2cos:（2） , 这两个三棱锥的底都是三角 ，2111 tanDO,tanDO A.:t:PV:ABCP（3） 设 边长为 a, ,则h1 ,hRPa11,DOhRQtan12第九章 直线,平面,简单
15、几何体（第 14 课时） 5而 ,a6321AD3O1 .a3AD2O1,a31AOhR22 12212121 3ahtanttan .04当平面 ABC 通过球心 O 时，a 最大为 时， 取最大值 ，,221R)tn(234这时 也最大，最大值为 .34rctn例 8 (球中的综合问题) 球 O 的截面 BCD 到球心的距离等于球的半径的一半，BC 是截面圆的直径，D 是圆周上的一点，CA 是球 O 的直径。（1）求证：平面 ABD平面 ADC；（2）如果 BDDC= 2，求二面角 B-AC-D 的大小。3解：（1）如图，设截面圆 BCD 的圆心为 O1，则 OO1 面 BCD。AC 为大
16、圆直径，ABBC，又 OO1BC，AB OO 1。AB面BCD，ABCD。又 BC 是O 1 直径，CDBD。CD面 ABD，面 ABD面 ADC。（2）由（1）知，AB面 BCD，所以面 BCD面 ABC。作 DEBC 于 E，则 DE面 ABC。作EFAC 于 F，连 DE。由三垂线定理知 DFAC，所以DFE 是二面角 B-AC-D 的平面角。设球的半径为 2，则 OO1=1，AB=2 ，ACB=30，BC=2 。在 RtBCD 中，由3BDCD= 2 及勾股定理，得 BD= ，CD= ，所以3764DE= ，CE= ，EF= CE= ，所以 tanDEF= ，所以DFE=60 。718
17、1343EFD例 9 (球中的综合问题) 已知三棱锥 PABC 中，E、F 分别是 AC、AB 的中点，ABC，PEF 都是正三角形，PFAB.（）证明 PC平面 PAB； （）求二面角 PABC 的平面角的余弦值；（）若点 P、A、B 、C 在一个表面积为 12的球面上，求ABC 的边长.解：（）连结 CF. .,21ABEF., PFC平 面 , PABCBPCF平 面平 面 第九章 直线,平面,简单几何体（第 14 课时） 6（） 为所求二面角的平面角. 设 AB=a，则 AB=a，,CFABPP则 ，aEF23,.32cosa解法二：设 P 在平面 ABC 内的射影为 O. 得 PA=
18、PB=PC. 于PAFPABE,.C是 O 是ABC 的中心. 为所求二面角的平面角.FO设 AB=a，则 .231,a.3cosO（）设 PA=x，球半径为 R. ，,PBAPC平 面 124.2Rx的边长为 . ABCR.2.3得解法二：延长 PO 交球面于 D，那么 PD 是球的直径.连结 OA、AD，可知PAD 为直角三角形. 设AB=x，球半径为 R. ,23,6tan.32,142 xOAxPFOPR .2.).63()3(2 的 边 长 为于 是 ABCxx三、课堂练习1如图，在斜三棱柱 中， ，侧面1CBA aBA111 ,与底面 ABC 所成的二面角为 ，E、F 分别是棱 的
19、中1BC20B1、点.（）求 与底面 ABC 所成的角； （）证明 /平面 ；A1 A1FC1（）求经过 四点的球的体积.CB、解：（）过 A1 作 A1H平面 ABC，垂足为 H. 连结 AH，并延长交 BC 于 G，连结 EG，于是A 1AH 为 A1A 与底面 ABC 所成的角.A 1AB=A 1AC， AG 为BAC 的平分线.又AB=AC，AG BC，且 G 为 BC 的中点，因此，由三垂线定理， A1ABC.A 1A/B1B，且EG/B1B，EGBC，于是AGE 为二面角 ABCE 的平面角，即AGE=120。由于四边形 A1AGE 为平行四边形，得A 1AG=60，A 1A 与底
20、面 ABC所成的角为 60，（）设 EG 与 B1C 的交点为 P，则点 P 为 EG 的中点，连结 PF.在平行四边形 AGEA1 中，因 F 为A1A 的中点，故 A1E/FP.而 FP 平面 B1FC，A 1E/平面 B1FC，所以 A1E/平面 B1FC.（）连结 A1C，在A 1AC 和A 1AB 中，由于 AC=AB，A 1AC=A 1AB，A 1A=A1A，则C1B1A1A BCF E第九章 直线,平面,简单几何体（第 14 课时） 7A1AC A1AB，故 A1C=A1B，由已知得 A1A=A1B=A1C=a.又A 1H平面 ABC，H 为ABC 的外心.设所求球的球心为 O，
21、则 OA 1H，且球心 O 与 A1A 中点的连线 OFA 1A.在 RtA 1FO 中，球的半径 ，球的体积 30cos2s11 aHFOR3 333274)(4aRV2. 求棱长为 a 的正四面体的外接球和内切球的半径.解：作 AH底面 BCD 于 H，则 AH a，设内切球的球心为 O，半径为 r。O 点与6A、B 、C、D 相连，得四个锥体，设底面为 S，则每个侧面积为 S，有 4 Sr SAH，r AH3141a。126设外接球心为 O，半径 R，过 A 点作球的半径交底面 CD于 H，则 H 为圆 BCD 的圆心，求得BH a,AH a,由相交弦定理得 a(2R- a)( a)2.
22、解得 R a. r a。363633612四、备选习题1已知球 O 的半径为 1，A、B 、C 三点在球面上，且每两点间的球面距离均为 ，求圆心 O 到平面ABC 的距离。解：球心 O 及 A、B、C 三点可组成一个三条侧棱相等且两两垂直的一个正三棱锥，连球心 O 与ABC 所在的小圆圆心 ，连 A ，则有：侧棱为 1，底面 ABC 边长即为 又|A |= = 232，由勾股定理 O = = 36232. 长方体一个顶点上三条棱的长分别为 3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上，求这个球的表面积解：长方体的对角线长等于球的直径则有(2R) 2=32+42+52,R 2= .S 球表面积5=
23、4R2=4 =5053. 球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ，经过 3 个点的小圆的周长为 4，61求么这个球的半径。 解：设球半径为 R，小圆半径为 r，则 2r4, r2.设三点 A、B、C，O 为球心，AOBBOCCOA ，又OAOB。AOB 是等边三角形。同理，BOC、COA 都是等3边三角形，得 ABC为等边三角形。边长等于球半径 R，r 为 ABC的外接圆半径.r AB R 3。R r2 。34. A、B、C 是表面积为 48的球面上三点，AB=2，BC=4，ABC=60，O 为球心，求直线 OA 与截第九章 直线,平面,简单几何体（第 14 课时） 8面
24、 ABC 所成的角。解：由球表面积知 4R2=48，R=2 。又 AB=2，BC=4，ABC=60，依余弦定理得3AC2=12，AC=2 。因为 AC2+AB2=BC2，所以 ABC为直角三角形。取 BC 中点 E，AC 中点 F，连3AE、EF、OE、OF，则 EFAB。由BAC=90 知 EFAC，又 OFAC，有 AC平面OEF，AC OE 。又 OEBC ，所以 OE平面 ABC， OAE 为所求。故 cosOAE=.321RBCOAE5. 设 A、B 、C、D 是球面上的四个点，且在同一平面内， AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，求球的体积。 解：依题设条
25、件知 O-AB-CD 为底边长为 3、高 OP= R、侧棱长为 R 的正四棱锥。AP= R，21 23又 ABP为等腰直角三角形，AB= AP，故 3= R，R= 。所以 V 球 = 。2668)(346. 已知球的表面积为 20，球面上有 A、B 、C 三点，如果 AB=AC=2，BC=2 ，求球心到平面 ABC的距离。解：由 4R2=20知 R= 。由 AB=AC=2，BC=2 知BAC=120。设 O为球心 O 在截面圆53ABC 上的射影，则 OA平分。 BAC，AOB 为正三角形，OO= 。12)5(2AO7. 一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，求此球的表面积 2解：
26、将该四面体补全为正方体，则可知所得正方体棱长为 1，其对角线长为 也是球的直径的大小。3故 S 球 =4 =3。239. 圆柱形容器的内壁底半径为 5cm，两个直径为 5cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降 cm.解：球的体积等于它在容器中排开水的体积. 设取出小球后，容器水平面将下降 hcm，两小球体积为 V 球 2 V1V 球 即 25h h cm.34)25( 312510.长方体的共顶点的三个侧面面积分别为 、 、 ，则它的外接球的表面积为 1解析：外接球的表面积是 9如图 9-8-11 为过长方体的一条对角线 AB 的截面，设长方体的有公共顶点的
27、三条侧棱的长分别为 x、y、z，则由已知有 解得,15,3zxy,51,3zyx球的半径 R= AB= S 球 =4R2=921232z11. 把地球当做半径为 R 的球，地球上的两点 A、B 的纬度都是北纬 45，A 、B第九章 直线,平面,简单几何体（第 14 课时） 9两点间的球面距离为 R，A 在东经 20处，求 B 点的位置3解：如图 9-8-7，因为 A、B 的球面距离是指过 A、B 的大圆的劣弧长，AOB= ，因此 AB=R。3过 A、B 分别向赤道平面作垂线，垂足为 ， ，则 =AB，且 O =OAcos45,故 O =O = R在 O 中，O =O = R， =R，得 O 2
28、B2ABA=90，因为 A 在东经 20处，所以 B 点的位置在 2090处，即在北纬 45、东经 110或北纬 45、西经 70处12. 地球半径为 R，北纬 45圈上有 A、B 两点，它们的经度差为 ，求球面上 A、B 两点间球面距离.解：将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.以 O1O，O 1A，O 1B 为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面 ABO 内求 BOA 的问题.O 1OA O 1OB，OA OBR，OO 1O 1AO 1B R AB 2O 1A2+O1B2R 4 2。AOB 为等边 ，AOB ，A 、B 间的球面距离为 R.3313. 在球心同侧
29、在相距 9cm 的两个平行截面，它们的面积分别为 49cm2 和 400cm2求球的表面积解：如图 9-8-12 为球的轴截面，由球的截面性质知， AO1BO 2，且若 O1、O 2 分别为两截面圆的圆心，则 OO1 AO1，OO 2OB 2设球的半径为 RO 2B2=49，O 2B=7(cm)。同理 O1A2=400O 1A=20(cm)设 OO1=xcm，则 OO2=(x+9)cm.。在 RtOO 1A 中，R 2=x2+202, 在 RtOO 2Bk ,R2=(x+9)2+72,x 2+202=72+(x+9)2,解得 x=15R 2=x2+202=252.R=25.S 球 =4R2=2500(cm2), 球的表面积为 25000cm214. 把四个半径为 R 的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离解：将四个球心两两连结（2 分） ，构成一个棱长为 2R 的正四面体 .4321设底面正三角形 的中心为 H, 则432O,R23H2故上层小球最高处离桌面的距离为.R6RHO1 .362五、教学小结
