1、2015 年人教版高一升高二暑期数学衔接班讲义专题一 函数专题二 数列专题三 三角函数专题三 平面向量一、知识网络结构：性 质图 像反 函 数F:AB对 数指 数 对 数 函 数指 数 函 数二 次 函 数具 体 函 数一 般 研 究函 数定 义映 射二、知识回顾：（一）映射与函数1. 映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.3.反函数反函数的定义设函数 （ ）的值域是 ，根据这个函数中 ， 的关系，()yfxACxy用 把 表示出，得到 .
2、若对于 在 中的任何一个值，通过()yy， 在 中都有唯一的值和它对应，那么， )就表示 是自()xyx (xy变量， 是自变量 的函数，这样的函数 ( )叫做函数y()xyC（ ）的反函数，记作 ,习惯上改写成()yfxA1f1(yfx（二）函数的性质函数的单调性定义：对于函数 的定义域 内某个区间上的任意两个自变量的值 ,()fxI 1x，2x若当 时，都有 ,则说 在这个区间上是增函数；12x12()fxf()fx若当 2时，都有 ,则说 在这个区间上是减函数.()若函数 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 在这()yfx ()yfx一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 的单
3、调区间.此时也()yfx说函数是这一区间上的单调函数.2.函数的奇偶性偶函数的定义：如果对于函数 的定义域内任意一个，都有 ，()fx()fxf那么函数 就叫做偶函数。()fx是偶函数 （ ） 。()f()ffx()0ffx()1fx()0f奇函数的定义：如果对于函数 的定义域内任意一个，都有 ，f ffx那么函数 就叫做奇函数。()fx是奇函数 （ ） 。()f()(ffx()0ffx()1fx()0fx正确理解奇、偶函数的定义，必须把握好：1、定义域在数轴上关于原点对称是函数 为奇函数或偶函数的必要不充分()fx条件；或 是定义域上的恒等式。()fxf()(fxf2、奇函数的图象关于原点成
4、中心对称图形，偶函数的图象关于 轴成轴对称图y形。反之亦真。因此，也可以利用函数图象的对称性去判断偶函数的奇偶性。3、奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反。4、如果 是偶函数，则 ，反之亦成立。若奇函数在 时有意()fx()fx0x义，则 。07. 奇函数，偶函数：偶函数： ()fxf设 为偶函数上一点，则 也是图象上一点.(,)ab(,)ab偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于 轴对称，例如： 在 上不是偶函数.y21yx,)满足 )(xff，或 0)(xff，若 0)(f时， 1)(xf.奇函数：设 为奇函数上一点，则 也是图象上一点.(,)ab(,)ab奇函数的
5、判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如： 3xy在 )1,上不是奇函数.满足 )(xff，或 0)(xff，若 0(f时， 1)(xf.8. 对称变换： y = f（ x） ）（轴 对 称 xfyy y =f（ x） ）（轴 对 称 f y =f（ x） ）（原 点 对 称 xfy9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：在进行讨论.10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.例如：已知函数 f（ x）= 1+ x1的定义域为 A，函数 的定义域是 B，则()fx集合 A 与集合 B 之间的关系是 . B解： )(xf的值域是 )(f的定义域 ， )(x
6、f的值域 R，故 B，而A 1|，故 .11. 常用变换： )()()( yfxfyfxyf .证： )()( yffxfff )()()( yfyfxyf 证： )(fxfyf 212122121 )()( bxxbff ）（ xy12. 熟悉常用函数图象：例： 关于 y轴对称. 2xy211()()()xx x x(0,1) xy(-2,1)关于 x轴对称.21yy熟悉分式图象：例： 3721xy定义域 ,3|Rx，值域 ,|R值域 x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数指数函数 （ 且 ）的图象和性质xya01a1图象4.543.532.521.510.5-0.5-1-4 -3 -2
7、-1 1 2 3 4y=14.543.532.521.510.5-0.5-1-4 -3 -2 -1 1 2 3 4y=1(1)定义域： R（2）值域： (,)（3）过定点 ，即 时，010x1y(4) 时， ；0x1y时，(4) 时， ；时， .xy性质（5）在 上是增函数R（5）在 上是减函数R对数函数 的图象和性质:logayx对数运算： xy2log()loglaaaMNNll()naa1ogoglaN换底公式： llogbaN推论： ll1abc12113logoglnaan（以上 ,0M, , , , , , , 、 、 ，且 ）Nab0c1a20na1注：当 ， 时， .log()
8、l()log()cccabb：当 时，取“+” ，当 n是偶数时且 时， ，而 ，故取0MnM“”.例如： （因为 中 而 中 ，且 ）2loglaax2logax02logaxR0x y（ , ）与 yl互为反函数.01当 时， xyalog的 值越大，越靠近 x轴；当 时，则相反.1 1（四）方法总结.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.对数运算：.函数表达式的求法：定义法；换元法；待定系数法.反函数的求法：先解 ,互换 、 ，注明反函数的定义域(即原函数的值xy域).函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为分母不为 0
9、；偶次根式中被开方数不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1；零指数幂的底数不等于零；实际问题要考虑实际意义等.函数值域的求法：配方法(二次或四次)；“判别式法” ；反函数法；换元法；不等式法；函数的单调性法.单调性的判定法：设 , 是所研究区间内任两个自变量，且 ；1x2 12x判定 与 的大小；作差比较或作商比较.1()fx2)f.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 与()fx之间的关系： 为偶函数； 为奇函数；()fx()fxf()(fxf为偶； 为奇； 是偶； 为0ff()0ff1()f()1fx奇函数.图象的作法与平移：据函数表达式，列表、描点、连光
10、滑曲线；利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.三、小试牛刀:一、 求函数的定义域1、求下列函数的定义域： 2153xy21()xy021(2)4yxx2、设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ _ _；函数fx()01， fx()2的定义域为_； f(3、若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是 ；函数(1)fx23， (21)fx的定义域为 。2f4、 知函数 的定义域为 ，且函数 的定义域存在，fx() 1,()()Fxfmfx求实数 的取值范围。m二、求函数的值域5、求下列函数的值域： 23yx23yx1,231xy 1x(5)62x2594
11、1x 31yxyx245yx 245yx12yx6、已知函数 的值域为1，3，求 的值。2()1xabf,ab三、求函数的解析式1、 已知函数 ，求函数 ， 的解析式。2(1)4fxx()fx21)f2、 已知 是二次函数，且 ，求 的解析式。()fx 2(1)()4fxfx()fx3、已知函数 满足 ，则 = 。()fx2()3fx()fx4、设 是 R 上的奇函数，且当 时， ，则当0,)3()1)fx时 = , 在 R 上的解析式为 . (,0)x(fx(fx。5、设 与 的定义域是 ， 是偶函数， 是奇函数，()fg|,1且 ()fx()gx且 ，求 与 的解析表达式1x()fxg四、
12、求函数的单调区间6、求下列函数的单调区间： 23yx23yx261yx7、函数 在 上是单调递减函数，则 的单调递增区间是 ()fx0,)2(1)fx8、函数 的递减区间是 ；函数 的递减区236y 236xy间是 五、综合题9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ， ； ， 3)5(1xy 52xy 11xy； 2 ， ； ， ； ， xf)(2)(xgxf)(3()gx21)5()xf。 52A、 B、 、 C、 D、 、10、若函数 = 的定义域为 ,则实数 的取值范围是 （ ）()fx342mxRmA、( ,+) B、(0, C、( ,+) D、0, 443)11、若函数
13、的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ）2)1fx(A) (B) (C) (D) 040012、对于 ，不等式 恒成立的 的取值范围是（ 1a2()0xax）(A) (B) 或 (C) 或 (D) 2x1x31x13、函数 的定义域是（ ）2()44fxA、 B、 C、 D、2,(2,)(,2)(,)2,14、函数 是（ ） 1()0fxA、奇函数，且在(0，1)上是增函数 B、奇函数，且在 (0，1)上是减函数C、偶函数，且在(0，1) 上是增函数 D、偶函数，且在(0，1)上是减函数15、函数 ，若 ，则 = 2(1)()xf()3fx16、已知函数 的定义域是 ，则 的定fx()(01，
14、 gfafxa()()120义域为 。17、已知函数 的最大值为 4，最小值为 1 ，则 = ， = 2mnymn18、把函数 的图象沿 轴向左平移一个单位后，得到图象 C，则 C 关于原点对称1xx的图象的解析式为 19、求函数 在区间 0 , 2 上的最值2)(af20、若函数 时的最小值为 ，求函数 当 -3,-22(),1fxxt当 ()gt()gt时的最值。21、 已知 ，讨论关于 的方程 的根的情况。aRx2680xa22、 已知 ，若 在区间1，3上的最大值为 ，最小值为13a2()1fxa()Ma，令 。 （1）求函数 的表达式；（2 ）判断函数 的单()N()gMN()gag
15、调性，并求 的最小值。23、记函数 132)(xf的定义域为 A, )1(2)1lg() axax的定义域为 B。求 A;若 B A,求实数 a的取值范围。24、绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料。根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶 4 元，每月可售出 400 瓶；若每瓶售价每降低 005 元，则可多销售 40 瓶，在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？25、已知方程 022ax，分别在下列条件下，求实数 a的取值范围。方程的两根都小于 1；方程的两个根都在区间 ),(内；方程的两个根，一个根大于 ，
16、一个根小于 1。26、已知函数 )1,0)(1log)(,1log)( axxxf aa 且其 中求函数 的定义域；判断函数 )(xf的奇偶性，并予以证明；求使 )(g0 成立的 的集合。27、函数 )(xf对任意 Rba,都有 ,1)()(bfabf 并且当 0x时 1)(f。求证：函数 是 R 上的增函数。28、 已知 的定义域为 ，且 ，试判断 的奇偶性。()fx|0x12()fxx()fx函数 定义域为 ，且对于一切实数 都有 ，试判R,y()fyy断 的奇偶性。()f29、已知定义域为 的函数 是奇函数。R12()xbf（）求 的值；b（）判断函数 的单调性;fx（）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围t22()()0ftftkk
