1、有限元基础复习题 1. 有限单元法的解题步骤如何？它 和经典 Ritz 法的主要区别是什么？ 答： 解题步骤： 划分单元，输入结点和单元信息； 单元分析： 、 、eeN K P 整体分析：1 ,en e e eeK G K G 1en eeeP G P引入位移边界条件得到： Ka P 求解方程得到解 a 对位移 a 结果进行有关整理、计算单元或结点的应力、应变 有限元法和经典 Ritz 法的区别 ： 经典 Ritz 法是在整个区域内假设未知函数，适用于边界几何形状简单的情形；有限单元法是将整个区域离散，分散成若干个单元，在单元上假设未知函数。有限单元法是单元一级的Ritz 法。 2. 单元刚度
2、矩阵和结构刚度矩阵各有什么特征？刚度矩阵 K 奇异有何物理意义？在求解问题时如何消除奇异性？ 答：单元刚度矩阵的特征：对称性奇异性主元恒正平面图形相似、弹性矩阵 D、厚度 t 相同的单元， eK 相同 eK 的分块子矩阵按结点号排列，每一子矩阵代表一个结点，占两行两列，其位置与结点位置对应。 整体刚度矩阵的特征：对称性奇异性主元恒正稀疏性非零元素呈带状分布。 K 的物理意义 是 任意给定结构的结点位移得到的结构结点力总体上满足力和力矩的平衡。 为消除 K 的奇异性，需要引入边界 条件，至少需给出能限制刚体位移的约束条件。 3. 列式说明乘大数法引入给定位移边界条件的原理？ 答：设： jjaa
3、，则将 jj jjkk j jj jP k a 即： 1 1 1 2 1 1 2 112 1 2 2 2 2 2 221 2 22 1 2 2 2 2 2 22 jnjnj j jj j n j jj jn n n j n n nnk k k k aPk k k k aPk k k k a k ak k k k aP1510修改后的第 j 个方程为 1 1 2 2 2 2j j j j j j n n j j jk a k a k a k a k a 由于 得 jj j jj jk a k a 所以 jjaa 对于多个给定位移 12, , , lj c c c 时，则按序将每个给定位移都作上述
4、修正，得到全部进行修正后的 K和 P，然后解方程即可得到包括给定位移在内的全部结点位移值。 4. 何为等参数单元？为什么要引入等参数单元？ 答：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参数单元。 借助于等参数单元可以对于一般的 任意几何形状的工程问题和物理问题方便地进行有限元离散，其优点有：对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化）；便于编制通用化程序。 5. 对于平面 4 节点（线性）和 8节点（二次）矩形单元，为了得到精确的刚度矩阵，需要多少个 Gauss 积分点？说明理由。 答：对于平面 4
5、节点（线性）矩形单元： ( , )iN 1, , , 221, , , , , B D B J 常 数 2m 1 1.52mn 因而积分点数为： 22 矩阵 对于平面 8节点（二次）矩形单元： ( , )iN 2 2 2 21, , , , , , BDB 2 2 1 3 41, , , , , , J 常 数 所以 4m 0 ( )ijjjk ijk ( )jj ijk k i j 1 4 1 2 .522 mn 因而积分点数为： 33 矩阵 6. 总刚度矩阵 K的任一元素 kij 的物理意义是什么？如何解释总刚度矩阵的奇异性和 带状稀疏性？ 答： K 中元素的 ijK 物理意义：当结构的第
6、 j 个结点位移方向上发生单位位移，而其它结点位移方向上位移为零时，需在第 i 个结点位移方向上施加的结点力大小。 奇异性 ： K =0,力学意义是对任意给定的结点位移所得到的结构结点力总体上是满足力和力矩的平衡。反之，给定任意满足力和力矩平衡的结点载荷 P，由于 K的奇异性却不能解得结构的位移 a ,因而结构仍可能发生任意的刚体位移。为消除 K 的奇异性，结构至少需给出能限制刚体位移的约束条件。 带状稀疏性 ：由于连续体离散为有限个单元体时，每个结点的相关单元只是围绕在该结点周围为数甚少的几个，一个结点通过相关单元与之发生关系的相关结点也只是它周围的少数几个，因此虽然总体单元数和结点数很多，
7、结构刚度矩阵的阶数很高，但刚度系数中非零系数却很少，即为总刚度矩阵的稀疏性。另外，只要结点编号是合理的，这些稀疏的非零元素将集中在以主对角线为中心的一条带状区域内，即为总刚度矩阵的带状分布特性。 7. 什么是等参单元？等参单元的收敛性如何？ 答：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函 数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参元。 等参单元满足收敛性需满足两个条件：即单元必须是协调的和完备的。完备性条件：要求插值函数中包含完全的线性项（包含常数项和一次项）。协调性条件：单元边界上位移连续，相邻单元边界具有相同的结点，每一单元沿边界的坐标和未知函数采用相同的
8、插值函数。 8. 对于空间 8 节点（线性）和 20 节点（二次）六面体单元，为了得到精确的刚度矩 阵，需要多少个 Gauss 积分点？说明理由。 答：对于空间 8节点（线性）六面体单元： ( , )iN 1, , , , , , ,x y z xy yz zx xyz BDB 221, , , , ,x xy xz x y J 常 数 所以 2m 因而积分点数为： 222 矩阵 对于空间 20 节点（二次）六面体单元： ( , )iN 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 21 , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,x y z x y z x y z
9、 x y y z z x x y x y x z x z y z y z x y z BDB 41, , , , ,x xy xz x J 常 数 1 1.52mn 所以 4m 因而积分点数为： 333 矩阵 9. 为什么说 3 节点三角形单元是常应变单元？ 答： 常应变单元指的是在一个单元内的应变为常数，有限元中的常应变单元指的是线性三角形单元，线性三角形单元的位移场为线性的，应变为位移的一阶导数，故为常数，因此称为常应变单元。 10. 以平面 4 节点双线性单元为例，说明形函数的两个重要特性。 答：图形见课件 2.5矩形单元插值函数（形函数）的性质 进而验证插值函数的性质： 二、 如图所示
10、平面问题有限元网格，每个单元 4 个节点，每个节点 2 个自由度， 1. 给出适当的节点编号，使总的系数矩阵的半带宽最小，并计算半带宽的值； 2. 在您的节点编号下，图中节点 A 的主对角线上的元素在总系数矩阵中的行号和列号如何？ 3. 哪几个单元对节点 A 的主对角线上的系数有非零贡献？ 4. 尝试另一种节点编号，两种编号下总刚矩阵 中的非零元素是否相等？为什么？ 1、答：沿短边回头编号，存储量最小。 带宽的计算： ( 1 ) = + = 相 邻 结 点 号 码 的 最 大 差 值 自 由 度 （ 51 ） 2 1 2D 1 2.52mn 1 1 114N 2 1 114N 3 1 114N
11、 4 1 114N 1 ( )( , ) 0 ( )i j j i j ijN ij 41 1ii N 2、答：由 得节点 A 的主对角线上的元素 1,1k 、 12,12k 在总系数矩阵中的行号为 11 和 12,列号为11,12。 3、答： 2、 3、 4单元对 A的主对角线上的系数有非零贡献。 注意：杆件单元在每个节点上有 1个自由度，带宽不用乘以 2。 4. 答： 两种编号方式，非零元素相等。编号的合理化只 是将非零元素的位置集中在以主对角线为中心的一条带状区域内，但并不改变非零元素的个数。 三、 四、图示 6 节点三角形单元单位体积的重量为 ，单元厚度为 t，求单元的等效节点载荷。
12、11,11 11,126612 ,11 12 ,12kkK 1 23 45 6 78 9 10 1112 13 14 15123 45 6 7Ax y 五、 图示 6 节点三角形单元的 142 边作用有均布侧压力 q，单元厚度为 t，求单元的等效 节点载荷。 六 、 如图， 6 节点三角形单元的 1 4 2 边（边长 l）作用有水平均布侧压 q，单元厚度为t，求单元的等效节点载荷。 七、图示矩形单元若采用如下的 插值函数 (1) 3726254321 xxyyxyyx 2102938 yxxyx (2) 3726524321 xyxyxyx 3102928 yxyyx 试分析各自的协调性。 （
13、 12 分） 八、 考虑等截面轴力杆单元，题图中分别示出 2 节点和 3 节点单元体， x y x y 7 8 1 2 3 4 5 6 10 9 1. 写出它们的位移插值函数； 2. 推导这两种单元体的刚度矩阵； 3. 对 3 节点单元体用静力凝聚法消去中间节点自由度，建立单元体刚度矩阵表达式。 解：图 a， 令 1 2 1 2212 ( ) 2 ( )x x x x x xx x L ，则有 121, , 1 1 。 故有， ( 1 ) 211 12 1( ) ( ) (1 )2Nl ， ( ) 122 21 1( ) ( ) (1 )2Nl 。 图 b，令 1 2 1 2312 ( ) 2
14、 ( )x x x x x xx x L ，则有 1 2 31 , 0 , 1 , 1 1 。 故有， ( 2 ) 2311 1 2 1 3( ) ( ) 1( ) ( ) ( 1 )( ) ( ) 2Nl ( 2 ) 21322 2 1 2 3( ) ( )( ) ( ) 1( ) ( )Nl ( 2 ) 1231 3 1 3 2( ) ( ) 1( ) ( ) ( 1 )( ) ( ) 2Nl 图 a：有应变矩阵 1 2 1 2 2d N d N d N d N d d NB L Nd x d x d d d x d L 。 0 0 0 112 11TTL L LeT d N d N E
15、A d N d N E AK B D B d x E A d x dd x d x L d d L 。 图 b：有应变矩阵 1 1 1 1 1 1 2d N d N d N d N d N d N d d NB L Nd x d x d x d d d d x d L 。 0 0 01 4 2 122 1 6 831 8 1 4TTL L LeT d N d N E A d N d N E AK B D B d x E A d x dd x d x L d d L 。 1122331 4 2 12 1 6 831 8 1 4uFEAuFLuF ，有1 2 3 2 2 2 1 3332 1 6
16、8 ( 2 8 ) / 1 6LLu u u F u F u uE A E A 代入1 2 3 131 4 2 Lu u u FEA 与1 2 3 338 1 4 Lu u u FEA ，消去 2u ，得： 1213321710 8413 2 1 02FFuEAuL FF 。 九、 如图所示的平面内部三角形单元网格每节点 2 个自由度， 1. 用图中所给节点编号计算总刚矩阵的半带宽； 2. 对节点重新编号，使结构总刚矩阵的半带宽最小，并说明此时中心节点主对角线上的元素在总刚 矩阵中的行号和列号？ 3. 是否所有单元对中心节点主对角线上的元素都有非零贡献？ 4. 两种编号下，结构总刚矩阵中的非零
17、元素是否相等？为什么？ 解：半带宽 （相邻结点号码的最大差值 +1） 自由度 (9 1) 2 16 。 中心节点元素编号为 5，其余元素编号顺时针依次编写为 1-4， 6-9。此时中心节点对应主对角线上的 元素 9,9K 、 10,10K 在总刚度矩阵中的行号、列号分别为第 9 行和第 9 列，第 10行和第 10列 是。由于 8 个三角型单元均有一个节点是中心节点主 对角线上元素，有1 2 3 4 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5,KKKKK 6 7 855 5 55,KKK均不为零，故所有单元对主对角线上元素都有非零贡献。 两种编号方式，非零元素相等。编号的合理化只是将非零元素的位
18、置集中在以主对角线为中心的一条带状区域内，但并不改变非零元素的个数。 十 、 3 节点三角形单元的 jm 边作用有分布侧压力，如图示，单元厚度为 t，求单元的等 效节点载荷。 解：如图梯形分布力可以分解成为一个三角形分布力和一个均匀分布力，然后叠加。参加课本 P68页或者课件，易知： 均匀分布部分， 111 1 0 1 0 0 02 TeP q l t三角型分布部分：2 2 11 2 1( ) 0 0 0 02 3 3TeP q q l t 两者相加， 2 1 2 11 2 0 2 0 0 06 TeP l t q q q q 十一、 对图示的矩形单元采用如下的插值函数 1. 请分析该单元的协
19、调性。 2. 若将插值多项式写成 解： 如图所示的矩形单元若满足协调性，因为在 y 方向有三个节点， x方向有两个节点，故 y方向上，差值函数视 x为常数 y的次数至少为 3 次， x方向上，插值函数视 y 为常数，x的次数至少为 2次。对比给出的方程知，该单元若采用该插值函数满足协调性。 插值函数改变后， 增加了一个 3x ， 而由图中矩形单元知道 x 方向多项式最高次为 2 次，显然不满足协调性。 十 二 、 证明 4 节点平行四边形二维单元的雅可比矩阵是常数矩阵 . 对于二维 平行四边形有， 有 441131 2 411 22 443331 2 411 44( , )( , )iiiii
20、iiixyN N NN N NxyxyxyJxyN N NN N Nxyxy （ 7.1） 等参变换下取， iiNN ，而在自然坐标下不妨设该平行四边形的四边的方程分别为： 0ab 0c 0ab 0c 从而知道： 11( )( )N k a b c ； 22 ( )( )N k a b c ； 33 ( )( )N k a b c 44 ( )( )N k a b c 。其中， 1 14k ac ， 2 14k ac ， 3 14k ac ， 4 14k ac 解得四个节点的坐标，一并代入方程 7.1 得： J 的四个元素均为常 数，故有 4 节点平行四边形二维单元的雅可比矩阵是常数矩阵。 十
21、三、 块体棱柱单元的上下三角形表面 = 1，利用面积坐标 L (i 1, 2, 3) i 和等参坐标 写出该线性单元的形函数。 解： 111( 1 ) 1 ( 1 )1 1 ( 1 ) 2LNL 222( 1 ) 1 ( 1 )1 1 ( 1 ) 2LNL ； 333( 1 ) 1 ( 1 )1 1 ( 1 ) 2LNL 44111 (1 )1 1 1 2LNL ； 55511 (1 )1 1 1 2LNL ；66111 (1 )1 1 1 2LNL 十 四 、 该单元在结构中的位置使得总体节点编号分别为 19、 20、 30、 31，回答： 1. 在未引入边界条件 以前， j 单元刚度矩阵
22、Ke 的系数将贡献给总体刚度矩阵 K中的 哪些行、列？ 2. 具体写出刚度矩阵 Ke 中的哪些元素对总体刚度矩阵 K中的下列行和列有贡献， （ 1） 59 行 61 列；（ 2） 38 行 39 列；（ 3） 59 行 59 列；（ 4） 37 行 37 列。 （题 解：由节点位移矢量知该结构节点自由度为 2，设某一个节点的编号为 i ，则该个节点将分别对总体刚度矩阵的第 21i 、 2i 行与列，产生贡献。所以，总体编号为 19、 20、 30、31 的总体节点将相应对总体刚度矩阵的 37、 38 行和列， 39、 40 行和列， 59、 60 行和列，60、 61 行和列产生贡献。 对第 59 行 61 列产生贡献的是 35K ；对第 38 行 39 列产生贡献的是 27K ；对第 59行与 59 列产生贡献的是 33K ；对 37 行和 37列产生贡献的是 11K .
