1、1经理人的人寿保险摘要：本文结合实际背景，经过对数据的观察并汇出其散点图推测经理的人寿保险额只与其年均收入和风险偏好度之间分别存在着二次效应和线性效应。在采用混合回归模型建立起了经理的人寿保险额与其年均收入和风险偏好度之间的函数关系式，采用最小二乘法利用 MATLAB 软件的统计工具箱结合题中所给数据对各参数的值与其置信区间进行了估计，并很好的通过了回归的检验。在通过对原模型进行改进的基础上，以一预测模型各参数的置信区间不应有零点作为该预测模型的可行的原则，验证了经理的年均收入和风险偏好度对其人寿保险额不存在交互效应。 人寿保险问题是一类统计回归模型问题，该模型是类随机模型，运用统计学的方法去
2、解决现实中的类似问题。此论文通过对现有调查数据的分析，并用MATLAB 等数学软件画出相应的图形，找出数据间的相关关系（一次关系，二次关系等） ，建立相应的数学模型。本文的独特之处就是建立多个模型，对每个模型进行分析解出结果，并分析回归得一较优的模型。关键字：人寿保险额 年均收入 风险偏好度 MATLAB 统计回归模型2建模过程如下：一问题重述：表 1 列出了某城市 18 位 3544 岁经理的年平均收入 x1（千元），风险偏好度 x2 和人寿保险额 y（千元）的数据，其中风险偏好度是是根据每个发给经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大，就越偏爱高风险，研究人员想研究此年龄段中的经理所投
3、保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预计，经理年均收入和人寿保险之间存在着二次关系，并有把握的认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。序号 y X1 X21 196 66.290 72 63 40.964 53 252 72.996 104 84 45.010 65 126 57.204 46 14 26.852 57 49 38.122 48 49 35.840 69 266 75.796 910 49 37.408 511 105 54.376 212 98 46.186 713
4、77 46.130 414 14 30.366 315 56 39.060 516 245 79.380 117 133 52.766 818 133 55.916 63二问题假设通过上面的题意作出如下假设：1. 经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系。2. 风险偏好度和人寿保险额之间存在线性效应。3. 风险偏好度和年均收入对人寿保险额没有交互效应。我们通过这个假设来建立一个基本的回归模型，以此来断定此假设是否符合我们调查的数据，并由此来对模型进行改进和推广。三问题分析根据我们平常的经验，我们容易作出如下判断：经理的人寿保险额应该随经理人的收入的提升而提高，与该经理人的风险偏好度有着直接
5、的关系（这里是线性关系） 。然而，我们并不知道这种关系是二次关系还是线性关系，我们可以通过作图初步判定这种关系。这里我们记人寿保险额 y(千元)，年平均收入 x1（千元） ，风险偏好度 x2.四模型建立基本模型 为大致分析 y 与 x1 和 x2 关系，首先利用表 1 的数据分别作出 y 对于 x1 和 x2 的散点图（见图 1 和图 2 中的圆点）45从图 1 可以发现，随着 x1 的增加，y 有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是二次函数模型y=a0+a1x1+a2x12+e .(1)拟合的（其中 e 是随机误差），而在图 2 中，当 x2 增大时，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线
6、式用线性模型y=a0+a1x2+e (2) 拟合的。综合上面的分析，结合模型（1）和模型（2）简历如下的回归模型y=a0+a1x2+a2x1+a3x12+e (3)(3)式右端的 x1 和 x2 称为回归变量（自变量），a0+a1x2+a2x1+a3x12 是给定年平均收入 x1,风险偏好度 x2 时，人寿保险额 y 的平均值,其中 a0,a1,a2,a3 称为回归系数，有表 1 的数据估计，影响 y 的其他因素作用都包含在误差 e 中，如果模型选择合适，e 应大致服从均值为零的正态分布。模型求解：直接利用 MATLAB 统计工具箱中的 regress 求解，使用如下：b,bint,r,rin
7、t,stats=regress(y,x,alpha)x=1 7 66.290 4394.36411 5 40.964 1678.04931 10 72.996 5328.41601 6 45.010 2025.90011 4 57.204 3272.29761 5 26.852 721.02991 4 38.122 1453.28691 6 35.840 1284.50561 9 75.796 5745.03361 5 37.408 1399.35851 2 54.376 2956.749461 7 46.186 2133.14661 4 46.130 2127.97691 3 30.366
8、922.09401 5 39.060 1525.68361 1 79.380 6301.18441 8 52.766 2784.25081 6 55.916 3126.5991; y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05)其中输入 y 为模型（3）中 y 的数据（n 维向量，n=18）,x 为对应于回归系数 a=(a0,a1,a2,a3)的数据矩阵1 x2 x1 x12(n*4 矩阵，其中第一列全为 1)，alpha 为置信水平 （缺
9、醒时=0.05）；输出 b 为 a 的估计值，计作 a,bint 为 b 的置信区间，r 为残差向量 y-x*a,rint 为 r的置信区间，stats 为回归模型的检验统计量，有 3 个值，第 1 个回归方程的决定系数 R2(R 是相关系数)，第 2 个是 F 统计量值，第 3个是与 F 统计量对应的概率值 p.得到模型（3）的回归系数估计值及置信区间（置信水平=0.05），检验统计量 R2，F，p。参数 参数估计值 参数置信度a0 -62.3489-73.5027 -51.1952a1 5.6846 5.2604 6.1089a2 0.8396 0.3951 1.2840a3 0.0371
10、0.0330 0.04127R2= 1.0e+004 * 0.0001 F= 1.0e+004 *1.1070 p=0.0000 结果分析：表 2 显示，R2=1 指应变量 y(人寿保险额) 的 1.0e+004 * 0.0001 可由模型确定，F 值远远超过 F 检验的临界值， p 远小于，因而模型三整体上是可以用的。表 2 的回归系数给出了模型（3）中 a0,a1,a2,a3 的估计值，即 a0= -62.3489,a1= 5.6846,a2= 0.8396,a3= 0.0371。检查他们的置信区间发现，没有参数的置信区间包含零点，表明此模型可用。二次效应：图 3 y 对 x2 的散点图8
11、由图 3 可以发现，随着 x2 的增加，y 有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型：y=a0+a1x2+a2x22+e模型求解：直接利用 MATLAB 统计工具箱中的 regress 求解，使用如下：b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha)参数 参数估计值 参数置信度a0 261.3038149.5517 373.0559a1 -82.6900 -124.2943 -41.0857a2 8.6892 5.0558 12.3225R2=1.0e+003 *0.0007 F=1.0e+003 *0.0167 p=0.0000由拟合结果可知二次效应的 R
12、2 高于一次效应的 R2,而风险偏好度对人寿保险额具有一次效应，故风险偏好度对人寿保险额具有二次效应。y=261.3038-82.6900*x2+8.6892*x22交互效应模型：模型（3）中回归变量 x1 和 x2 对应变量 y的影响是相互独立的，即人寿保险金额与年平均收入 x1 的二次关系由回归系数 a2,a3 确定，而不依赖于风险偏好度 x2。根据直觉和经验可以猜想，x1 和 x2 之间的交互作用会对 y 有影响，不妨简单的9用 x1,x2 的乘积代表他们的交互作用，于是将模型（3）增加一项，得到 y=a0+a1x2+a2x1+a3x12+a4x1x2+e （4）在这个模型中，y 的均值
13、与 x1 的二次关系为（a2+a4x2）x1+a3x12,由系数 a2,a3,a4 确定，并依赖于风险偏好度 x2.x=1 7 66.290 4394.3641 464.03 1 5 40.964 1678.0493 204.821 10 72.996 5328.4160 729.961 6 45.010 2025.9001 270.061 4 57.204 3272.2976 228.8161 5 26.852 721.0299 134.261 4 38.122 1453.2869 152.4881 6 35.840 1284.5056 215.041 9 75.796 5745.0336
14、682.1641 5 37.408 1399.3585 187.041 2 54.376 2956.7494 108.7521 7 46.186 2133.1466 323.3021 4 46.130 2127.9769 184.521 3 30.366 922.0940 91.0981 5 39.060 1525.6836 195.31 1 79.380 6301.1844 79.3801 8 52.766 2784.2508 422.1281 6 55.916 3126.5991 335.496; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05)参数 参数估计值
15、参数置信区间a0 -65.9461-79.6004 -52.2918a1 6.6005 4.5786 8.6223a2 0.8731 0.4197 1.3265a3 0.0374 0.0332 0.041510a4 -0.0138 -0.0436 0.0160R2=1 F=8304.4 p=0.0000表 3 的结果可知，所有参数的置信区间，x1 和 x2 的交互作用项x1x2 的系数 a4 的置信区间包含零点（但右区间距离零点很近），表明回归变量 x1x2（对应变量 y 的影响）不是太显著的，但是由于x1,x12,x2 是显著的，我们仍可以将变量 x1x2 保留在模型中。结果预测：将回归系数
16、的估计值带入模型（4），即可预测某经理的年平均收入 y,预测值记为 y，得到模型（4）的预测方程：Y=-65.9461+6.6005x2+0.8731x1+0.0374x12-0.0138x1x2,只需要知道风险偏好度 x2 和人寿保险金额 x1,就可以计算预测值 y.比如：某经理的平均偏好度 x2=3,人寿保险金额 x1=30.366，则该经理的年均收入为：y=-65.9461+6.6005*3+0.8731*30.366+0.0374*30.3662-0.0138*30.366*3=13.5971进一步讨论：为进一步了解 x1 和 x2 之间的交互作用，考察模型(4) 的预测方程：Y=-6
17、5.9461+6.6005x2+0.8731x1+0.0374x12-0.0138x1x2,(5)如果取风险偏好度 x2=3，带入（4）可得11Y|x2=3=-65.9461+6.6005*1+0.8731*x1+0.0374x12-0.0138*1*x1=-46.1446+0.8317*x+0.0374*x2; .(6)再取 x2=4,带入（ 5）得：Y|x2=4=-65.9461+6.6005*10+0.8731x1+0.0374x12-0.0138*10*x1=-39.5441+0.8179x1+0.0374x12; .(7)他们均为 x2 的二次曲线图，其图形见图 4，且Y|x2=4
18、- Y|x2=3 =6.6005-0.0192x2 (8)由式可得，当 x2Y|x2=3 ,一般若年均收入相同，风险偏好度高的人，人寿保险金额较高。12五.模型结果通过以上模型（3）和模型（4）的分析和求解过程，可以看到，模型（3）是最理想的，也与我们的假设相一致，则该问题的数学模型为：y= -62.3489+ 5.6846x2+ 0.8396x1+ 0.0371x12只需要知道风险偏好度 x2 和人寿保险金额 x1,就可以计算预测值 y.六、模型的优缺点此模型的优点是，能通过简单的风险偏好度和年均收入这两组数据得到经理人的人寿保险额，为应用（或使用者）提供了方便。但是考虑到人寿保险行业的特殊
19、性，影响一个投保人投保额的大小的因素并不只有题中提到的两种，比如投保人的身体健康状况对其投保额的多少就有一定的影响，由于模型只有两个参变量，模型过于粗糙，不能很好地反应现实问题，只能为现实问题提供粗略的估计。应该增加些额外的参变量（当然这些变量应该与保险额相关）对模型加以推广，像职业、健康、年龄这些因素等。七参考文献百度知道：http:/ y=196 63 252 84 126 14 49 49 266 49 105 98 77 14 56 245 133 133; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,0.05)b =-62.34895.68460.83960.03
20、71bint =-73.5027 -51.19525.2604 6.10890.3951 1.28400.0330 0.041215r =-0.05120.3076-1.3718-0.6730-3.7605-1.35602.7129-0.48170.5130-0.37250.68422.6781-1.0293-0.39300.55611.35782.3248-1.645616rint =-3.7791 3.6766-3.5324 4.1475-4.4124 1.6688-4.4677 3.1217-6.6500 -0.8710-4.2144 1.5023-0.7344 6.1602-4.2149 3.2516-2.6183 3.6443-4.1840 3.4390-2.6447 4.0132-0.7217 6.0779-4.7396 2.6810-3.8132 3.0272-3.2676 4.3798-0.4637 3.1793-1.0358 5.6855-5.2685 1.977317stats =1.0e+004 *0.0001 1.1070 0 0.0003
