1、第一篇 数值逼近1.基本概念：逼近-就是近似代替；函数逼近-就是用简单的函数逼近复杂函数的方法；数值逼近-就是先作函数逼近，再计算逼近函数的值或积分微分的值，近似代替被逼近的函数值或积分微分的值拟合法-求一个经验函数 使)(xgymin)(20ni iixf插值法-由实验或测量的方法得到所求函数 y=f(x)在互异点 x0,x1,.,xn 处的值 y0,y1,yn,构造一个简单函数F(x)作为函数 y=f(x)的近似表达式 y=f(x) F(x)使 F(x0)=y0,F(x1)=y1,F(xn)=yn 数值积分-从数值逼近的观点看，所谓数值积分，就是用一个具有一定精度的简单函数 代替被积函数
2、f(x),而)(x求出定积分的近似值，即 babadxxf)()(数值微分-观测数据是用表格表示的,用通常的导数定义无法求导,因此要寻求其他方法近似求导包括用差商代替微商、运用插值函数求数值微分、运用样条插值函数求数值微分、运用数值积分求数值微分。2、插值与拟合已知数据表xi x0 x1 xnf(xi) f(x0) f(x0) f(xn)插值：求一个经验函数 y=g(x)，使 g(xi)=f(xi)拟合：求一个经验函数 y=g(x),使 min(20ni iixfg5.lagrange 插值条件求次数n 的多项式 Ln(x), 使其满足：Ln(x0)=y0 , Ln(x1)=y1 , , Ln
3、(xn)=yn 令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + +ln(x)yn 求 n 次多项式 l j(x) ,(j=0,1,n)使其满足条件: jixlij,10)(6、Hermite 插值条件给出函数 f(x)在 n+1 个互异节点上的函数值及若干导数值，设插值节点为 x0,x1,.,xn,给出其中 mi(i=0,1,.n)是正整数);(),.(,;,.,)()(1100nmnmxfxfffxx7、三次样条插值函数条件(1)S(xi)=yi i=0,1,.,n(2)S(x) C2a,b，即在整体上二阶连续(3)S(x)在每一个小区间x i,xi+1(i=0,1,.,n-1)是三
4、次多项式8、Lagrange 插值基函数构造方法令 Ln(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + +ln(x)yn 求 n 次多项式 l j(x) ,(j=0,1,n)使其满足条件: jixlij,10)(容易求得： jiinjjjjjjj xxxl ,0110 )()()()lj(x) ,(j=0,1,n)称为以 x0,x1,.,xn为节点的 lagrange 插值基函数9、高次插值可能会出现的问题插值节点的增多,尽管使插值多项式在更多的插值节点上与函数 f(x) 的值相等,但在两个节点之间 Pn(x)不一定能很好地逼近 f(x) , 有时误差会大得惊人。从计算的数值运算误差看,对于等
5、距节点的差分形式,由于高阶差分的误差传播,函数值的微小变化都将使插值产生很大的误差.龙格(Runge)现象表明插值多项式序列不收敛，实际上，严格的理论分析可知插值多项式序列确是不收敛的，而且高阶插值还是不稳定的。10、三次样条插值函数构造方法可以11、数值积分基本方法 ()()()bbaaxfxfd从 数 值 逼 近 的 观 点 看 ,所 谓 数 值 积 分 ， 就 是 用 一 个具 有 一 定 精 度 的 简 单 函 数 代 替 被 积 函 数 ， 而 求出 定 积 分 的 近 似 值 ， 即 ()(),()nnbbaaxpxffdpd插 值 型 求 积 公 式 ，取 （ ） =得即 ： 用
6、 插 值 多 项 式 0()niipfl(1)三 弯 矩 插 值 法 0,(),1.)(,() ,2.1),()()(ii niijjjjyfxfxSSixyfj对 于 分 划 已 给 相 应 的 函 数 值以 及 边 界 点 上 的 一 阶 导 数 值求 一 个 三 次 样 条 函 数 使 之 满 足问 题 132()()()01, 4iiiiiiiiiiSabxcxdnbcd、 建 立 三 弯 矩 方 程在 ， 上 ， 三 次 样 条 函 数 可 表 示 为 ， ， ，其 中 是 四 个 待 定 系 数 。 （ 共 有 个 待 求 系 数 ） “()(01)1ii iiSxMny设 ， ，
7、 ， ， ， ，共 有 个 待 求 。1()(),2.11iiixinn可 利 用 在 节 点 上 一 阶 导 数 连 续 条 件由导 出 三 弯 矩 方 程 （ 个 方 程 要 解 个 未 知 数 ）3200000,0111111,2321111111,()()(),;()()()()3. ()iiinnnnnMabcdSxxcxdxSxabcS由 三 次 样 条 插 值 函 数计 算 ， 就 可 得 到 分 段 三 次 样 条 插 值函 数 是 ： 1,;4,(01,2.)iMn（ ） 再 由 三 弯 矩 方 程 边 界 条 件 （ 补 充 两 个 方 程 ）封 闭 的 方 程 组 ， 可
8、 求 出111/6/26,iiiiiiiiiiii iiaMhbdycyabcd得 到以 上 得 到 用 和 表 示 系 数 ， ， ，的 关 系 式 。则有其中： ()0,1(2)biiaAlxdin12、数值微分基本方法A、B、运用插值函数求数值微分设 Ln(x)是 f(x)的过点 x0 ， x1 ， x2 ， xn a， b的 n 次插值多项式，由 Lagrange 插值余项,有对任意给定的xa， b，总存在如下关系式:则可得：C、运用样条插值函数求数值微分用三转角方程和三弯矩方程可以分别求出在节点处函数 f(x)的一阶导数和二阶导数的近似值.D、运用数值积分求数值微分13、使用三次样条
9、插值函数求数值积分和数值微分14、u 是二次函数，求 dxyuxI)(22解：(1)1101() ()!,()nnnfxfxpwwaxb ()1()()!bbbn naaaffddd(1)0 ()!n niil (1)10() ()!nbnii naiAfxfxwd0(ii iii ifAfxRfAfxhffxffhxfiihiihiii i)()(lml)()(,0处在 点根 据 导 数 定 义 可 用 差 商 来 逼 近 导 数充 分 小 时当 ,hLnxnf )(1)1(! )(xLfn“(0,1)iiiifminM ()()()xyfFxfRxt设 函 数 的 导 函 数 是 ， 即
10、，则 可 将 函 数 用 定 积 分 的 形 式 表 示 出 来 ， 对111NL222(1)NL333(1)NL423534624111()axbc011()()(0,.)()kknkk kii ikxffllxx 同理可得：15、u 是二次函数， 是线性函数，求dxyuI2)(解：第二篇 线性方程组数值解法1、单位矩阵：主对角线上的元素均为 1，其余全部为 0 的方阵2、对角矩阵：3、上三角矩阵：以主对角线划分，其下三角（不包括主对角线）中元素均为 04、对称正定矩阵：对于所有非零实系数向量 Z，都有 ，且 M 为对称阵T5、稀疏矩阵：其元素大部分为零的矩阵6、病态线性方程组：解线性方程组
11、 Ax=b，若 A 的条件数很大，则当原始数据 A，b 变化微小时，也有可能引起解的极大变化，此时称方程组是病态的7、矛盾线性方程组：对于线性方程组 Ax=b，若增广矩阵（A，b）的秩不等于矩阵 A 的秩，此时称方程组 Ax=b 为矛盾线性方程组8、超定线性方程组：线性方程组 Ax=b 中，方程的个数多于未知量的个数时，称此方程组为超定线性方程组9、线性方程组的直接解法：利用高斯消元或矩阵分解，通过有限次运算，得到方程组的精确解10、线性方程组的迭代解法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限次迭代过程求解，有限次截断得近似解11、线性方程组的高斯消元法：（1）把原方程组化为上三角形方程组，称之
12、为消元过程（2）用逆次序逐一求出上三角方程组的解，称之为回代过程简答：1、解线性方程组高斯消元法。答：求解线性方程组高斯消元法的全过程包括两个步骤：消元和回代顺序消元-2221()Laxbyc33312312132aybxcyx3112212yxcxy121()abTuNuxx 16()()TNNxx 16()T 231iiiidLdL(16)i 2()TTIdyuxyuxk ()()TijNkxyk,16jiij Nkxdyij 123NuN()TTTIdxyukxijk()()(1()(),/21,3kii kjjijkkiiiknmanbb （ ）（ ） ，（ ）回代求解2、解线性方程组
13、 LU 分解法答：顺序消元回代求解3、解线性方程组 Cholesky 分解法解：可推导出则：()()()()()1/,2,1nkkkjjxbaxa()()(1(),/21,kii kjjijinman （ ）（ ） ， LUAAnnn得 到令由 121)(12)( )()1(2.121 ,(,):(,3)Tnkkj YbYybl 第 求 解 下 三 角 方 程 组 向 前 回步 代一 求 出nnnknkjjkn yxuuuxyx xYUx 2122111),( ,: 向 后 回 代 求 出求 解 上 三 角 方 程 组第 二 步 展 开 式由 TLA )( 2211211212112 jiij
14、nnnnnn allllllaa ),2;,1()(1),3(1211 nknkjlallljlkmjjkjkkjj 4、解线性方程组 Jacobi 迭代法解：则有：便得到：5、解线性方程组 Gauss-Seidel 迭代法解：Gauss-Seidel 迭代的迭代格式：则可推出：8、解线性方程组预条件共轭梯度法（PCG 法）解：9、简述常用预置条件方法答：常用预置条件方法：对角线矩阵；三对角矩阵；SSOR 矩阵；块 Jacobi 迭代的块对角阵；不完全 Choleshy 分解矩阵；不完全 LU 分解矩阵。121211,nnnaADaaULa 11()AxbDLUxb1111()(),JJxbx
15、bBgDLU于 是其 中 (1)()kkJacoxi迭 代 的 矩 阵 格 式1(1)()()1/,2i nkkki j ijijxbaxax (1)(1)()kkkDxbLUx(1)()()()1312 11()()()()222322()()(1)()21kkkknnn nnnaabxxx a (1)()kkGxBgus-Seidl迭 代 的 矩 阵 格 式(0)()0(0)()(0)()()(1)()()1()()(1)(1),23,.,:nkkkkkkkxRrbAxMzzpzrpxrAzrCGpP取 初 值解 方 程 组 求 出 ， 令解 组算 法方 程 M()()(1)(1)(4),
16、 kkzprx直 到 输 出 。(6)不完全 LU 分解 当矩阵 A 为稀疏非满阵时，只对非零元位置进行 LU 分解就为不完全 LU 分解，根据引入的填充元数量主要分为：ILU(0); 不引入填充元ILU(1); 引入一个填充元ILU(2); 引入两个填充元论述：1、矩阵三角分解方法及其与高斯消元法的关系。答：顺序高斯消元与 LU 分解具有等价性：2、预条件共轭梯度法背景，评述主要预条件方法的特点。答：12(,.,)nMdiaga。1A。 121,naMa 。2A。1/21/2/()()TTSORCCDL。3。 121,12nnJacobiAAMA 。4。5TLR。Cholesky。.()(1
17、)(1)22(1)()(1)2nnnaa (1)()(1)22()nnaa kkAL消 元 计 算 递 推 公 式 ：()()(1(),/21,kii kjjijiman （ ）（ ） ， LUAAnnn得 到令由 121)(12)( )()(2.-1T寻 找 一 个 非 奇 异 矩 阵 C， 使 =的 条 件 数 比原 系 数 矩 阵 的 条 件 数 得 到 改 善 .11,TTxbxbAxA。预条件方法的特点：1、 大型稀疏线性方程组迭代解法、极小化解法和直接解法基本思想、优点和不足。 答：迭代法适用于求解大型稀疏的线性方程组，其基本思想是通过构造迭代格式产生迭代序列，由迭代序列来逼近原方
18、程组的解。不足：优点：提高精度，减小误差。则能保持矩阵的稀疏性，具有计算简单，编制程序容易的优点，并在许多情况下收敛较快。故能有效地解一些高阶方程组。直接法以矩阵分解为基础，将稀疏线性方程组的求解化为三角线性方程组的求解。优点：比较适用于中小型方程组，计算方便。缺点：对高阶方程组，既使系数矩阵是稀疏的，但在运算中很难保持稀疏性，因而有存储量大，程序复杂等不足。推导计算：1、高斯消元阵的构造方法解：2、LU 分解解：1TCxb2。M=。Acond()。 111 2, ,()1TTTCMCIcondA()k预 优 矩 阵 应 满 足 :（ ） 是 对 称 正 定 的 矩 阵 ；（ 2） 方 程 组
19、 =r容 易 求 解 .z()()xBgIxgI实 际 计 算 中 ， 存 在 舍 入 误 差当 呈 病 态 时 ， 迭 代舍 入 误 差 分 析 解 会 失 真 。11Tjj jnjLIlell 12121213123,1()().(.)nTnTTnnnlLIlllelIle 121(,.,.,)0,2, )Tjnjiijjxxxmn且定 义 消 元 乘 数 2()Tjy于 是 有 1,0jjnjlm其 中(1)()() (1)(1)2()(1)1.,.,. nnnaA 记 ()10,.iiaam（ ）（ ）： 设 取第 一 步 (1)(1)21(1) ()()1nnnamLA 则第 k 消
20、元得： 是 高 斯 消 元 的 前 提 。)1,2(,0)( nkak第三篇 数据处理思考题1、离散 Fourier（傅里叶）变换、Laplace（拉普拉斯）变换、Z 变换三者之间是什么关系？Fourier 变换是将连续的时间域信号转变到频率域；可以说是 laplace 变换的特例，laplace 变换是 Fourier 变换的推广，存在条件比 fourier 变换要宽，是将连续的时间域信号变换到复频率域（整个复平面，而 fourier 变换此时可看成仅在 j 轴） ；z 变换则是连续信号经过理想采样之后的离散信号的 laplace 变换，再令 z=esT 时的变换结果（T 为采样周期） ，所
21、对应的域为数字复频率域，此时数字频率 =T。傅里叶变换是仅在虚轴上取值的拉普拉斯变换。拉普拉斯变换对应连续信号,Z 变换对应拉普拉斯变换的离散信号，Z 变换幅值为 1 时便得到傅立叶变换。2、Fourier 变换主要有哪 4 种基本类型，并详述各种类型输入和输出的特点？变换形式 时域 频域FT 连续非周期信号 非周期连续频谱FS 连续周期 非周期离散DTFT 离散非周期 周期连续DFS 离散周期 周期离散一个域的连续必然对应另一个域的非周期，一个域的离散必然对应另一个域的周期。只有第四种形式对于数字信号处理有实用价值。要使前三种形式能用数字计算机上进行计算，必须针对每一种形式的具体情况，或者在
22、时域和频域同时取样；或者在时域取样；或者在频域取样。最后都将使原时间函数和频率函数都成为周期离散的函数，那么前三种形式最后都变成第四种形式。利用 DFS 时域频域的周期性，各取一个周期，就得到 DFT3、离散 Fourier 变换主要有哪些性质？(1)(1) (1)23 2() (3)() ()()11,()()(),1.nk kkkknnaaAaa (1)AL消 元 计 算 递 推 公 式 ：()()(1(),/21,kii kjjijiman （ ）（ ） ， LUAAnnn得 到令由 121)(12)( )()1(2.,11TkknLIlem (1)线性： )()()( 2121 kbX
23、anbxaDFT(2)正交性：正交阵 ，kNWxWNxN11, (3)循环移位： )()(mnxFTk(4)奇、偶、虚、实对称性 )(arg)(arg)()()(kXkNXkkIII RR(5)Parsevals 定理： 101022)(NnNkxx(6)循环卷积： 1010)()()()(NknkNi WHXnyYih4、如何用离散 Fourier 变换进行褶积运算？(1)x(n)(n=0,1,.,N-1) y(n)(n=0,1,.,M-1)(2)通过补零使 x(n),y(n)长度均为 L-1(L=N+M-1)(3)对 x(n),y(n)进行 DFT 得到 )(,kX(4) )()(kHXk
24、Y(5)作 IDFT，得 若 x(n)为长序列，可将 x(n)分段和 h(n)卷积)()(nhxnhxy5、描述时间抽样基 2 快速 Fourier 变换算法的思想和流程，以及频率抽样基 2 快速 Fourier 变换算法的思想和流程。时间抽样基 2FFT 思想：将序列 x(n)按 n 为奇、偶数分为 x1(n)、x 2(n)两组序列；用 2 个 N/2 点 DFT 来完成一个 N 点 DFT 的计算。时间抽样基 2FFT 流程：设序列 x(n)的长度为 N，且满足 N=2M，M 为自然数(1)按 n 的奇偶把 x(n)分解为两个 N/2 点的子序列x1(r)=x(2r) x2(r)=x(2r
25、+1) r=0,1,., -12N(2)用 N/2 点 X1(k)和 X2(k)表示序列 x(n)的 N 点 DFT X(k)(k=0,1,.,N-1)()()()()( 1kXWnxWnkkkN偶 数 奇 数由于 X1(k)和 X2(k)均以 N/2 为周期，且 ,X(k)又可表示为:kNk2k=0,1,., -1)()()21kkNk这样将 N 点 DFT 分解为两个 N/2 点的 DFT频率抽样基 2FFT 思想：设序列 x(n)长度为 N=2M，将序列 x(n)前后对半分为 x1(n)、x 2(n)两组序列，用 2 个 N/2 点 DFT 来完成一个 N 点 DFT 的计算。频率抽样基
26、 2FFT 流程：12/02/1012/012/)()( )(Nn knNkNnNNnkkkWxx WxDFTkX 奇 数偶 数kkN,1)(2/将 X(k)分解成偶数组与奇数组，当 k 取偶数(k=2r,r=0,1,N/2-1)时 : 12/0 12/02/)()()(Nn nrnNrNxxrX当 k 取奇数(k=2r+1,r=0,1,N/2-1)时： 12/0 12/0 2/)2( )()()(Nn Nn nrNrn WxWxr将 x1(n)和 x2(n)分别代入上式，可得n=0,1,N/2-112/02/)()(NnrnNrxrX第四篇 正演计算思考题1、地球物理中物理模拟与数值模拟各有
27、什么特点？(1)数值模拟方法，即根据地球物理中的偏微分方程和边界条件，用数值方法求场值的近似解。这是一种基于插值方法的近似方法，但它适用于复杂物性分布和复杂边界形状的地球物理计算。所以适用范围非常广泛。特别是由于这些年计算机的飞速发展，以前难以克服的计算量问题和内存问题得到了解决，数值模拟法已成为了地球物理正演的最主要方法。(2)物理模拟方法，这是在电法勘探中适用较多的方法（如各种水槽、土槽模型试验） 。但是模型的制作过程非常麻烦，尤其是物性分布复杂的模型很难制作。2、数值模拟的主要方法有哪几种？(1)有限差分法：将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。该方法直接将微分问题
28、变为代数问题的近似数值解，数学概念直观，表达简单。(2)有限元方法：把计算域划分成为有限个互相不重叠的单元，在每个单元内选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，同时将微分方程中的变量改写成为由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助变分原理和加权余量法，将微分方程进行离散求解。(3)积分方程法：从微分方程边值问题出发，通过某些变换导出等价的积分方程，然后再通过近似计算方法来求此积分方程的数值解。(4)边界单元法：将插值函数和单元化的概念引入到边界积分方程方法中，成为了边界单元法。采用分部积分，在一定条件下把该积分方程转化成为关于边界的积分方程并据此进行离散，从而获得相应的
29、代数方程式，求解这些变量的具体数值，然后再求出场域中变量的数值。3、简述有限单元法的过程。在有限元方法中，把计算域离散剖分成为有限个互不重叠并且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元里的真解，整个计算域上总的基函数可以看成由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。4、详述有限单元法的实现过程。(1)区域剖分(a)选择合适的单元小单元局部编号；(b)区域剖分a.节点坐标，b.节点物性；(c)节点全局编号；(d)单元全局编号；(e)确定每个全局节点有几个单元相邻；
30、(f)确定每个单元是全局哪个单元；(g)每个单元局部编号与全局编号的关系；(h)确定每个全局节点对应的方程有几个非零元；(i)确定每个非零元对应的全局节点编号；(2)单元分析与总体合成(a)三角形单元积分，形成 33 矩阵；(b)两个三角形单元形成四边形单元，合成 44 矩阵；(c)加边界条件；(d)按编号送入紧缩存储数组 K(N,9)。(3)加入源项(4)解方程组(5)计算辅助场， (6)计算视电阻率第五篇 反演问题思考题1、例举几个观测数据 d 与模型参数 m 的关系 d=Gm，并说明其中 G 的含义。假设球体是均匀的，其剩余密度为 ，半径为 R，中心埋深为 D，其在水平地面(z0)上的异
31、常表达式为。3/223)(4)0,( DyxRfyxg2、简述正、反演问题及其关系。如果把模型空间中的一个点定义为 m，把数据空间中的一个点定义为 d，按照物理定律，可以把相关的关系写成，d = Gm 其中 G 为模型空间 M 到数据空间 D 的一个映射，反映了模型 m 与数据 d 之间的物理规律。把给定模型 m 求解数据 d 的过程称为正演问题，而把给定数据 d 求解模型参数的问题称为反演问题。反演问题是建立在正演问题被解决的基础上，若正演问题没有解决，反演问题就无法开展。3、当关系 m=G-1d 被确定之后，若已知 d，其反演解 m 是否一定可以被唯一地确定，为什么?不能被唯一地确定。引起
32、多解性的原因可以归纳为两个方面，一是场的等效性；另一个是观测资料的局限性。此外，由于观测误差，也将导致多解性愈为严重。场的等效性 ：不同的场源分布，至少在场源外部空间可引起相同的场的分布。例如相同质量的球体或球壳，无论其体积大小，在其外部空间产生的引力场是相同的。观测资料的局限性：通常我们所得到的观测资料是数量有限的离散采样数据，而大多数物理场是连续分布的。显然，这样的资料并不能完全反映场的整个特征，具有一定的片面性和局限性。这必将影响我们对场源特征及本质的认识。研究对象通常埋藏在地面之下，甚至可能位于地下深处，且形状并非规则、性质并非均匀，由此将造成反演结论的不确定性，即多解性。观测误差:
33、如果待定的场源模型参数的变化所引起的场的变化小于观测误差的尺度，我们的反演将缺乏分辨能力而得出多种解。观测误差的存在，将使地球物理反演的多解性更为严重。4、例举一个地质体模型，分别用连续和离散形式表达模型参数和观测数据之间的关系，并写出表达式。5、阐述解决地球物理反演多解性问题的基本思路。解决反演问题的多解性问题有两种途径，一种是扩大观测范围以获取更多的场的信息；另一种是在反演过程中施加约束。有时我们也可以利用已取得地面上的资料对场的方程进行回归，从而推算出其他空间上场的分布来圈定场源范围，减少多解性。大多数情况下，反演工作是通过施加约束来进行的。约束是指对场源模型参数取值范围、函数形式加以限
34、制，以及对观测误差进行预测及剔除。约束可以来自许多方面，既可以是数学上的，也可以是岩石物性或地质构造形态等方面的。6、试述地球物理反演中的适定问题、超定问题、欠定问题和混定问题。适定问题是指满足下列三个要求的问题:解是存在的; 解是惟一的;解连续依赖于定解条件。在适定问题满足的这三个要求中，只要有一个不满足，则称之为不适定问题。不适定问题的求解由于存在着观测误差及问题的不稳定性，求解地球物理反演问题的精确解无意义。假定我们期望得到一组与观测数据之间误差平方和为最小的预测数据所对应的模型参数，即使得差 E 为最小的解，其形式为假设观测数据 d 为 M 维向量，模型参数 m 为 N 维向量，且有
35、MN 则式(2-18)的求解可转化为一个线性方程组的求解，即inTTEedG11minMiijiiki dG考虑到这是一个多元函数的极小问题，取 则有 经过推导 用矩阵形式表示 欠定问题是指满 1.数学多解 2.观测数据不含充分的模型信息 3.模型算子只把部分模型映射到数据空间，这三个要求中，只要有一个满足，就称之为欠定问题。欠定问题的求解：假定已辨认出反演问题 是一个纯欠定问题。为了简单起见，假设方程数比未知的模型参数少，即Mn 时 对于满秩矩阵 A 若 mn，且存在 nm 右阶矩阵 G，使得 ，则称 G 为 A 右逆，用 表示 若 mn，且存在 mn 右阶矩阵 G，使得 ，则称 G 为 A
36、 左逆，用 表示。若 ATA 和 AAT 为满秩方阵，故存在将上两式相比较，可得7、广义逆 A-与 A+有何性质上的区别?广义逆 A- 的性质1.2.3.4.5.0,(q12,N)Em1112NMNMjkijkjijkijk jqEmGGd 20kiqkiqq dTTd2 2TTmELdMmTI 2m12estTTId121212nmmnaaATrankmnmAI1R1RmAILL1TmI1TnI11TRLT=G()()rankrkAmi,()anrkBB广义逆 的性质1.2.3.4.5.8、用最小二乘 g 逆求解矛盾线性方程组，其解是否唯一，为什么?不唯一。在实际问题中，由于观测空间的限制，
37、尽管可以构造出足够数量的方程，但模型参数之间存在着相当程度的相关性，这必然导致方程“病态” 。这种“病态”在系数矩阵上表现为某些特征值很小。方程的病态程度可以用条件数 来表示最小二乘解相当于矛盾方程组正则化后的解，这样方程系数矩阵 ATA 的条件数为，加剧了方程的病态程度。9、说明用奇异值分解求解出任意阶矩阵的逆矩阵之性质。1.2.3.4.10、说明用奇异值分解求反演问题稳定解的两种主要方法。A 为任意 MN 阶矩阵，且 rank(A) = r,则必然存在一个 MM 阶正交矩阵 U 和一个 NN 阶正交矩阵 V，使得其中 V 是 MN 阶对角阵， 由上述奇异值分解，可以得到矩阵 A 的广义逆
38、G G 可表示为 对于方程 AX=B，其解可以表示为其中11、什么是最优化算法?最优化算法的一般过程是什么?1) 最优化算法，就是寻求目标函数极小点或极大点所对应的变量(问题的解) 之数学实现过程。我们所遇到的最优化问题，多是确定一个多元函数的非线性极值问题。2) 用最优化方法解决实际问题，一般可经过下列步骤：A=T1UAV=rankrkTTU或 1200,MNr ,TTTUIVI,TUTXBVU1120, 1rmaxincodTTXAB2()()condAAG=T=提出最优化问题，收集有关数据和资料；建立最优化问题的数学模型,确定变量,列出目标函数和约束条件；分析模型，选择合适的最优化方法；
39、求解，一般通过编制程序，用计算机求最优解；最优解的检验和实施。上述 5 个步骤中的工作相互支持和相互制约，在实践中常常是反复交叉进行。12、最速下降法的优缺点是什么?1）优点：其下降方向从局部上是目标函数值下降最快的方向，且，条件数越小，收敛越快，条件数越大，收敛越慢。2）缺点：最速下降方向从全局上看并非一定是最好的方向，由此可能造成搜索路线来回摆动，是的收敛变慢。13、共轭梯度法优缺点是什么?1) 优点：建立在二次模型上，具有二次终止性；一种有效的算法，克服了最速下降法的锯齿现象，又避免了牛顿法的计算量大和局部收敛性的缺点；算法简单，易于编程，无需计算二阶导数，存储空间小等优点，是求解中等规
40、模优化问题的主要方法。2) 缺点：共轭梯度法是一个典型的共轭方向法，它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向 d 仅仅是负梯度方向与上一次迭代的搜索方向的组合，因此，存储量少。14、如何理解共轭梯度法二次终止性?用共轭梯度法求解正定二次函数的无约束最优化问题，此时算法中的正定矩阵应与二次函数的正定矩阵一致，易推出迭代公式为： ，显然可知共轭方向具有二次终止性。kTkkk dQxfx)(1用共轭梯度法求解二次正定函数的规划问题时，经过有限轮经过有限轮迭代可以达到最优解。称这种方法具有二次终止性。设 是对称正定阵， 是非零 G共轭方向组， 。若对问题（UQP） ，从 出发，依次沿nmRH10
41、,.ns nRx0 0x进行最优一维搜索，最终得到 ，则 是（UQP）的最优解。10,.ns xn15、传统蒙特卡洛反演方法与穷举法在实现搜索时的不同点在什么地方?穷举法：即在一定约束条件下对模型参数的一切可能组合得到的模型均进行分析、比较，找到在某种可接受的标准下的满意解或解集。蒙特卡洛法：以随机而不走系统的方式对模型空间进行搜索，按先验信息给出的先验限制随机地生成可供选择的模型，按某些由先验信息给出的可接受的标准对随机生成的模型进行检验，若符合标准则模型被接受，否则被“排斥”并“遗忘” 。蒙特卡洛法用随机抽样搜索代替了系统搜索，比较现实，但不能保证搜索的彻底性。在使用这种方法时的任何时刻均
42、可以停止搜继续搜索，但谁也不能保证此时的搜索已达到足够的数量，所得到的结果就是对应着整体极大的“最佳”解。16、模拟退火反演法源于哪一门学科，其基本思想是什么?把某类优化问题的求解过程与统计热力学中的热平衡问题进行对比试图通过模拟高温物体退火过程，来找到优化问题的全局最优解或近似全局最优解。退火的物理过程：物质先被熔化，然后逐渐冷却。在冷却过程中，有可能产生非晶体状的亚稳态玻璃体，也有可能产生稳态的晶体。晶体相应于该物理系统能量最小的基本状态；玻璃体相应于其能量达到次极小的亚稳态。(1)把物理系统的能量模拟成反演问题的目标函数；(2) 把晶体的生成模拟成搜索到目标函数的整体极值;(3)把玻璃体的形成模拟成错误地搜寻到局部极值。固形成等效地求解非线性反演问题，得到相应于整体极值的某种意义下的“最佳”解。17、遗传反演法源于哪一门学科，其基本思想是什么?遗传算法基于生物系统的自然选择原理和自然遗传机制。即生物的遗传，变异、选择在生物的进化过程起着重要作用，它使生物不仅能够保持自身固有特性，同时还能够不断改变自身以适应新的生存环境遗传算法通过群体的个体之间繁殖、变异、竞争等方法进行的信息交换优胜劣汰，从而一步步地逼近问题最优解
