1、第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲传真 1.理解命题的概念；了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若 pq，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件p 是 q 的充分不必
2、要条件 pq 且 p q /p 是 q 的必要不充分条件 p q 且 qp /p 是 q 的充要条件 pqp 是 q 的既不充分也不必要条件 p q 且 q p / /常 用 结 论 1充分条件、必要条件的两个结论(1)若 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 r 的充分不必要条件，则 p 是 r 的充分不必要条件；(2)若 p 是 q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的充分不必要条件2充分条件、必要条件与集合的关系p 成立的对象构成的集合为 A，q 成立的对象构成的集合为 Bp 是 q 的充分条件 ABp 是 q 的必要条件 BAp 是 q 的充分不必要条件 A Bp 是 q 的必要不充分
3、条件 B Ap 是 q 的充要条件 AB基础自测1(思考辨析) 判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)“x22x30 ”是命题 ( )(2)命题“若 p，则 q”的否命题是“若 p，则 q” ( )(3)当 q 是 p 的必要条件时，p 是 q 的充分条件 ( )(4)“若 p 不成立，则 q 不成立”等价于“若 q 成立，则 p 成立” ( )解析 (1)错误该语句不能判断真假，故该说法是错误的(2)错误否命题既否定条件，又否定结论(3)正确q 是 p 的必要条件说明 pq，所以 p 是 q 的充分条件(4)正确原命题与逆否命题是等价命题答案 (1) (2) (3) (4)
4、2(教材改编) 命题“若 ，则 tan 1”的逆否命题是 ( )4A若 ，则 tan 14B若 ，则 tan 14C若 tan 1，则 4D若 tan 1，则 4C “ 若 p，则 q”的逆否命题是“若 q，则 p”，显然 q：tan 1， p： ，所以该命题的逆否命题是“若 tan 1，则 ”4 43已知集合 A1 ，a，B 1,2,3，则“a3”是“AB”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A a 3 时，A 1,3 ，显然 AB.但 AB 时，a2 或 3.“a3”是“AB”的充分不必要条件4设 p：x 3，q：1 x3，则 p 是 q 成立的(
5、)A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件B x 1x 3，但 1x3x3，因此 p 是 q 的必要不充分条件， /故选 B.5命题“若 a3，则 a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A1 B2 C3 D4B 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若 a6，则a3”是假命题，从而其否命题也是假命题因此 4 个命题中有 2 个假命题四种命题的相互关系及真假判断1命题“若 a2b 20，则 ab0”的逆否命题是( )A若 a2b 20，则 a0 且 b0B若 a2b 20，则 a0 或 b0C若 a0 且 b0，则 a2b 20D若 a0
6、 或 b0，则 a2b 20D “ 若 a2b 20，则 ab0”的逆否命题是“若 a0 或 b0，则a2b 20” ，故选 D.2(2019开封模拟 )下列命题中为真命题的是( )A命题“若 x1，则 x21”的否命题B命题 “若 xy ，则 x| y|”的逆命题C命题 “若 x1，则 x2x 20”的否命题D命题“若 1，则 x1”的逆否命题1xB 对于 A，命题“若 x1，则 x21”的否命题为“若 x1，则 x21” ，易知当 x 2 时，x 24 1，故为假命题；对于 B，命题“若 xy ，则x| y|”的逆命题为“若 x| y|，则 xy ”，分析可知为真命题；对于 C，命题“若
7、x1，则 x2x20”的否命题为“若 x 1，则 x2x20” ，易知当x2 时，x 2x20，故为假命题；对于 D，命题 “若 1，则 x1”是假1x命题，则其逆否命题为假命题，故选 B.3某食品的广告词为“幸福的人们都拥有” ，这句话的等价命题是( )A不拥有的人们会幸福B幸福的人们不都拥有C拥有的人们不幸福D不拥有的人们不幸福D 命题的等价命题就是其逆否命题，故选 D.4 “若 mn，则 ms2ns 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是_2 原命题：“若 mn，则 ms2ns 2”，这是假命题，因为若 s0 时，由mn，得到 ms2ns 20，不能推出 ms2n
8、s 2.逆命题：“若 ms2ns 2，则 mn” ，这是真命题，因为由 ms2ns 2 得到s20，所以两边同除以 s2，得 mn，因为原命题和逆否命题的真假相同，逆命题和否命题的真假相同，所以真命题的个数是 2.规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“ 若 p，则 q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提2判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可3根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假充分条件、必要条件的判断【
9、例 1】 (1)(2018北京高考 )设 a，b，c，d 是非零实数，则“adbc”是“a，b，c， d 成等比数列 ”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)设集合 Mx |0x3，N x|0x2，那么“m M”是“m N”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件(1)B (2)A (1)a，b，c，d 是非零实数，若 ad bc，则 ，此时ba dca，b，c，d 不一定成等比数列；反之，若 a，b， c，d 成等比数列，则 ，ab cd所以 adbc，所以 “ad bc”是“a，b，c，d 成等比数列”的必
10、要而不充分条件，故选 B.(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m N”是“mM”的什么条件由 N M 知， “mN”是“mM”的充分不必要条件，从而“mM”是“mN ”的充分不必要条件，故选 A.规律方法 充分条件和必要条件的三种判断方法1定义法：可按照以下三个步骤进行确定条件 p 是什么，结论 q 是什么；尝试由条件 p 推结论 q，由结论 q 推条件 p；确定条件 p 和结论 q 的关系.2等价转换法：对于含否定形式的命题，如 p 是 q 的什么条件，利用原命题与逆否命题的等价性，可转化为求 q 是 p 的什么条件.3集合法：根据 p，q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.易
11、错警示：判断条件之间的充要关系要注意条件之间的语句描述，比如正确理解“p 的一个充分不必要条件是 q”应是“q 推出 p，而 p 不能推出 q”.(1)(2018天津高考)设 xR，则“x 38”是“| x|2”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)已知条件 p：x 1 或 x3，条件 q：5x6x 2，则 p 是 q 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(1)A (2) A (1)由 x38 可得 x2，从而| x|2 成立，由|x| 2 可得 x2 或 x2，从而 x38 不一定成立因此“x 38” 是
12、“|x|2”的充分而不必要条件，故选 A.(2)由 5x6x 2 得 2x3，即 q：2x3.所以 qp，p q，从而 q 是 p 的充分不必要条件即 p 是 q 的充分不必要条件，故选 A.充分条件、必要条件的应用【例 2】 (1)设命题 p：(4 x3) 21，命题 q：x 2(2m 1)xm(m1)0，若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是( )A. B.0，12 (0，12)C(，0 D(，0)(0，)12， )(2)“直线 xyk0 与圆(x1) 2y 22 有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A1k 3 B1k3C0 k3 Dk1 或 k3(1)A
13、 (2) C (1)由(4x 3) 21 得 x1，即 p： x1，12 12由 x2(2m1)xm(m1)0 得 mxm1，即 q：mxm1.由 p 是 q 的必要不充分条件知，p 是 q 的充分不必要条件，从而Error! x|mx m1 Error!，解得 0m ，故选 A.12(2)“直线 xyk0 与圆(x1) 2y 22 有两个不同的交点”的充要条件是 ，即1k3.|1 k|2 2故所求应是集合k|1k3 的一个子集，故选 C.规律方法 利用充要条件求参数的关注点1巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式或不等式组求解.2端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍.(1)若“x2m 23”是“1x4”的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是( )A 1,1 B1,0C1,2 D1,2(2)设 nN *，一元二次方程 x24xn0 有整数根的充要条件是n_.(1)A (2) 3 或 4 (1)由题意知(1,4) (2m23，)，2m 231，解得1m1，故选 A.(2)当 164n0，即 n4 时，方程 x24xn0 的两根为 x 2 .4 16 4n2 4 n又 nN *，且 n4，则当 n3,4 时，方程有整数根
