1、图论与网络流理论,二一二年十月十日,第一章 图的基本概念,1.1 图的基本概念 1.2 最短路问题 1.3 数及其性质 1.4 生成树与最小生成树 1.5 图的中心与中位点 1.6 图的矩阵表示,1.1 图的基本概念,图（graph）定义：一集元素及它们之间的某种关系称为图。一个图G是指一个二元组(V(G),E(G)，其中:1） 是非空有限集，称为顶点集，2）E(G)是顶点集V(G)中的无序或有序的元素偶对 组成的集合，即称为边集,其中元素称为边.图G的阶是指图的顶点数|V(G)|, 用v来表示；图的边的数 目|E(G)|用 来表示.,2 图的图示,通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可
2、用 平面上的线段来表示（直的或曲的），这样画出的平面图 形称为图的图示。,3 一些术语和概念,边和它的两端点称为互相关联。 与同一条边关联的两个端点称为相邻的顶点，与同一个顶点关联的两条边称为相邻的边。 两端点重合的边称为环边。 若一对顶点之间有两条以上的边联结，则这些边称为重边。 既没有环边也没有重边的图，称为简单图。 任意两顶点都有一条边的简单图,称为完全图。记为Kv. 边集为空的图称为空图。 边集为空且只有一个顶点的图成为平凡图。 边集和顶点集都为空的图称为零图。 图G中顶点v所关联的边的数目（环边计两次）称为顶 点v的度，记为dG(v )或d(v)。,图G的最大度：(G)=maxdG(
3、v )|v V(G); 图G的最小度： (G)=mindG(v )|v V(G); 各个顶点的度都相等的图称为正则图。每个顶点的度都等于k的图称为k-正则图。 设G是一个图，以V(G)为顶点集，以(x,y)|(x,y) E(G)为边集的图称为G的补图，记为,定理1.1.1 对任何图G，其各顶点度数之和等于边数的2倍，即证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。推论1.1.1 任何图中，奇数顶点的个数总是偶数（包括0）。,4 子图,5 图的并、联和对称差,设G1、G2是两个图： G1、G2的并是指图（V1U V2，E1U E2），记为G1UG2 若V1 V2=，则G1UG2称为不交并（和）
4、记为G1+G2 A、B两集合， (A B) (A B)称为A与B的对称差 。设两个相同顶点集的图G1=（V，E1）；G2 =（V，E2），则图（V，E1 E2 ）称为G1、G2的对称差。,6 路和圈,图G中一个点边接续交替出现的序列称为图G的一条途径，其中 分别称为途径W的起点和终点，W上其余顶点称为中途点。 图G中边不重复出现的途径称为迹。 图G中顶点不重复出现的迹称为路。 图G中起点和终点相同的途径称为闭途径。 图G中边不重复出现的闭途径称为闭迹，也称为回路。 中途点不重复的闭迹称为圈。,注： （1）途径（闭途径）、迹（闭迹）、路（圈）上所含的边的个数称为它的长度。 （2）简单图G中长度为
5、奇数和偶数的圈分别称为奇圈(odd cycle)和偶圈(even cycle)。 （3）对任意，从x到y的具有最小长度的路称为x到y的最短路（shortest path），其长度称为x到y的距离(distance)，记为d (x, y)。 （4）简单图G中最短圈的长度称为图G的围长(girth)，最长圈的长度称为图G的周长(circumference)。,例1.1.2 设G是一个简单图，若 (G) 2，则G中必含有圈。 证明：设G中的最长路为P= v0v1vK 。因d (v0) 2，故 存在与相异的顶点v与相邻。若v P，则得到比P更长的路， 这与P的取法矛盾。因此必定定v P，从而G中有圈。
6、证毕。 例1.1.3 设G是简单图，若 (G) 3,则G必有偶圈。 证明：设P= v0v1vK 是G 的最长路。 因为d (v0) 3，所以存在两个与v1相异的顶点v, v与v0相邻。v, v必都在路P 上，否则会得到比P 更长的路。无妨设v = vi , v =vj , (2i， jk，ij) 。 若i, j中有奇数，比如i 是奇数，则路P上v0到vi 的一段与边v0 vi 构成一个偶圈； 若i, j都是偶数，则路P上vi到vj的一段与边v0 vi 及v0 vj 构成一个偶圈。证毕。,7 二部图,二部图 (bipartite graph)：若图G的顶点集可划分为两个非空子集X和Y，使得G的任
7、一条边都有一个端点在X中，另一个端点在Y中，则称G为二部图（或偶图），记为G(X Y , E)或G= (X,Y ) ，(X,Y )称为G的一个顶点二划分。 完全二部图(complete bipartite graph)：在二部图G(X Y , E)中，若X的每个顶点与Y的每个顶点有边连接，则称G为完全二部图；若| X |= m，|Y |= n，则记此完全二部图为 Kmn 。定理1.1.2 一个图是二部图当且仅当它不含奇圈。,例1.1.5 判断下列图是不是二部图。解：Herschel 图的一个顶点二划分如下：可见 Herschel 图是一个二部 图。Peterson 图中含有奇圈，因此不是二部图
8、。,8 连通性,图中两点的连通：如果在图G 中u，v 两点间有路相通，则称顶点u，v 在图G 中连通。 连通图（connected graph）：若图G 中任二顶点都连通，则称图G 是连通图。 图的连通分支（connected branch, component）： 若图G 的顶点集V(G)可划分为若干非空子集V1 ,V2 , ,V，使得两顶点属于同一子集当且仅当它们在G中连通，则称每个子图GVi为图G的一个连通分支（i = 1,2,） 注：（1）图G 的连通分支是G 的一个极大连通子图。 （2）图G连通当且仅当1。定理1.1.3 若图G连通，则,例1.1.6 设有2n 个电话交换台，每个台与
9、至少n个台有直通线路，证明该交换系统中任二台均可实现通话。证明：构造图G 如下：以交换台作为顶点，两顶点间连边当且仅当对应的两台间有直通线路。问题化为：已知图G有2n 个顶点，且 (G) n，求证G连通。事实上，假如G 不连通，则至少有一个连通分支的顶点数不超过n。在此连通分支中，顶点的度至多是n 1。这与 (G) n矛盾。证毕。 例1.1.7 若图中只有两个奇度顶点，则它们必连通。证明：用反证法。设u、v为仅有的两个奇度顶点。假如u与v不连通，则它们必分属于不同的连通分支。将每个分支看成一个图时，其中只有一个奇度顶点。这与推论1.1.1 矛盾。证毕。,9 图的同构,我们已经知道，同一个图可以
10、有不同形状的图示。反过来，两个不同的图也可以有形状相同的图示。比如：易见G1 和G2 的顶点及边之间都一一对应，且连接关系完全相同，只是顶点和边的名称不同而已。这样的两个图称为是同构的(isomorphic)。,定义1.1.1 对两个图G = (V(G),E(G)与H = (V (H),E(H)，如果存在两个一一映射： :V(G)V(H)， : E(G) E(H)， 使得对任意e = (u，v) E(G)，都有( (u), (v) E(H)且 (e) = ( (u), (v)，则称图G与H同构，记为G H 。 两图同构，首先它们的阶必须相等，边数必须相等；其次要有相同的环边、重边及圈的状态；还
11、应保持顶点的度，即在同构映射下相对应的顶点必须有相同的度。这些都是两图同构的必要条件，可用来判断两图不同构。 为判定两图同构，一般要按定义构造出两图顶点间的一一映射，然后检验它是否保持邻接关系。有时也可根据图的特点使用特殊方法。,1.2 最短路问题,1、赋权图 对图G的每条边e，赋以一个实数w(e)，称为边e的权。每个边都赋有权的图称为赋权图。 权在不同的问题中会有不同的含义。例如交通网络中，权可能表示运费、里程或道路的造价等。,2、最短路问题,最短路问题：给定赋权图G及G中两点u, v，求u到v的具有最小权的路（称为u到v的最短路）。注：赋权图中路的权也称为路的长，最短(u，v)路的长也称为
12、u，v间的距离，记为d(u，v)。最短路问题是一个优化问题，属于网络优化和组合优化的范畴。对这种优化问题的解答一般是一个算法。最短路问题有很多算法，其中最基本的一个是Dijkstra算法,3、Dijkstra算法,定理 1.2.1 Dijkstra 算法结束时，对任一个顶点v，其标号l(v)恰是v0 到v 的最短路的长。定理1.2.2 Dijkstra 算法的计算复杂度为O( 2 )。,1.3 树及其性质,不含圈的图称为森林(forest)，不含圈的连通图称为（tree）。 定理1.3.1 下列命题等价： （1） G 是树； （2） G 中无环边且任二顶点之间有且仅有一条路； （3） G中无圈
13、且 = 1； （4） G连通且 = 1; （5） G连通且对任何e E(G)，G e不连通； （6） G无圈且对任何e E(G)，G + e恰有一个圈。,1.4 生成树与最小生成树,最小生成树问题是一个优化问题，需要设计优化算法寻找其最优解。求解最小生成树问题的算法较多，本节主要介绍Kruskal 算法和Prim 算法。,（一）Kruskal算法（Joseph Bernard Kruskal,1956）,1. 算法思想：先从图G 中找出权最小的一条边作为最小生成树的边，然后逐次从剩余边中选边添入最小生成树中，每次选边找出不与已选边构成圈的权最小的一条边。直至选出 (G) 1条边为止。,(二)Prim算法（Robert Clay Prim，1957）,（三） Prim 算法的矩阵实现求最小树的权矩阵法,最后得到的最小生成树由边v1v2、v1v4、v4v3、v4v5构成， 其权为20+25+10+15=70。,1.5 图的中心与中位点,求图的中心和重心的算法,1.6 图的矩阵表示,
