1、第六节 正弦定理和余弦定理考纲传真 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题1正弦定理和余弦定理定理正弦定理 余弦定理公式 2R .(R 为ABC 外接圆半asin A bsin B csin C径)a2b 2c 2 2bccos_A；b2c 2a 2 2cacos_B；c2a 2b 2 2abcos_C公式变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c 2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)sin A ，sin B ，sin Ca2R b2R c2Rcos A ；b2 c2 a22bccos B ；c2 a2 b22cacos Ca2 b2 c2
2、2ab2.在ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 absin A bsin Aab ab ab解的个数一解 两解 一解 一解3.三角形常用面积公式(1)S aha(ha表示边 a 上的高 )；12(2)S absin C acsin B bcsin A；12 12 12(3)S r(a bc )(r 为内切圆半径)12常 用 结 论 1三角形内角和定理在ABC 中，AB C ；变形： .A B2 2 C22三角形中的三角函数关系(1)sin(AB) sin C；(2)cos(AB)cos C；(2)sin cos ；(4)cos sin .
3、A B2 C2 A B2 C23在ABC 中，sin Asin BABab，cosAcos BAB ab.4三角形射影定理abcos Cc cos Bbacos Cc cos Acacos Bbcos A5三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边基础自测1(思考辨析) 判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)在ABC 中，若 AB，则必有 sin Asin B ( )(2)在ABC 中，若 b2c 2a 2，则ABC 为锐角三角形 ( )(3)在ABC 中，若 A60，a4 ，b4 ，则 B45或 135.( )3 2(4)在ABC 中， . ( )asin A
4、a b csin A sin B sin C解析 (1)正确AB absin Asin B.(2)错误由 cos A 0 知，A 为锐角，但ABC 不一定是锐角b2 c2 a22bc三角形(3)错误由 ba 知，B A.(4)正确利用 a2Rsin A ，b2R sin B，c 2Rsin C，可知结论正确答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编) 在ABC 中，若 sin2Asin 2Bsin 2C，则ABC 的形状是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定C 由正弦定理，得 sin A， sin B， sin C，代入得到a2R b2R c2Ra2b 2c 2，由余
5、弦定理得 cos C 0 ，所以 C 为钝角，所以该三角a2 b2 c22ab形为钝角三角形3ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知a ， c2 ，cos A ，则 b( )523A. B. C2 D32 3D 由余弦定理得 5b 242b2 ，23解得 b3 或 b (舍去)，故选 D.134在ABC 中，A45，C30，c6，则 a 等于( )A3 B6 C2 D32 2 6 6B 由正弦定理得 ，所以 a 6 .asin A csin C csin Asin C 6sin 45sin 30 25(教材改编) 在非钝角ABC 中，2bsin A a，则角 B 为( )
6、3A. B. C. D.6 4 3 2C 由 2bsin A a 得 2sin Bsin A sin A.3 3sin B ，又 B 是锐角或直角32B .3利用正、余弦定理解三角形【例 1】 (1)(2018 全国卷 )在ABC 中，cos ，BC1，AC5，C2 55则 AB( )A4 B. C. D22 30 29 5(2)(2019青岛模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知bc，a 22b 2(1sin A)，则 A 等于( )A. B. C. D.34 3 4 6(1)A (2) C (1)因为 cos ，所以 cos C2cos 2 C2 551 2 1
7、 .于是，在ABC 中，由余弦定理得C2 35AB2AC 2BC 22ACBCcos C5 21 2251 32，所以AB4 .故选 A.2(2)在ABC 中，由余弦定理得 a2b 2c 22bccos A 2b 22b 2cos A.又 a22b 2(1sin A) ，所以 sin Acos A ，即 tan A1，又 A 是三角形内角，则 A ，故选 C.4规律方法 应用正弦、余弦定理的解题技巧1求边：利用公式 或其他相应变形公式求解.2求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 sin A或其他相应变形公式求解.3已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.4灵活利用式子的特点转化：如出现
8、a2b 2c 2ab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.(1)(2019郑州模拟)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角A，B，C 的对边， 且(bc )(sin Bsin C )(a c)sin A，则角 B 的大小为( )3A30 B45 C60 D120(2)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若a ， b2，A60，则 sin B_，c_.7(1)A (2) 3 (1)由正弦定理 及(bc)(sin Bsin C)217 asin A bsin B csin C(a c)sin A 得 (bc)(bc)(a c)a，即3 3b2c 2
9、a 2 ac，a 2 c2b 2 ac.又cos B ，cos 3 3a2 c2 b22acB ，B 30.32(2)因为 a ，b2，A 60，所以由正弦定理得 sin 7B .由余弦定理 a2b 2c 22bc cos A 可得bsin Aa 2327 217c22c30，所以 c3.与三角形面积有关的问题【例 2】 (1)(2018 全国卷 )ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知 bsin Ccsin B4asin Bsin C，b 2 c2a 28，则ABC 的面积为_由 bsin Cc sin B4asin Bsin C 得 sinBsin Csin Csin B
10、4sin Asin 233Bsin C，因为 sin Bsin C0，所以 sin A .因为 b2c 2a 28，cos A12，所以 bc ，所以 SABC bcsin A .b2 c2 a22bc 833 12 12 833 12 233(2)(2017全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知sin(A C)8sin 2 .B2求 cos B；若 ac6 ，ABC 的面积为 2，求 b.解 由题设及 AB C 得 sin B8sin 2 ，B2故 sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得 17cos2B32cos B 150，解得 cos B 1(舍去)
11、，或 cos B .1517故 cos B .1517)由 cos B 得 sin B ，1517 817故 SABC acsin B ac.12 417又 SABC 2，则 ac .172由余弦定理及 ac 6 得 b2a 2c 22accos B (ac )22ac(1cos B)362 4.172 (1 1517)所以 b2.规律方法 三角形面积公式的应用方法：1对于面积公式 ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.2与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.(1)(2018全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 ABC 的面积为 ，则 C(
12、)a2 b2 c24A. B. C. D.2 3 4 6C 因为 SABC absin C，所以 absin C由余弦定理12 a2 b2 c24 12a2b 2c 2 2abcos C，得 2abcos C2absin C，即 cos Csin C，所以在ABC中，C .故选 C.4(2)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知bc2acos B.证明：A2B；若ABC 的面积 S ，求角 A 的大小a24解 证明： 由 bc 2acos B 得 sin Bsin C2sin A cos B.即 2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos
13、 Bcos Asin B；所以 sin(AB) sin B.又 A，B (0，)，故 0AB ，所以 B(AB) 或 ABB，所以 A(舍去 )或 A2B，所以 A2B .由 S 得 absin C ，a24 12 a24则 sin Bsin C sin A sin 2Bsin Bcos B.12 12由 sin B0 得 sin Ccos B.又 B，C(0，)，所以 C B.2当 BC 时， A ，2 2当 C B 时， A ，2 4综上知 A 或 A .2 4正余弦定理的简单应用考法 1 判断三角形的形状【例 3】 (1)在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，满足 ac
14、os Abcos B ，则ABC 的形状为( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形(2)(2019广州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且b2c 2a 2 bc，若 sin Bsin Csin 2A，则ABC 的形状是( )A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形(1)D (2) C (1)因为 acos Abcos B，由正弦定理得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B ，即 AB 或 AB ，所以2ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选 D.(2)由
15、b2c 2a 2bc 得 cos A .b2 c2 a22bc bc2bc 12A(0，)，A .3由 sin Bsin Csin 2A 得 bca 2，代入 b2c 2a 2bc 得(bc) 20，即bc，从而 ABC 是等边三角形，故选 C.考法 2 求解几何计算问题【例 4】 (2019 哈尔滨模拟)如图，在ABC 中， B ，AB8，点 D 在3边 BC 上，且 CD2，cosADC .17(1)求 sinBAD；(2)求 BD，AC 的长解 (1)在ADC 中， cosADC ，17sin ADC ，则1 cos2 ADC1 (17)2 437sinBAD sin(ADCB)sin
16、ADCcosBcos ADCsinB .437 12 17 32 3314(2)在ABD 中，由正弦定理得 BD 3.ABsin BADsin ADB83314437在ABC 中，由余弦定理得 AC2AB 2CB 22ABBCcos B8 2 52285 49，即 AC7.12考法 3 正、余弦定理与三角函数的交汇问题【例 5】 (2018 天津高考)在ABC 中，内角 A，B ，C 所对的边分别为a，b，c，已知 bsin Aacos (B 6)(1)求角 B 的大小；(2)设 a2， c3，求 b 和 sin(2AB)的值解 (1)在ABC 中，由正弦定理 ，可得 bsin Aasin B
17、，又由asin A bsin Bbsin A acos ，得 asin Bacos ，即 sin Bcos ，可得 tan B(B 6) (B 6) (B 6).又因为 B(0，)，可得 B .33(2)在ABC 中，由余弦定理及 a2，c 3，B ，有 b2a 2c 22ac cos 3B7，故 b .7由 bsin Aacos ，可得 sin A .(B 6) 37因为 ac，故 cos A .27因此 sin 2A2sin Acos A ，cos 2A2cos 2A1 .437 17所以，sin(2AB) sin 2Acos Bcos 2Asin B .437 12 17 32 3314
18、规律方法 平面几何中解三角形问题的求解思路1把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；2寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.易错警示：做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的点，AD 平分BAC，ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍(1)求 ；sin Bsin C(2)若 AD1，DC ，求 BD 和 AC 的长22解 (1)S ABD ABADsinBAD，S ADC ACADsinCAD.1
19、2 12因为 SABD 2SADC ，BADCAD，所以 AB2AC.由正弦定理可得 .sin Bsin C ACAB 12(2)因为 SABD S ADC BDDC，所以 BD .2在ABD 和 ADC 中，由余弦定理，知AB2AD 2BD 22AD BDcosADB，AC2AD 2DC 22AD DCcosADC.故 AB22AC 23AD 2BD 22DC 26，又由(1)知 AB2AC，所以解得 AC1.1(2017全国卷 ) ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c ，则 C( )2A. B. C. D.12
20、 6 4 3B 因为 a2，c ，2所以由正弦定理可知， ，2sin A 2sin C故 sin A sin C.2又 B(A C )，故 sin Bsin A(sin Ccos C)sin(AC) sin Asin Csin Acos Csin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C(sin Acos A)sin C0.又 C 为 ABC 的内角，故 sin C0，则 sin Acos A0，即 tan A1.又 A(0 ，)，所以 A .34从而 sin C sin A .12 22 22 12由 A 知 C 为锐角，故 C ，故选 B.34 62(201
21、7全国卷 )ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2bcos Bacos Cc cos A，则 B_.由 2bcos Bacos Cccos A 及正弦定理，3得 2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos A.2sin Bcos Bsin(A C )又 AB C，AC B.2sin Bcos Bsin(B)sin B.又 sin B0，cos B .B .12 33(2016全国卷 )ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cos A ，cos C ，a1，则 b_.45 513在 ABC 中，cos A ，cos C ，2113 45 5
22、13sin A ，sin C ， sin Bsin(AC)35 1213sin Acos Ccos Asin C .35 513 45 1213 6365又 ，b .asin A bsin B asin Bsin A1636535 21134(2017全国卷 )ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知C60 ，b ，c3，则 A_.675 如图，由正弦定理，得 ，sin B .3sin 60 6sin B 22又 cb，B45 ，A180 60 45 75.5(2016全国卷 )ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A) c.(1)求 C；(2)若 c ，ABC 的面积为 ，求ABC 的周长7332解 (1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C ，即 2cos Csin(AB) sin C，故 2sin Ccos Csin C.可得 cos C ，所以 C .12 3(2)由已知得 absin C .12 332又 C ，所以 ab6.3由已知及余弦定理得 a2b 22abcos C7，故 a2b 213，从而(ab) 225.所以ABC 的周长为 5 .7
