1、第二节 空间几何体的表面积与体积考纲传真 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式1多面体的表(侧) 面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱 圆锥 圆台侧面展开图 侧面积公式 S 圆柱侧 2rl S 圆锥侧 rlS 圆台侧 (r1 r2)l3.柱、锥、台和球的表面积和体积名称几何体 表面积 体积柱体(棱柱和圆柱)S 表面积 S 侧 2S 底 VSh锥体(棱锥和圆锥)S 表面积 S 侧 S 底 V Sh13台体(棱台和圆台)S 表面积 S 侧 S 上 S 下V (S 上 S 下 1
2、3)hS上 S下球 S4R 2 V R343常 用 结 论 1正四面体的表面积与体积棱长为 a 的正四面体，其表面积为 a2，体积为 a3.32122几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为 a，球的半径为 R，若球为正方体的外接球，则 2R a；3若球为正方体的内切球，则 2Ra；若球与正方体的各棱相切，则 2R a.2(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a，b，c，外接球的半径为 R，则 2R .a2 b2 c2(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 31，棱长为 a 的正四面体，其内切球半径 R 内 a，外接球半径 R 外 a.612 64基础自测1(思考辨析) 判断下
3、列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积 ( )(2)球的体积之比等于半径比的平方 ( )(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差 ( )(4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R a.( )32答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编) 已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A1 cm B 2 cm C3 cm D. cm32B S 表 r 2 rlr 2r2r3r 212 ，r 24，r2(cm)3圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比 V 球 V 柱 为
4、( )A12 B23 C34 D13B 设球的半径为 R.则 .V球V柱 43R3R22R 234(教材改编) 某几何体的三视图如图所示：则该几何体的体积为( )A6 B3 C2 D33 3B 由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为 2，高为 的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故 h3，所以几3何体的体积 VS h 33 .(1223) 35如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为_147 设长方体的相邻三条棱长分别为 a，b，c，它截出棱锥的体积为V1 a b c abc，剩下的几何体的体积13 12 1
5、2 12 12 148V2abc abc abc，所以 V1V 2147.148 4748空间几何体的表面积【例 1】 (1)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A48 B48C48 2 D482(2)(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O 2，过直线O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( )A12 B122C8 D102(1)A (2) B (1)该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形( 边长为 2)，高为 5，半球的半径是 1，那么该几何体的表面积为S222245 122 1248，故选
6、A.(2)因为过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，所以圆柱的高为 2 ，底面圆的直径为 2 ，所以该圆柱的表面积为 2( )2 2 222 2 12.2 2规律方法 空间几何体表面积的求法1表面积是各个面的面积之和，求多面体的表面积，只需将它们沿着棱剪开展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面积，可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.2求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求出这些基本的柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差
7、，求出几何体的表面积.(1)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A1 B123 2C2 D23 2(2)(2016全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )A1836 5B54 18 5C90D81(1)C (2) B (1)由题意知题中的几何图形就是如图所示的四面体，其中ABAD CBCD ，BD2，且平面 ABD平面 CBD.所以ABD 与2CBD 都是等腰直角三角形，而ABC 与CAD 都是边长是 的等边三角2形所以表面积是 2 ( )222 ，故选 C.12 2 2 34 2 3(2)由三视图可知该几何体是底
8、面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(333633 )525418 .故选 B.5空间几何体的体积考法 1 公式法求体积【例 2】 (1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位： cm3)是( )A. 1 B. 32 2C. 1 D. 332 32(2)(2018江苏高考)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为_(1)A (2) (1)由三视图可知该几何体是由底面半径为 1，高为 3 的半个43圆锥和三棱锥 S ABC 组成的，如图，三棱锥的高为 3，底面ABC 中，AB2，OC 1，ABOC.故其
9、体积 V 123 213 1.故选 A.13 12 13 12 2(2)正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是 ，则该正八面体的体积为 ( )212 .213 2 43考法 2 割补法求体积【例 3】 (1)(2017 全国卷 )如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A90 B63C42 D36(2)如图所示，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE， BCF 均为正三角形， EFAB，EF2，则该多面体的体积为(
10、 )A. B.23 33C. D.43 32(1)B (2)A (1)法一：(割补法)如图所示，由几何体的三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得将圆柱补全，并将圆柱体从点 A 处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的 ，所以该几何体的体12积 V 3243 26 63.12故选 B.法二：(估值法) 由题意，知 V 圆柱 V 几何体 V 圆柱 又 V 圆柱123 21090，45 V 几何体 90. 观察选项可知只有 63 符合故选 B.(2)法一：如图所示，分别过 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H ，连接DG，CH ，则原
11、几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，因为三棱锥高为 ，直三棱柱高为 1，AG ，12 12 (12)2 32取 AD 的中点 M，则 MG ，22所以 SAGD 1 ，12 22 24所以 V 12 .24 13 24 12 23法二：如图所示，取 EF 的中点 P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥 PAED 和三棱锥 PBCF 都是棱长为 1 的正四面体，四棱锥PABCD 为棱长为 1 的正四棱锥所以 V 12 2 .13 22 13 34 63 23考法 3 等积法求体积【例 4】 如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 1，且AA1底面 ABC，则三
12、棱锥 B1ABC1 的体积为( )A. B.312 34C. D.612 64A 三棱锥 B1ABC1的体积等于三棱锥 AB1BC1的体积，三棱锥 AB1BC1的高为 ，底面积为 ，故其体积为 .32 12 13 12 32 312规律方法 求空间几何体的体积的常用方法1公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解.2割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积.3等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解
13、.等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.(1)(2019洛阳模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A2 B1 C. D.23 13(2)(2018天津高考)如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1BB1D1D 的体积为_(1)C (2) (1)几何体如图，由三视图得底面为对角线为 2 的正方形，高13为 1，所以体积为 2121 ，故选 C.13 12 23(2)法一：连接 A1C1交 B1D1于点 E(图略)，则 A1E B1D1，A 1EBB 1，则A
14、1E平面 BB1D1D，所以 A1E 为四棱锥 A1BB1D1D 的高，且 A1E ，矩形22BB1D1D 的长和宽分别为 ，1，故 VA1BB1D1D 1 .213 2 22 13法二：连接 BD1(图略)，则四棱锥 A1BB1D1D 分成两个三棱锥 BA1DD1与BA1B1D1，VA 1BB1D1DVB A1DD1VBA 1B1D1 111 1113 12 13 121 .13球与空间几何体的切、接问题考法 1 外接球【例 5】 (1)(2017 全国卷 )已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A B. C. D.34 2 4(2)(
15、2018全国卷)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 ，则三棱锥 DABC 体积的最大值为( )3A12 B18 C24 D543 3 3 3(1)B (2)B (1)设圆柱的底面半径为 r，球的半径为 R，且 R1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形r .1 (12)2 32圆柱的体积为 Vr 2h 1 .34 34故选 B.(2)如图，E 是 AC 中点，M 是ABC 的重心，O 为球心，连接BE，OM ，OD，BO.因为 SABC AB29 ，所以 AB6，BM BE34 3 23 2
16、32 .易知 OM平面 ABC，所以在 RtOBM 中，OMAB2 AE2 3 2，所以当 D，O，M 三点共线且 DMODOM 时，三棱锥OB2 BM2DABC 的体积取得最大值，且最大值 Vmax SABC (4OM ) 9 61813 13 3.故选 B.3考法 2 内切球【例 6】 (1)(2017 江苏高考 )如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则 的值是_V1V2(2)已知棱长为 a 的正四面体，则此正四面体的表面积 S1 与其内切球的表面积 S2 的比值为_(1) (2) (1)设球
17、 O 的半径为 R，32 63球 O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切，圆柱 O1O2的高为 2R，底面半径为 R. .V1V2 R22R43R3 32(2)正四面体的表面积为 S14 a2 a2，其内切球半径 r 为正四面体34 3高的 ，即 r a a，因此内切球表面积为 S24r 2 ，则14 14 63 612 a26 .S1S2 3a2a26 63规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法1求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.2若球面上四点 P，A，B，C 构成
18、的三条线段 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PAa，PBb，PC c，一般把有关元素“补形 ”成为一个球内接长方体，利用 4R2a 2b 2c 2求解 .(1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A1 B2 C3 D4(2)正四棱锥 PABCD 的侧棱和底面边长都等于 2 ，则它的外接球的表面2积是( )A16 B12 C8 D4(1)B (2)A (1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为 12，如图所示，其中 AC6，BC8，ACB90，则 AB10.要使该石材加工成的球的半径最大，只需球与直三棱柱的
19、三个侧面都相切，则半径r 等于直角三角形 ABC 的内切圆半径，即 r 2，故能得到的最大球6 8 102的半径为 2，故选 B.(2)设正四棱锥的外接球半径为 R，顶点 P 在底面上的射影为 O(图略)，因为 OA AC 2，所以 PO 12 12AB2 BC2 12222 222 PA2 OA22.又 OAOBOCOD2，由此可知 R2，于是 S 球222 224R 216.1(2016全国卷 )如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A20 B24C28 D32C 由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是 2 ，底
20、面半径是 2，因此其母线长为 4，下面圆柱3的高是 4，底面半径是 2，因此该几何体的表面积是S2 2224 2428 ，故选 C.2(2015全国卷 )九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有( )A14 斛 B22 斛C36 斛 D66 斛B 设米堆的底面半径为 r 尺，则 r8，所以 r ，所以
21、米堆的体积为2 16V r25 25 (立方尺)故堆放的米约有 1.6222(斛)14 13 12 (16) 3209 3209故选 B.3(2018全国卷 )在长方体 ABCDA1B1C1D1 中， ABBC2，AC 1 与平面BB1C1C 所成的角为 30，则该长方体的体积为 ( )A8 B6 2C8 D82 3C 连接 BC1，AC 1，AC.因为 AB平面 BB1C1C，所以AC 1B30 ，ABBC 1，所以 ABC 1为直角三角形又 AB2，所以 BC12 .又 B1C12，3所以 BB1 2 ，故该长方体的体积 V222 8 .232 22 2 2 24(2017全国卷 )长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为_14 长方体的顶点都在球 O 的球面上，长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径设球的半径为 R，则 2R .32 22 12 14球 O 的表面积为 S4R 24 14.(142)2
