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类型高数下册详细复习资料.pdf

  • 上传人:精品资料
  • 文档编号:8537153
  • 上传时间:2019-07-02
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    1、- 2 -高等数学(向量代数无穷级数)知识点向量与空间几何向量:向量表示(ab);向量运算(向量积);向量的方向和投影空间方程:曲面方程(旋转曲面和垂直柱面);直线方程(参数方程和投影方程)平面方程:点法式(法向量)、一般式、截距式;平面夹角和距离直线方程:一般式、对称式(方向向量)、参数式;直线夹角;平面交线(法向量积)切平面和切线:切线与法平面;切平面与法线多元函数微分学多元函数极限:趋近方式,等阶代换偏微分和全微分:高阶微分(连续则可等);复合函数求导(Jacobi行列式);多元函数极值:偏导数判定;拉格朗日乘数法(条件极值)重积分二重积分:直角坐标和极坐标;对称性;换元法三重积分:直角

    2、坐标、柱坐标和球坐标;对称性重积分的应用:曲面面积;质心;转动惯量;引力曲线与曲面积分曲线积分:弧长积分;坐标曲线积分(参数方程);格林公式面积积分:对面积积分;坐标面积积分;高斯公式无穷级数级数收敛:通项极限正项级数:调和级数;比较法和比较极限法;根值法;极限法;绝对收敛和条件收敛幂级数:收敛半径和收敛域;和函数;麦克劳林级数(二次展开)Fourier级数:傅里叶系数(高次三角函数积分);奇偶延拓;正弦和余弦级数;一般周期的傅里叶级数矢量分析与场论(空间场基础)方向导数与梯度方向导数:向量参数式;偏导数;方向余弦梯度(grad):方向导数的最值;梯度方向;物理意义(热导方向与电场方向)格林公

    3、式:曲线积分二重积分;曲线方向与曲面方向全微分原函数:场的还原;折线积分通量与散度高斯公式:闭合曲面三重积分;曲面外侧定向;曲面补齐;向量表达(通量)- 3 -散度(div):通量的体积元微分;物理意义(有源场(电场)环流量与旋度斯托克斯公式:闭合曲线曲面积分;向量积定向;行列式表达;向量表达;物理意义(环通量)旋度(rot):行列式斯托克斯公式;物理意义(有旋场(磁场)第八章向量与解析几何向量代数定义 定义与运算的几何表达 在直角坐标系下的表示向量 有大小、有方向. 记作a或AB a ( , , )x y z x y za i a j a k a a a , ,x x y y z za pr

    4、j a a prj a a prj a 模 向量a的模记作 a a 2 2 2x y za a a 和差 c a b c a b c a b , , x x y y z za b a b a b单位向量 0a ,则 a ae a ae 2 2 2( , , ) x y zx y za a aa a a方向余弦 设a与 , ,x y z轴的夹角分别为 , , ,则方向余弦分别为cos ,cos ,cos cos yx zaa aa a a ,cos ,coscosae ( ,cos ,cos )2 2 2cos 1 +cos cos点乘(数量积) cosbaba , 为向量 a 与 b 的夹角

    5、zzyyxx bababa ba叉乘(向量积)bac sinbac 为向量 a 与 b 的夹角向量c与a,b都垂直 zyx zyx bbb aaa kjiba 定理与公式垂直 0a b a b 0x x y y z za b a b a b a b 平行 / 0a b a b / y zxx y za aaa b b b b 交角余弦 两向量夹角余弦 ba bacos 2 2 2 2 2 2cos x x y y z zx y z x y za b a b a ba a a b b b 投影 向量a在非零向量b上的投影cos( )b a bprj a a a b b 2 2 2x x y y

    6、z zb x y za b a b a bprj a b b b 平面 直线- 4 -法向量 , , n A B C 点 ),( 0000 zyxM 方向向量 , , T m n p 点 ),( 0000 zyxM方程名称 方程形式及特征 方程名称 方程形式及特征一般式 0 DCzByAx 一般式 002222 1111 DzCyBxA DzCyBxA点法式 0)()()( 000 zzCyyBxxA 点向式 pzznyymxx 000 三点式 1 1 12 1 2 1 2 13 1 3 1 3 1 0x x y y z zx x y y z zx x y y z z 参数式 ptzz nty

    7、y mtxx 000截距式 1x y za b c 两点式 0 0 01 0 1 0 1 0 x x y y z zx x y y z z面面垂直 0212121 CCBBAA 线线垂直 0212121 ppnnmm面面平行 212121 CCBBAA 线线平行 212121 ppnnmm 线面垂直 pCnBmA 线面平行 0 CpBnAm点面距离),( 0000 zyxM 0 DCzByAx 面面距离1 0Ax By Cz D 2 0 Ax By Cz D222 000 CBA DCzByAxd 1 22 2 2D Dd A B C 面面夹角 线线夹角 线面夹角, 1111 CBAn , 2

    8、222 CBAn , 1111 pnms , 2222 pnms , pnms , CBAn222222212121 212121 |cos CBACBA CCBBAA 222222212121 212121cos pnmpnm ppnnmm 222222sin pnmCBA CpBnAm 空间曲线: ( )( ) ( )x ty tz t ,)( t 切向量 )(,)(,)( 000 tttT 切“线”方程: )()()( 000 00 0 tzztyytxx 法平“面”方程: 0)()()()()( 000000 zztyytxxt ( )( )y xz x 切向量 )(,)(,1( xx

    9、T 切“线”方程: )()(1 000 00 xzzxyyxx 法平“面”方程: 0)()()()(00000 zzxyyxxx 空间曲面 0),( zyxF 法向量 0 0 00 0 00 0 0( ( , , ) ,( , , ) ,( , , ) )xyzn F x y zF x y zF x y z 切平“面”方程:0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0( , , )( ) ( , , )( )( , , )( ) 0x xxF x y z x x F x y z y yF x y z z z 法“线“方程:- 5 -: ),(),(),( 000 0000 0000 0 zyx

    10、F zzzyxF yyzyxF xx zyx ),( yxfz 0 00 0( ( , ) ,( , ) , 1 )xyn f x yf x y 或 0 00 0( ( , ) ,( , ) , 1)xyn f x yf x y 切平“面”方程: 0)()(,()(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx法“线“方程: 1),(),( 000 000 0 zzyxf yyyxf xx yx第十章重积分重积分积分类型 计算方法 典型例题二重积分 d, D yxfI平面薄片的质量质量=面密度面积 (1) 利用直角坐标系X型 D ba xx dyyxfdxdxdyyxf )( )(21

    11、),(),( Y型 dc yyD dxyxfdydxdyyxf )( )(21 ),(),( P141例 1、例 3(2)利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 );(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含 2 2( )x y , 为实数 )21 ( )( )( cos , sin )( cos , sin )D f d dd f d 0 2 0 2 P147例 5(3)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性当 D 关于 y 轴对称时,(关于 x 轴对称时,有类似结论) P141例 2应用该性质更方便- 6 -1 10 ( , )( , ) (

    12、 , )2 ( , ) ( , )( , ) ( , )D f x y xf x y f x yI f x y dxdy f x y xf x y f x yD D 对于 是奇函数,即 对于 是偶函数,即是 的右半部分计算步骤及注意事项1画出积分区域2选择坐标系 标准:域边界应尽量多为坐标轴,被积函数关于坐标变量易分离3确定积分次序 原则:积分区域分块少,累次积分好算为妙4确定积分限 方法:图示法 先积一条线,后扫积分域5计算要简便 注意:充分利用对称性,奇偶性三重积分 dvzyxfI ),(空间立体物的质量质量=密度 面积 (1) 利用直角坐标截面法投影法投影 ba yxz yxzxy xy

    13、 zzyxfyxVzyxf ),( ),()( )( 2121 d),(ddd),( P159例 1P160例 2(2) 利用柱面坐标 cossinx ry rz z 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围:1 积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单;如 旋转体2 被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如 2 2 2 2( ) ( )f x y f x z 21 ( )( )( , , )d d d ( cos , sin , ) db ra rf x y z V z f z P161例 3(3)利用球面坐标 cos sin cossin sin sincosx ry rz r dv

    14、r drd d 2 sin 适用范围:1 积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如,球体,锥体.2 被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如, 2 2 2( )f x y z 2 2 21 1 1 ( , ) 2( , )d d ( sin cos , sin sin , cos ) sin dI f P16510-(1)(4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十一章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分- 7 -积分类型 计算方法 典型例题第一类曲线积分 L dsyxfI ),(曲形构件的质量质量=线密度弧长 参数法(转化为定积分)(1) : ( )L y x dtttttfI )()()

    15、(),( 22(2) ( ): ( )( )x tL ty t dxxyxyxfI ba )(1)(,( 2(3) ( ) ( )r r ( )cos: ( )sinx rL y r drrrrfI )()()sin)(,cos)( 22 P189-例 1P1903平面第二类曲线积分 L QdyPdxI变力沿曲线所做的功 (1) 参数法(转化为定积分)( ): ( )( )x tL ty t 单调地从 到 ttttQtttPyQxPL d)()(),()()(),(dd P196-例1、例 2、例 3、例 4(2)利用格林公式(转化为二重积分)条件:L 封闭,分段光滑,有向(左手法则围成平面区

    16、域 D)P,Q具有一阶连续偏导数结论: dydxyPxQQdyPdx DL )(应用: 助线不是封闭曲线,添加辅有瑕点,挖洞满足条件直接应用 P205例 4P214-5(1)(4)(3)利用路径无关定理(特殊路径法)等价条件: yPxQ 0L QdyPdx L QdyPdx 与路径无关,与起点、终点有关 QdyPdx 具有原函数 ),( yxu(特殊路径法,偏积分法,凑微分法) P211-例 5、例 6、例 7(4)两类曲线积分的联系 LL dsQPQdyPdxI )coscos( 空间第二类曲线积分LI Pdx Qdy Rdz 变力沿曲线所做的功 (1)参数法(转化为定积分) dtttttR

    17、 ttttQttttPRdzQdyPdx )()(),(),( )()(),(),( )()(),(),( (2)利用斯托克斯公式(转化第二类曲面积分)条件:L 封闭,分段光滑,有向P,Q,R具有一阶连续偏导数结论: dxdyypxQdzdxxRzPdydzzQyR RdzQdyPdxL )()()( 应用: 助线不是封闭曲线,添加辅满足条件直接应用 P240-例 1- 8 -第一类曲面积分dvzyxfI ),(曲面薄片的质量质量=面密度面积 投影法: ),( yxzz 投影到xoy面 dxdyzzyxzyxfdvzyxfI xyD yx 221),(,(),(类似的还有投影到 yoz面和zo

    18、x面的公式 P217-例 1、例 2第二类曲面积分I Pdydz Qdzdx Rdxdy 流体流向曲面一侧的流量 (1)投影法1 dydzzyzyxpPdydz yzD ),),(: ),( yxzz , 为的法向量与x轴的夹角前侧取“+”,cos 0 ;后侧取“”,cos 0 2 dzdxzzxyxpQdzdx yzD ),(,(: ),( zxyy , 为的法向量与y轴的夹角右侧取“+”,cos 0 ;左侧取“”,cos 0 3 dxdyyxzyxQQdxdy yzD ),(,(: ),( zyxx , 为的法向量与x轴的夹角上侧取“+”, cos 0 ;下侧取“”,cos 0 P226-

    19、例 2(2)高斯公式 右手法则取定的侧条件:封闭,分片光滑,是所围空间闭区域的外侧P,Q,R具有一阶连续偏导数结论: )( zRyQxPRdxdyQdzdzPdydz应用: 助面不是封闭曲面,添加辅满足条件直接应用 P231-例 1、例 2(3)两类曲面积分之间的联系 ( cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS 转换投影法: ( ) ( )z zdydz dxdy dzdx dxdyx y P228-例 3所有类型的积分:1 定义:四步法分割、代替、求和、取极限;2 性质:对积分的范围具有可加性,具有线性性;3 对坐标的积分,积分区域对称与被积函数的奇偶

    20、性。- 9 -第十二章级数- 10 -无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义, nn slim 存在常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质 1 若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛2 两个收敛级数的和差仍收敛注:一敛、一散之和必发散;两散和、差必发散.3 去掉、加上或改变级数有限项 不改变其收敛性4 若级数收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变。推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散 注:收敛级数去括号后未必收敛.5 (必要条件) 如果级数收敛 则 0lim0 nn u莱布尼茨判别法 若 1 nn uu 且 0lim nn u ,则 1

    21、 1)1(n nn u 收敛nu 和 nv 都是正项级数,且 nn vu .若 nv 收敛,则nu也收敛;若 nu 发散,则 nv 也发散.比较判别法比较判别法的极限形式 nu 和 nv 都是正项级数,且 lvunnn lim ,则1 若 l0 , nu 与 nv 同敛或同散;2 若 0l , nv 收敛, nu 也收敛;3 如果 l , nv 发散, nu 也发散。比值判别法根值判别法 nu 是正项级数, nnn uu 1lim , n nn ulim ,则 1 时收敛; 1 ( )时发散; 1 时可能收敛也可能发收敛性和函数展成幂级数 nn nxa0 , nnn aa 1lim , 1 ,

    22、 0; , 0; 0 , .R R R 缺项级数用比值审敛法求收敛半径)(xs 的性质1 在收敛域I 上连续;2 在收敛域 ),( RR 内可导,且可逐项求导;3和函数 )(xs 在收敛域I 上可积分,且可逐项积分.(R不变,收敛域可能变化).直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式11 ( 1 1)1 nn x xx 1 1 ( )!x nne x xn 22TT l 10 )sincos(2)( n nn nxbnxaaxf dxxfa )(10 nxdxxfan cos)(1 nxdxxfbn sin)(1 收敛定理x是连续点,收敛于 )(xf ;x是间断点,收敛于 )()(21 x

    23、fxf周期延拓 )(xf 为奇函数,正弦级数,奇延拓; )(xf 为偶函数,余弦级数、偶延拓.交错级高等数学公式- 11 -导数公式:基本积分表:三角函数的有理式积分:2222 12211cos1 2sin ududxxtguuuxuux , , , axx aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgxa xx ln1)(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 22 22 221 1)( 1 1)( 11)(arccos 11)(arcsin xarcctgx xarctgx xx xx Caxxaxdx Cshxchxdx Cchxshxdx

    24、Caadxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdxxdx Ctgxxdxxdx xx )ln(ln csccsc secsec cscsin seccos2222 22 22Caxxadx Cxa xaaxa dx Cax axaax dx Caxarctgaxa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx arcsinln21 ln211 csclncsc seclnsec sinln cosln22 22 22 22 Caxaxaxdxxa Caxxaaxxdxax Caxxaaxxdxax InnxdxxdxI nnnn arcsin2

    25、2 ln22 )ln(22 1cossin 22222 2222222 2222222 22020 - 12 -一些初等函数: 两个重要极限:三角函数公式:诱导公式: 函数角 A sin cos tg ctg- -sin cos -tg -ctg90- cos sin ctg tg90+ cos -sin -ctg -tg180- sin -cos -tg -ctg180+ -sin -cos tg ctg270- -cos -sin ctg tg270+ -cos sin -ctg -tg360- -sin cos -tg -ctg360+ sin cos tg ctg和差角公式: 和差化积

    26、公式:倍角公式: 2sin2sin2coscos 2cos2cos2coscos 2sin2cos2sinsin 2cos2sin2sinsin ctgctg ctgctgctg tgtg tgtgtg 1)( 1)( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( xxarthx xxarchx xxarshx ee eechxshxthx eechx eeshx xx xxxx xx 11ln21 )1ln( 1ln(: 2: 2: 22 )双曲正切双曲余弦双曲正弦 .590457182818284.2)11(lim 1sinlim0 exxx xxx- 13 -半

    27、角公式: cos1 sinsincos1cos1 cos12cos1 sinsincos1cos1 cos12 2cos12cos2cos12sin ctgtg 正弦定理: RCcBbAa 2sinsinsin 余弦定理: Cabbac cos2222 反三角函数性质: arcctgxarctgxxx 2arccos2arcsin 高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式:)()()()2()1()( 0 )()()( ! )1()1(!2 )1()( nkknnnn nk kknknn uvvuk knnnvunnvnuvu vuCuv 中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理。时,柯西中值

    28、定理就是当柯西中值定理:拉格朗日中值定理:xx FfaFbF afbf abfafbf )(F )( )()()( )()( )()()( 曲率: .1;0 .)1(limM sMM:. ,1320 2aKaK yydsdsK MMsK tgydxyds s 的圆:半径为直线:点的曲率: 弧长。:化量;点,切线斜率的倾角变点到从平均曲率: 其中弧微分公式: 定积分的近似计算: 2 33 33133 cos3cos43cos sin4sin33sin tgtgtgtg 22 2222122 2 12 sincossin211cos22cos cossin22sin tgtgtg ctgctgct

    29、g - 14 - ba nnnba nnba n yyyyyyyynabxf yyyynabxf yyynabxf )(4)(2)(3)( )(21)( )()( 1312420 110 110 抛物线法:梯形法:矩形法:定积分应用相关公式: ba badttfab dxxfaby krmmkF ApF sFW )(1 )(1,22 21均方根:函数的平均值: 为引力系数引力:水压力:功:空间解析几何和向量代数:。代表平行六面体的体积 为锐角时,向量的混合积: 例:线速度:两向量之间的夹角: 是一个数量 轴的夹角。与是向量在轴上的投影:点的距离:空间 ,cos)( sin,cos ,cos P

    30、rPr)(Pr ,cosPr )()()(2 2222222121 21221221221 cbaccc bbb aaacbacba rwvbacbbb aaa kjibac bbbaaa babababababababa ajajaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyxzyx zyx zyxzyx zzyyxxzzyyxxu u - 15 -(马鞍面)双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面: 同号)(、抛物面:、椭球面:二次曲面: 参数方程:其中空间直线的方程: 面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程: ,其中、点法式:平面的方程: 113 ,222 1

    31、1 ;,13 02 ),(,0)()()(1 222222 222222 22 222222 000000 222 000 0000000 czbyax czbyax qpzqypx czbyax ptzz ntyy mtxxpnmstpzznyymxx CBA DCzByAxdczbyax DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用zyzx yxyxyxyx FFyzFFxzzyxF dxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxF dyyvdxxvdvdyyudxxudu yxvvyxuu xvvzxuuzxzyxvyxufz tvvztuuzdtdztvtuf

    32、z yyxfxyxfdzz dzzudyyudxxududyyzdxxzdz , , 隐函数 , , 隐函数隐函数的求导公式: 时,当 :多元复合函数的求导法全微分的近似计算: 全微分: 0),( )()(0),( ),(),( ),(),( )(),( ),(),( 22- 16 -),( ),(1),( ),(1 ),( ),(1),( ),(1 ),( ),(0),( 0),( yu GFJyvvyGFJyu xu GFJxvvx GFJxu GG FFvGuG vFuFvu GFJvuyxG vuyxF vu vu 隐函数方程组:微分法在几何上的应用: ),(),(),(3 0)(,(

    33、)(,()(,(2 ),(),(),(1 ),(0),( ,0),( 0),( 0)()()( )()()(),()( )( )(000 0000 0000 0 000000000000 000000000 000 000000 000000000 zyxF zzzyxF yyzyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FFGG FFGG FFTzyxG zyxF zztyytxxtM tzztyytxxzyxMtz ty tx zyx zyx zyx yx yxxz xzzy zy 、过此点的法线方程:、过此点的切平面方程、过此点

    34、的法向量: ,则:上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为:处的法平面方程:在点 处的切线方程:在点空间曲线 方向导数与梯度: 上的投影。在是单位向量。 方向上的,为,其中:它与方向导数的关系是 的梯度:在一点函数 的转角。轴到方向为其中 的方向导数为:沿任一方向在一点函数 lyxflf ljieeyxflf jyfixfyxfyxpyxfz lx yfxflflyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),( 多元函数的极值及其求法: 不确定时 值时, 无极为极小值为极大值时,则: ,令:设 ,00 ),(,0 ),(,00 ),(

    35、,),(,),(0),(),( 22 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxABAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx重积分及其应用:- 17 - DzDyDx zyxDyDx DDyDxDDD ayx xdyxfaFayx ydyxfFayx xdyxfF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxyMMydyx dyxxMMx dxdyyzxzAyxfz rdrdrrfdxdyyxf 232222322223222 22D 22 )( ),()( ),()( ),( ,)0(),0,0( ),(,),( ),( ),(,

    36、),( ),(1),( )sin,cos(),( , , ,其中:的引力:轴上质点平面)对平面薄片(位于 轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量: 平面薄片的重心:的面积曲面柱面坐标和球面坐标: dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvzMzdvyMydvxMx drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddvrzry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxfzzry rx zyx r )()()( 1,1,1 sin),(sin),(),( sinsincossinsin cossin ),sin,cos(),( ,),(),(,sincos 2

    37、22222 20 0 ),( 0 22 2, , 转动惯量: , 其中 重心: , 球面坐标:其中: 柱面坐标:曲线积分: )()()()()(),(),( ),(,)( )(),( 22 ty txdtttttfdsyxf tty txLLyxfL 特殊情况: 则: 的参数方程为:上连续,在设 长的曲线积分):第一类曲线积分(对弧- 18 -。,通常设 的全微分,其中:才是二元函数时,在 :二元函数的全微分求积注意方向相反!减去对此奇点的积分, ,应。注意奇点,如,且内具有一阶连续偏导数在,、 是一个单连通区域;、 无关的条件:平面上曲线积分与路径 的面积:时,得到,即:当 格林公式:格林公

    38、式: 的方向角。上积分起止点处切向量 分别为和,其中系:两类曲线积分之间的关 ,则:的参数方程为设标的曲线积分):第二类曲线积分(对坐0),(),(),( ),( )0,0(),(),(21 212, )()( )coscos( )()(),()()(),(),(),( )()(00),( ),( 00 yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdxyPxQ yPxQGyxQyxPG ydxxdydxdyADyPxQxQyP QdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQL dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty txLyx yx D LD LD L

    39、L LL 曲面积分: dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxy xyDDD Dyx )coscoscos(),(,),( ,),(),( ),(,),( ),(),(),( ),(),(1),(,),( 22 系:两类曲面积分之间的关 号。,取曲面的右侧时取正号;,取曲面的前侧时取正号;,取曲面的上侧时取正 ,其中:对坐标的曲面积分:对面积的曲面积分:高斯公式:- 19 - dsAdvA dsRQPdsAdsnA zRyQxP dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP nn div )coscoscos( .,0div,div )coscoscos()( 成:因此,高斯公式又可写 ,通量: 则为消失的流体质量,若即:单位体积内所产生散度: 通量与散度:高斯公式的物理意义 斯托克斯公式曲线积分与曲面积

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