1、第一章 集合与常用逻辑用语 (120分钟,150分),一、选择题(每小题5分,共60分) 1.集合M=1,2,3,4的真子集的个数是( ) (A)14 (B)15 (C)16 (D)17 【解析】选B.真子集的个数为2n-1=24-1=15.,2.已知集合A中有10个元素,B中有6个元素,全集U中有18个 元素,AB .设集合 (AB)有x个元素,则x的取值 范围是( ) (A)3x8,且xN (B)2x8,且xN (C)8x12,且xN (D)10x15,且xN 【解析】选A.应用韦恩图可得,当集合AB中有1个元素时,(AB)中有3个元素;当集合AB中有6个元素时,(AB)中有8个元素,即得
2、3x8,且xN,故应选A.,3.已知集合M=x| 0,N=x|x=3m2+1,mR, 则MN=( ) (A) (B)x|x1 (C)x|x1 (D)x|x1或x0【解析】选C.由于集合M: 故M=x|x1或x0,又集合N=x|x1,MN=x|x1.,4.下列命题为真的是( ) (A)所有的素数都是奇数 (B)对每一个无理数x,x2也是无理数 (C)存在一个实数x,使x2+2x+3=0 (D)有些整数只有两个正因数 【解析】选D.选项A可以通过举反例“2” 说明其为假命题,选项B显然为假命题,选项C中方程在实数范围内无解,选项D为真命题.,5.已知命题p,q,若p且q为真命题,则必有( ) (A
3、)p真q真 (B)p假q假 (C)p真q假 (D)p假q真 【解析】选A.,6.若集合M=0,1,2,N=(x,y)x-2y+10且x-2y-10, x,yM,则N中元素的个数为( ) (A)9 (B)6 (C)4 (D)2 【解析】选C.N的元素是x-2y+10x-2y-100x2,xN0y2,yN 所表示的平面区域内的整数点,如图阴影部分, 整数点为(0,0),(1,0),(1,1),(2,1)共4个.,7.对于集合M,N,定义M-N=x|xM,且x N, M N=(M-N)(N-M).设A=y|y=x2-3x,xR, B=y|y=-2x,xR,则A B=( )(A)(- ,0(B)- ,
4、0)(C)(-,- )0,+)(D)(-,- (0,+),【解析】选C.由题意知:A=- ,+), B=(-,0),A-B=0,+),B-A=(-,- ).A B=(A-B)(B-A)=0,+)(-,- ).,8.方程组 的解(x,y)的集合是( )(A)(5,4) (B)5,-4 (C)(-5,4) (D)(5,-4) 【解析】选D.将x=5,y=-4代入后适合方程组.由于方程组的解为实数,因此解的集合为(5,-4).故选D.,9.下列各题中的M与P表示同一集合的是( ) (A)M=xR|x2+0.01=0,P=x|x2=0 (B)M=(x,y)|y=x2+1,xR,P=(x,y)|x=y2
5、+1,yR (C)M=y|y=t2+1,tR,P=t|t=(y-1)2+1,yR (D)M=x|x=2k,kZ,P=x|x=4k+2,kZ,【解析】选C.对于选项A,M= ,P=0;对于选项B,集合M 表示的是以(0,1)为顶点,开口向上的抛物线,而集合P 表示的是以(1,0)为顶点,开口向右的抛物线,因此MP; 对于选项C,M=y|y1=1,+),P=t|t1=1,+), M=P.对于选项D,有P M.,10.已知A=x|x-2|3,B=x|x2+(1-a)x-a0,若B A, 则实数a的取值范围是( ) (A)-1a5 (B)-1a5 (C)-1a5 (D)-1a5 【解析】选A.A=x|
6、-1x5,由x2+(1-a)x-a0,得(x+1) (x-a)0;当a-1时,B=x|ax-1 A;当a=-1时,B= A;当a-1时,B=x|-1xa,又B A,则a5.,11.若不等式|x-1|a成立的充分条件是0x4,则实数a的取值范围是( ) (A)3,+) (B)1,+) (C)(-,3 (D)(-,1 【解析】选A.不等式|x-1|a(a0)的解集为x|1-ax1+a,由题意知: ,解得a3.,12.设集合M=x|x= ,kZ,N=x|x= ,kZ, 则( ) (A)M=N (B)M N (C)M N (D)MN=【解析】选B.方法一:x= = (kZ),M=,- , , , ,
7、, ,.x= = (kZ),N=,- ,0, , , ,1,.M N.,方法二:将集合M=x|x= ,kZ,N=x|x= ,kZ转换为集合M=y|y=4x=2k+1,kZ, N=y|y=4x=k+2,kZ. 显然MN,M N.,二、填空题(每小题5分,共20分) 13.设M=x|x2-2x-3=0,N=x|ax-1=0,若MN=N,则所有满足条件的a的集合是_. 【解析】由MN=N得N M,由M=x|x2-2x-3=0 =-1,3知N= 或N=-1或N=3. 当N= 时,ax-1=0无解,a=0,当N=-1时,由x= =-1得a=-1,当N=3时,由x= =3得a= ,满足条件的a的集合为-1
8、,0, .答案:-1,0, ,14.如果y=ax2+bx+c经过(0,-6)点,且当-3x1时,y0, 则a=_,b=_,c=_. 【解析】将(0,-6)代入得c=-6,又知-3,1为 方程ax2+bx-6=0的两根得-3+1=- ,-31= , a=2,b=4.答案:2 4 -6,15.设关于x的不等式ax+b0的解集为(1,+),则关于x的不等式 0的解集为_.【解析】ax+b0解为x1,a0且a+b=0, 0等价于a(x+1)(x-1)(x-6)0解集为(-1,1)(6,+). 答案:(-1,1)(6,+),16.p:两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0,y0), q
9、:曲线F(x,y)+G(x,y)=0(为常数)过点P(x0,y0), 则p是q的_. 【解析】由已知得F(x0,y0)=0且G(x0,y0)=0,所以F(x0,y0)+G(x0,y0)=0,因此p是q的充分条件. 若点P(x0,y0)在曲线F(x,y)+G(x,y)=0上,但不一定是曲线F(x,y)=0与G(x,y)=0的交点,故不是必要条件.因此,p是q的充分而不必要条件. 答案:充分而不必要条件,三、解答题(本大题共6个小题,共70分) 17.(10分)已知集合A=x|ax2+2x+1=0,aR,xR. (1)若A中只有一个元素,求a的值; (2)若A中至多有一个元素,求a的取值范围. 【
10、解析】讨论方程ax2+2x+1=0的实数根的情况,从而确 定a的取值范围. (1)当a=0时,原方程变为2x+1=0,x=- ,符合题意; 当a0时,方程ax2+2x+1=0为一元二次方程,=4-4a=0时, 即a=1时,原方程的解为x=-1,符合题意. 所以a=0或a=1时,原方程只有一个解,即A中只有一个元素.,(2)A中至多含有一个元素,即A中有一个元素或A中没有元素. 当=4-4a0,即a1时,原方程无实数解. 由(1)知,当a=0或a1时,A中至多有一个元素.,18.(12分)已知集合A=x|x2-2x-80,B=x|x2-(2m- 3)x+m2-3m0,mR. (1)若AB=2,4
11、,求实数m的值; (2)设全集为R,若A B,求实数m的取值范围. 【解析】由x2-2x-80,得-2x4, A=x|-2x4, 由x2-(2m-3)x+m2-3m0, 得(x-m)(x-m+3)0, m-3xm, B=x|m-3xm.,19.(12分)已知集合A=(x,y)|x2+mx-y+2=0和B=(x,y)| x-y+1=0,0x2,如果AB ,求实数m的取值范围.【解析】由 得x2+(m-1)x+1=0 AB , 方程在区间0,2上至少有一个实数解.,x2+mx-y+2=0,x-y+1=0(0x2),首先,由=(m-1)2-40,解得: m3或m-1. 当m3时,由x1+x2=-(m
12、-1)0及x1x2=1知方程只有负根,不符合要求; 当m-1时,由x1+x2=-(m-1)0及x1x2=10,知方程有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间0,1,从而方程至少有一个根在0,2内. 综上所述,所求m的取值范围是(-,-1.,20.(12分)解关于x的不等式|ax-1|+a-10(aR). 【解析】由|ax-1|+a-10,得|ax-1|1-a. 当1-a0,即a1时,解集是 ; 当0a1时,a-1ax-11-a,,aax,x1,ax2-a,当a0时,aax2-a, .当a=0时,解集为 . 综上所述:当a1或a=0时,解集为 ;当0a1时,解集为x|1x ;当a0时,解集为x|
13、x1.,21.(12分)已知不等式ax2-3x+20的解集为xxb. (1)求a、b的值; (2)解关于x的不等式x2-b(a+c)x+4c0. 【解析】(1)由题意知a0且1,b是方程ax2-3x+2=0的根,a=1.又1b= ,b=2.,(2)不等式可化为x2-2(c+1)x+4c0, 即(x-2c)(x-2)0. 当2c2,即c1时,不等式的解集为xx2c; 当2c=2,即c=1时,不等式的解集为xxR,x2; 当2c2或x1时,不等式的解集为xx2c; 当c=1时,不等式的解集为xxR,x2; 当c2或x2c.,22.(12分)已知an是等差数列,d是公差且不为0,a1和d均为实数,它
14、的前n项和记作Sn.设集合A=(an, )|nN*,B=(x,y)| -y2=1,x,yR.试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不 正确,请举例说明. (1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同 一条直线上; (2)AB中至多有1个元素; (3)当a10时,一定有AB .,【解析】(1)正确.在等差数列an中,Sn= (a1+an), = (a1+an).这表明点(an, )的坐标适合方程y= (a1+x),于是点(an, )均在直线y= x+ a1上.,当a1=0时,方程无解,此时AB= ;当a10时,方程只有1个解x= , 此时方程组也只有1组解.x=y= ,故上述方程组至多有1组解. AB至多有1个元素.,(3)不正确. 取a1=1,d=1,对一切的xN*,有an=a1+(n-1)d=n0, 0. 这时集合A中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正. 另外,由于a1=10;如果AB ,那么由(2)知AB中至多有1个元素(x0,y0).而x0= 0,y0= 0.这样的(x0,y0)A. a1=1,d=1时,AB= .所以a10时,一定有AB 是不正确的.,本部分内容讲解结束,