1、1习题四1.设随机变量 X 的分布律为X 1 0 1 2P 1/8 1/2 1/8 1/4求 E（X） ，E（ X2） ，E（2X+3）.【解】(1) ()2;884(2) 2221150(3) (3)()3EX2.已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的 5 个产品中的次品数为 X，则 X 的分布律为X 0 1 2 3 4 5P 5910C.8340951C.331095C.721095C.71095C10故 ().2.34E50,20()()iiiDXxP22 2.51.83(0.51).340(5.01)433.设随机变
2、量 X 的分布律为X 1 0 1P p1 p2 p3且已知 E（X ）=0.1,E(X 2)=0.9,求 P1，P 2，P 3.【解】因 ,123又 ,1231()00.A2239EXPP由联立解得 123.4,.,.54.袋中有 N 只球，其中的白球数 X 为一随机变量，已知 E（X）=n，问从袋中任取 1 球为白球的概率是多少？【解】记 A=从袋中任取 1 球为白球，则20()|NkPAPAXk全 概 率 公 式0011().NkknEXNA5.设随机变量 X 的概率密度为f（x）= .,0,21,他x求 E（X） ，D（ X）.【解】 1201()()d()dxfxx133201.122
3、23017()()d()d6EXxfxx故 .6D6.设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 E（X）=5，E（Y ） =11，E（Z）=8 ，求下列随机变量的数学期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ4X.【解】(1) (231)2()3(1E54.(2) ()YZEX,()ZA因 独 立18456.7.设随机变量 X，Y 相互独立，且 E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X 2Y） ，D（2X3Y）.【解】(1) ()()2(32.(2) 41962.8.设随机变量（X，Y）的概率密度为3f（x，y）= .,0,1他xyxk试确定常数 k，并求 E（X
4、Y ）.【解】因 故 k=210(,)dd,2xfky.10(,)d205xXYf y 9.设 X，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为fX（x ）= fY（y）=;,0,12他x(5)e,.y其 他求 E（XY）.【解】方法一：先求 X 与 Y 的均值102()d,3xA5(5)500eede516.zyyzzY 令由 X 与 Y 的独立性，得 2()()4.3EXYA方法二：利用随机变量函数的均值公式.因 X 与 Y 独立，故联合密度为(5)e,01,5(,)(),yXYxxyfxyf其 他于是 11(5)2(5)50052()2eded64.3y yEYxx AA10.设随机变量
5、X，Y 的概率密度分别为fX（x）= fY（y ）=;,2x.0,4y求（1） E（X+Y）; （2） E（2X3Y 2）.【解】 -200()()deedxxxfA201e.x401()()ey.YEyf2222dd.8A从而(1) 3()()4XEY4(2) 2215(3)()3()38EXYEY11.设随机变量 X 的概率密度为f（x）= .0,2xcke求（1） 系数 c;（2） E（X）;（3） D（X）.【解】(1) 由 得 .220()ded1kxfx2ck(2) 0()ekxA220ed.kx(3) 222201()()e.kxEXfA故 22214.DEX12.袋中有 12
6、个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回） ，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X，求 E（X）和D（X）.【解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知90.75,P 3910.24,P32.41,11.5于是，得到 X 的概率分布表如下：X 0 1 2 3P 0.750 0.204 0.041 0.005由此可得 ().75.204.30.5.1E2 222201143()(.(.).XDEX13.一工厂生产某种设备的寿命 X（以年计）服从指数
7、分布，概率密度为f（x）= .0,41xxe为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200 元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利 Y 只有两个值：100 元和200 元5/41/4110edxPYX/2.故 (元).1/41/41/4()e(20)e)3023.64E14.设 X1，X 2，X n 是相互独立的随机变量，且有 E（X i）=，D （X i）=2，i=1，2， ，n，记，S 2= .niiX1,nii12)(（1） 验证 =， = ；)(E)(Dn2（2） 验证 S2=
8、；)(12niiX（3） 验证 E（S 2）= 2.【证】(1) 111()()().nnni i ii iiXEEXu A2 211 1()()nn ni i ii i iDDDX 之 间 相 互 独 立2.nA(2) 因 2 2211 11()()nn nni i ii ii i i iXXXX2 21 1n ni ii iA故 .221()niiSX(3) 因 ,故2),iiEuD222()().iiiEXDEXu同理因 ,故 .(,()Xn2un从而62 22 21 1()()()()n ni ii iEsXEX 22122().niiEuunA15.对随机变量 X 和 Y，已知 D（
9、X）=2，D （Y）=3 ，Cov(X,Y)=1,计算：Cov（3X2Y +1，X+4Y3）.【解】 Cov(1,4)()10Cov(,)8(D232(因常数与任一随机变量独立，故 Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=21,1,0.xy其 他试验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的.【解】设 .2(,)|1Dxy21(,)ddxyExfy210=cos0.rA同理 E(Y)=0.而 Cov,)()(),dXxEyYfxy,2 2101dsinco0xyrr由此得 ,故 X 与 Y 不相关.0XY下面讨
10、论独立性，当|x |1 时， 212()d1.xXfyx当|y |1 时， .212()dyYf显然 ,).XfxfxA7故 X 和 Y 不是相互独立的.17.设随机变量（X，Y）的分布律为1 0 11011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8验证 X 和 Y 是不相关的，但 X 和 Y 不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X 与 Y 显然不独立，由联合分布律易求得 X，Y 及 XY 的分布律，其分布律如下表X 1 0 1P 382Y 1 0 1PXY 1 0 1P 284由期望定义易得 E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而 E(XY)=E(X)E(Y),
11、再由相关系数性质知 XY=0,即 X 与 Y 的相关系数为 0，从而 X 和 Y 是不相关的.又 311,18PPA从而 X 与 Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0） ， （0，1） ， （1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求 Cov（X，Y） ， XY.【解】如图，S D= ，故（X ，Y）的概率密度为12题 18 图2,(),(,)0xyDfxy其 他 .XY8()(,)dDEXxfy1012d3xyA22()(,)f1206x从而222()(.6318XEX同理 1,.38YD而 101()(,)d2d2d.xDxyfxyy所以.Cov(,)()()1
12、236XYEXYA从而 ov(,)18XYD19.设（X，Y）的概率密度为f（x，y ）=1sin(),0,22.xyxy,其 他求协方差 Cov（X，Y）和相关系数 XY.【解】 /2/01()(,)dsin()d.4ExfyxxyA2201sin.8yA从而 22()(.16DXEX同理 2(),().4YD又 /2/0 dsin()d1,2EXxyxy故 4Cov(,)()()1.4XYYA92224Cov(,)(4)816.83316XYDYA20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为 ，试求 Z1=X2Y 和 Z2=2XY 的相4关系数.【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4
13、,Cov(X,Y)=1.从而 12)(4()Cov(,)1413,( 4ZDYX1Cov,)ov(2,)X)4ov(,(,)2ov(,)(5C2)154.YYDD故 1212(, 3.6)3ZZA21.对于两个随机变量 V，W，若 E（V 2） ，E（W 2）存在，证明：E（VW） 2E（V 2）E（W 2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（CouchySchwarz）不等式.【证】令 2(),.gttR显然 2220()gtEVttV,.WEtRA可见此关于 t 的二次式非负，故其判别式 0，即 220()4()W.EVA故 22()().22.假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从参数 =1
14、/5 的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 F（y）. 【解】设 Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间10XE(),E(X)= =5.1依题意 Y=min(X,2).对于 y1=P =0,PX=1,Y=1=PU1,U1 1d4x.21d1,4xU故得 X 与 Y 的联合概率分布为.(,1)(,)(,(,)0424 (2) 因 ,而 X+Y 及（X+Y） 2 的概率分布相应2()()()DXYE为, .0142204()1从而 ()(,EXY2102所以 2()(
15、)().DEXY31.设随机变量 X 的概率密度为 f(x)= ， （x +）xe(1) 求 E（X ）及 D（X） ；（2） 求 Cov(X,|X|),并问 X 与|X|是否不相关？（3） 问 X 与|X|是否相互独立，为什么？ 【解】(1) |1()ed0.2xA| 20()ed.xx (2) Cov,|()|(|)XEXEXAA|1|e,2x所以 X 与| X|互不相关.(3) 为判断 |X|与 X 的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域x +中的子区间（0,+）上给出任意点 x0，则有00|.xX所以 0|1.P15故由 00000,|PXxPXxxPXA得出 X
16、与| X|不相互独立.32.已知随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N（1，3 2）和 N（0，4 2） ，且 X 与 Y 的相关系数 XY=1/2，设 Z= .23（1） 求 Z 的数学期望 E（Z）和方差 D（Z） ；（2） 求 X 与 Z 的相关系数 XZ；（3） 问 X 与 Z 是否相互独立，为什么？ 【解】(1) 1().32YE()2Cov,33XYXYDZ1196(,)4而 Cov(,)()3462XYDA所以 16.Z(2) 因 ov(,),Cov,ov,322ZXY19()(6)3=0,DX-所以 ov().ZXDZA(3) 由 ，得 X 与 Z 不相关.又因 ，所以 X
17、 与 Z 也0XZ1,3(1,9)N相互独立.33.将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 表示正面向上和反面向上的次数.试求 X 和 Y 的相关系数 . XY【解】由条件知 X+Y=n，则有 D（X+Y）= D（n）=0.再由 XB(n,p),YB(n,q)，且 p=q= ,12从而有 ()()4Y16所以 0()()2()XYDXYDDA故 =1.2,4nAXY34.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为1 0 1010.07 0.18 0.150.08 0.32 0.20试求 X 和 Y 的相关系数 . 【解】由已知知 E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而 XY 的概率分布为YX
18、1 0 1P 0.08 0.72 0.2所以 E（XY）=0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=0.120.60.2=0从而 =035.对于任意两事件 A 和 B，0P(A)1，0P( B)1,则称= 为事件 A 和 B 的相关系数.试证：)(P（1） 事件 A 和 B 独立的充分必要条件是 =0；（2） |1. 【证】 （1）由 的定义知，=0 当且仅当 P(AB)P(A)P(B)=0.而这恰好是两事件 A、B 独立的定义，即 =0 是 A 和 B 独立的充分必要条件 .(2) 引入随机变量 X 与 Y 为1,0若 发 生若 发 生 ;1,0Y若 发 生若
19、发 生 .由条件知，X 和 Y 都服从 01 分布，即()PA1()PB从而有 E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)P( ),D(Y)=P(B)P( ),Cov(X,Y)=P(AB)P(A)P(B)所以，事件 A 和 B 的相关系数就是随机变量 X 和 Y 的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|1.36. 设随机变量 X 的概率密度为YX17fX(x)=.,0,241,他x令 Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：(1) Y 的概率密度 fY(y)；(2) Cov(X,Y);(3) . 1(42解： (1) Y 的分布函数为.2()YFyPXy当 y0 时， ， ；0()Yf当 0y1 时，3()04YFPyXyPy；3()8Yf当 1y4 时， 1()1024YFyPXyy；()8Yfy当 y4 时， ， .()1Yy()0Yfy故 Y 的概率密度为 3,01,8(),4,0.Yyfy 其 他(2) ,2101()()dd4+XE=xfxx-,222 05)6Y,033317()() 8+Xxfxx-故 Cov(X,Y) = .()EY=18(3) 2111(,4),4,422FPXYPX.14
