1、7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,1,7.1 图的概念/Introduction of Graph 7.2 图的术语/Graph Terminology 7.3 图的表示与同构/Representing Graph and Graph Isomorphism 7.4 连通性/Connectivity 7.5 欧拉道路与哈密尔顿道路/Euler and Hamilton Paths 7.6 最短道路问题/Shortest Path Problem 7.7 平面图/Planar Graphs 7.8 图的着色/Graph Coloring,7/
2、3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,2,7.5 Euler and Hamilton Path,Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题,问题：能否从河岸或小岛出发，通过每一座桥，而且仅仅通过一次回到原地。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,3,Euler(欧拉)1736年对这个问题，给出了否定的回答。将河岸和小岛作为图的顶点，七座桥为边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路的问题：,定义欧拉道路（回路）：（，），称包含中所有边的简单道路为欧拉道路/Euler Path/E道路。包含中所有
3、边的简单回路为欧拉回路/Euler Circuit/E回路 。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,4,定理1（欧拉定理）：没有次为的孤立顶点的无向图存在欧拉道路的充要条件是：(1)图是连通的；(2)图中奇次顶点个数是个或2个。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,5,证明：必要性：若存在欧拉道路，且没有次顶点，则每个顶点都有边关联，而边又全在欧拉道路上，故所有顶点都连通。除了起点，终点外，欧拉道路每经过一个顶点，使顶点的次增加，故只有起点和终点才可能成为奇次顶点，而一个奇次顶点是不可能的，
4、当无奇次顶点时，是欧拉回路。,充分性：若(1），(2)成立,构造欧拉道路.,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,6,若图存在奇次顶点，任取一个作为起点，若不存在，则任取一个顶点作为起点。若此图有条边，总次为。每进入或离开一个顶点，让此顶点的次减，由于除了两个（或没有）奇次顶点外，其余顶点次为偶数，只要进得去，一定出得来，直至进入另一个奇次顶点（或起点）作为终点。这样构造的是简单道路，如果经过所有的边，即得到一条欧拉道路。,不然，记走过的简单道路为1，1上顶点集1，边集1，1（1，1）是的子图。,7/3/2019 8:06 PM,Deren C
5、hen, Zhejiang Univ.,7,若2（2，2）是1的关于的余图，21，但12，否则不连通，设12，从出发，用上面方法作2的简单回路2 回到,这能做到。因为作好1后，留下顶点的次都是偶次。若12经过所有边，则欧拉道路是1走到时，先把2走完，最后走完1的余下道路。若12仍未经过所有边，将12视为1重复上述过程，由于边有限，故存在欧拉道路。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,8,例1：,（1）顶点的次：A(3) , B(2) , C(4) , D(2) , E(6), F(2) , G(6) , H(2) , I(4) , J(3）。
6、其中奇次顶点A，J （2）从A出发，走一条道路 （A,C,E,A,B,C,D,E,G,J）,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,9,（3）1（1，1）1 A，B，C，D，E，G，J1 （A，B），（B，C），（A，C），（C，D），（C，E），（D，E），（E，G），（G，J）2（2，2）2 （E，F），（F，G），（E，J），（G，H），（G，I），（I，J），（H，I）2 E，F，G，H，I，JE（12）,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,10,（4）从E出发回到E的回路（E，F，G，
7、I，J，E），加入到P1中 1 （A，C，E，F，G，I，J，E，A，B，C，D，G，J） （5）还有未经过的边，重复上述过程 ，从G出发，（G，H，I，G），再加入即得欧拉道路。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,11,说明：哥尼斯堡七桥问题，由于四个顶点都是齐次的，不可能有欧拉道路。,应用与推广：（1） 一笔画问题；（2） 如果齐次顶点个数为2K个，此问题是K笔画问题。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,12,例 个顶点均为3次，至少要笔。,7/3/2019 8:06 PM,Dere
8、n Chen, Zhejiang Univ.,13,推论（欧拉定理）：没有次为的孤立顶点的无向图存在欧拉回路的充要条件是：(1)图是连通的；(2)图中没有奇次顶点。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,14,定理2（有向图的欧拉定理）：不含出/入次为的孤立顶点的有向图具有欧拉道路的充要条件是： (1）弱连通； (2) 除了可能有个顶点，一个入次比出次大，一个出次比入次大，其余顶点出次等于入次。推论 不含出/入次为的孤立顶点的有向图具有欧拉回路的充要条件是： （1）弱连通； （2）所有顶点出次等于入次。,7/3/2019 8:06 PM,Der
9、en Chen, Zhejiang Univ.,15,Hamilton(哈密顿)道路问题：年发明的一种游戏。在一个实心的正十二面体，20个顶点标上世界著名大城市的名字，要求游戏者从某一城市出发，遍历各城市一次，最后回到原地。这就是“绕行世界”问题。即找一条经过所有顶点（城市）的基本道路（回路）。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,16,定义哈密顿道路/回路：（，），G中经过中所有顶点的基本道路称为哈密顿道路/Hamilton Path，简称道路。（，），G中经过中所有顶点的基本回路称为哈密顿回路/Hamilton Circuit，简称回路。
10、,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,17,图 每个顶点都是奇次的，不存在欧拉道路，但有道路。 图存在欧拉道路，不存在道路。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,18,定理3：设（，）是个顶点的简单图，如果任何一对顶点的次之和，则中一定有道路（n=2）。,证明：1、一定连通，否则分为二个不连通的分图1，2，其中1有1个顶点，2有2个顶点，1中每个顶点次1，2中每个顶点次2，从1中取一个顶点，2中取一个顶点，这一对顶点之和1212，与定理的假设矛盾。,7/3/2019 8:06 PM,Dere
11、n Chen, Zhejiang Univ.,19,2、用归纳法证明中存在道路：(1)任取一条边（1，2），是含个顶点的基本道路。(2)如果已有个顶点的基本道路（1，2，p），（）必能构造个顶点的基本道路。）如果在1，2，p中存在与1或p相邻的顶点，则基本道路自然可以扩充一个顶点。）如果1，p仅与1，2，p中顶点相邻，则1，2，p必可适当排列，形成回路。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,20,如果1与p相邻，显然成了环。不然，由于1，p仅与1，2，p中顶点相邻，1，p的次。不妨设1的次为，分别记相邻顶点为i1，i2，ik，它们前面的顶点（
12、指在基本道路1，2，p中的序）为 ，p必与 中某顶点相邻，否则p的次，1与p的次之和，与任一对顶点次之和矛盾。不妨p与j-1相邻，1与j相邻。将1与j连起来，p与j-1连起来，并将j-1到j的边去掉，就形成一个环，如下图所示。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,21,又由的连通性，总可在1，2，p中找到一个点x，与1，2，p中某一顶相邻，不妨与k相邻，k1，kp，连上x与k的边，去掉k-1到k的边，可以从k-1为起点，一直走到k，再到x，这是一条个顶点的基本道路。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang
13、Univ.,22,如果，仍继续扩充基本道路内的顶点，直至达到。注意:此定理条件显然不是必要条件，如的边形，二个顶点次之和， ，而边形显然有道路。,推论：（，）是的简单图，若任何一对顶点的次之和，则必有哈密顿回路。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,23,由于推论条件也必满足定理3条件，存在道路，可类似于定理一的方法找到一条回路。,定理4：有向完全图一定存在道路。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,24,小 结,1、E图：简单道路+所有边 2、H图：基本道路+所有顶点,7/3/2019 8
14、:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,25,进一步的思考,1、E图/H图的应用 2、E图/H图的判定,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,26,要判别一个图不存在道路，回路，也不是很容易的，只能对无向图给出一些必要条件： （1）道路存在必要条件：）连通）至多只能有二个顶点的次，其余顶点的次。,b,c,d,a,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,27,（2）回路存在必要条件：对的任一非空真子集，的连通分图个数|。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Ch
15、en, Zhejiang Univ.,28,解：取A1， A2 ,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,29,G存在3个分图,根据H道路存在的必要条件之二，可知：H道路不存在。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,30,应用问题之一： Knights tour应用问题之二：Gray Code应用问题之三：Tower of Hanoi,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,31,练 习,pp.486 16，36、38、55,7/3/2019 8:
16、06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,32,学习动物精神,11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味地接受工作的交付，只能学到工作方法的皮毛，能思考应变的人，才会学到方法的精髓。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,33,学习动物精神,12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共事者的负担，也让你更具人缘。,7/3/2019 8:06 PM,Deren Chen, Zhejiang Univ.,34,谢谢大家！,
