1、第 2 课时 范围、最值问题范围问题【例 1】 (2018 贵阳监测)已知椭圆 C： 1(ab0)的离心率为 ，y2a2 x2b2 63且椭圆 C 上的点到一个焦点的距离的最小值为 .3 2(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知过点 T(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若在 x 轴上存在一点E，使 AEB90，求直线 l 的斜率 k 的取值范围解 (1)设椭圆的半焦距长为 c，则由题设有Error!解得 a ，c ，b 21，3 2故椭圆 C 的方程为 x 21.y23(2)由已知可得，以 AB 为直径的圆与 x 轴有公共点设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB
2、中点为 M(x0，y 0)，将直线 l：ykx 2 代入 x 21，得(3k 2)x24kx10，y2312k 212，x 1x 2 ，x 1x2 . 4k3 k2 13 k2x 0 ，y 0kx 02 ，x1 x22 2k3 k2 63 k2|AB| |x1x 2| 1 k2 1 k2 x1 x22 4x1x2 ，1 k212k2 123 k2 23k4 13 k2由题意可得Error!解得 k4 13，即 k 或 k .413 413故直线 l 的斜率 k 的取值范围是(， ，)413 413规律方法 求参数范围的四种方法1函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求
3、解.2不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围.3判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式 求参数的范围.4数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.(2019临沂摸底考试 )已知点 F 为椭圆 E： 1( ab0)的x2a2 y2b2左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线 1 与椭x4 y2圆 E 有且仅有一个交点 M.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线 1 与 y 轴交于 P，过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同两点x4 y2A，B，若 |PM|2|PA |PB|，求实数 的取值范围解 (1)由题意得 a2c，b
4、 c，则椭圆 E 为 1.3x24c2 y23c2由Error!得 x22x 43c 20.直线 1 与椭圆 E 有且仅有一个交点 M，x4 y244(43c 2)0c 21，椭圆 E 的方程为 1.x24 y23(2)由(1)得 M ，(1，32)直线 1 与 y 轴交于 P(0,2)，| PM|2 ，x4 y2 54当直线 l 与 x 轴垂直时，|PA|PB| (2 )(2 )1，3 3由 |PM|2 |PA|PB| ，45当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 ykx 2，A (x1，y 1)，B(x2，y 2)，由Error!(3 4k 2)x216kx 40，依题意得
5、x1x2 ，且 48(4k 21)0，k 2 ，43 4k2 14|PA|PB|(1 k 2)x1x2 (1k 2) 1 ，43 4k2 13 4k2 54 ，k 2 ， 1，45(1 13 4k2) 14 45综上所述， 的取值范围是 .45，1)最值问题考法 1 利用几何性质求最值问题【例 2】 在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2y 21 右支上的一个动点若点 P 到直线 xy 10 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为_双曲线 x2y 21 的渐近线为 xy0，直线 xy10 与渐近线22xy0 平行，故两平行线的距离 d .由点 P 到直线|1 0|12 12
6、22xy10 的距离大于 c 恒成立，得 c ，故 c 的最大值为 .22 22考法 2 建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值【例 3】 已知点 A(0， 2)，椭圆 E： 1( ab0)的离心率为 ，x2a2 y2b2 32F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为 ，O 为坐标原点233(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程解 (1)设 F(c,0)，由条件知， ，得 c .2c 233 3又 ，所以 a2，b 2a 2c 21.ca 32故 E 的方程为 y 21.x24(2)当 lx 轴时不合题
7、意，故设 l：ykx 2，P( x1，y 1)，Q(x 2，y 2)将 ykx2 代入 y 21，得(14k 2)x216kx120.x24当 16(4k 23)0，即 k2 时，x 1,2 .34 8k24k2 34k2 1从而|PQ | |x1x 2| .k2 14k2 1 4k2 34k2 1又点 O 到直线 PQ 的距离 d .2k2 1所以OPQ 的面积 SOPQ d|PQ| .12 44k2 34k2 1设 t，则 t0，S OPQ .4k2 34tt2 4 4t 4t因为 t 4，当且仅当 t2，即 k 时等号成立，且满足 0.4t 72所以，当OPQ 的面积最大时，l 的方程为
8、 y x2 或 y x2.72 72考法 3 建立函数关系利用导数求最值问题【例 4】 (2017 浙江高考)如图，已知抛物线 x2y ，点A ，B ，抛物线上的点 P(x，y) 0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB| 8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程解 (1)由题意得 F(1,0)，l 的方程为 yk( x1)(k0)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)由Error!得 k2x2(2k 24)xk 20.16k 2160，故 x1x 2 .2k2 4k2所以|AB|AF|BF |(x 11)( x21) .4k2 4k2由题设知 8，解得 k1(舍去)，k1.4k2 4k2因此 l 的方程为 yx 1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为y2( x 3)，即 yx5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则Error!解得Error!或Error!因此所求圆的方程为(x 3)2(y2) 216 或(x 11) 2(y6) 2144.
