1、生活里的事情从发生到结束总是有过程的，事情发生的过程或是在数量的多少上发生变化，或是在方向、路线、时间等方面发生变化，或是在其他方面发生变化。研究这些事情里的数学问题经常有两条线索： 一条是从事情的起始状态，根据将要发生的变化，推断结束时的状态；另一条是从事情的结束状态，联系已经发生的变化，追溯起始状态。学生比较习惯用前一条线索分析数量关系和解决实际问题，但是，有些问题用后一种思路去解决是比较方便的。本单元教学逆推策略，通俗地讲就是“倒过去想”，即从事情的结果倒过去想它在开始的时候是怎样的。1? 在简单的事情中初步体会逆推是一种策略。例 1 用图画呈现了甲、乙两杯果汁共 400 毫升，甲杯倒入
2、乙杯 40 毫升，两杯里的果汁同样多。这是一件事情的开始、变化、结果三个时段的主要状况。甲杯里的部分果汁倒入乙杯后，两杯果汁才同样多，如果把甲杯倒入乙杯的那些果汁仍然倒回甲杯，就恢复了两杯果汁的原状。这是人们的经验，也是学生能够想到的办法，教材用图画展示了这样的思考和问题的答案。这道例题的教学重点在体验“逆推”是解决问题的策略。为此，还安排了两项活动。一是在表格里先填写甲杯和乙杯现在各有果汁 200 毫升，再填写它们原来有多少毫升果汁，通过填表反思“倒回去”的过程。利用加法或减法计算倒入和倒出的问题，能进一步理解“倒回去”的意思，体会它对解决问题的作用。二是组织学生说说解决这个问题的策略，先回
3、顾例题是怎样的实际问题，它是怎样解决的；再交流解决问题的方法有什么特点，以及对这种方法的感受。这样，就从解决问题的过程中提炼了思想方法。2? 举一反三，运用逆推策略解决实际问题。例 2 中小明的邮票经过两次变化最后还剩 52 张，问题是他原来有多少张邮票。学生会感到，这题的事情虽然和例 1 不同，但都要从现在的数量追溯原来的数量。教材通过“你准备用什么策略解决这个问题”引导学生“倒过去想”，即如果跟小华要回 30 张邮票，那么小明就有 52+30=82（张）；如果不收集 24 张邮票，那么小明只有 82-24=58（张）。“倒过去想”需要整理事情从开始到结束的变化过程，排出各次变化的次序。还要
4、联系生活经验，思考“倒过去”的方法。如送出的应要回，收集的应去掉。在倒过去想的时候，还要逆着事情变化的顺序进行，先把后发生的变化倒回去，再把先发生的变化倒回去，直至事情的原来情况。这些都落实在说说自己的想法和列式解答之中。教材给出的第二种方法没有完全按照事情发生变化的次序一步步地逆推，而是先分析事情发展过程中的两次变化对小明邮票张数造成的总的影响。由于今年收集的邮票比送给小军的邮票少 6 张，所以现在的邮票应该比原来少 6 张。然后逆推： 如果现在的邮票再多 6 张，就是原来邮票的张数。教学时要提倡第一种方法，因为这种方法比较清楚地体现了逆推的策略，思考和操作比较顺畅，适宜多数学生应用。根据求
5、出的答案，顺推过去，看看剩下的是 52 张吗？一方面能检验答案是否正确，另一方面是让学生再次体验事情的变化是有次序的。顺着变化一步一步地推，是从开始推向结果；逆着变化一步一步地推，是从结果推向起始。无论顺推还是逆推，有条理的思考是十分重要的。本单元的例题只是提出现实的情境或问题、引发解题思路，让学生自己列式计算，在解题活动中体验方法，并在练习十六里主动运用逆推策略。练习十六的习题有四个特点： 一是题材宽广。有些联系学生生活中的收集画片、折纸鹤、买东西等活动；有些联系已经学过的方向、路线、确定位置以及同级混合运算的知识；还有一天里的气温变化、银行里存钱和支钱的事情和玩扑克牌游戏等。在各种现实问题
6、中都应用逆推的方法，有利于学生积累“倒过去想”的经验，更好地体会逆推是解决问题的策略。二是把事件发生变化的过程有条理地讲清楚。有些用文字讲述，有些用图画表达，还有表格、图文结合和对话等呈现方式。学生容易整理事情有哪些变化，是怎样变化的，以及变化的次序。不仅理解了题意，更为逆推创造了有利条件。三是各题的逆推步数一般是 23 步，只有少量需要 4 步逆推的题。如第 3 题，只要根据方向的变化逆推，即使多 1 步也不会有困难。四是解题的形式灵活多样。有几题需要列式解答，如第 1、7、8、9 题；有些可以在方格纸上画一画，如第 3 题；许多题只要说一说或在方框里填一填，如第 2、4、5、6、10 题。
7、总之，习题的这些特点，都是为了学生能主动地运用逆推的思想方法去解决问题，不断积累经验，逐步内化体会，逐渐升华成策略。逆推是解决问题的一种策略，它还需要其他解决问题的策略相配合，尤其是四年级和五年级（上册）教学的整理条件和问题的策略，能使学生清晰地认识事情的发展线索和各次变化的情况。整理信息的形式应该是灵活多样的，例 2 中第一种整理信息的方法是从左往右列出了事情从开始到结果的一次次变化，从右往左是解决问题逆推时的一步步思考，这种整理形式在本单元可能更适用。当然，有些题也可以用其他形式整理，如“练一练”和练习十六第 1 题可以画图整理，第 7 题可以直接看着三幅图画逆推。另外，练习十六第 9 题
8、表格右上方的结单余额 280 元是 4 月份在银行里的结单余额，它是 3 月份的结单余额依次支付电话费 52 元、收存款 300 元、支付水费 28 元、支付电费86 元后的结余款。因为 4 月份三笔支出的合计数比存款数少，所以 4 月份的结单余额比 3月份多。3 月份的结单余额可以通过计算 280+86+28-300+52 得出。教材分析：本单元是学生已经学习了用画图和列表的策略解决问题的基础上，教学用“倒过来推想”的策略解决相关实际问题。“倒过来推想”是一种应用于特定问题情境下的解题策略。通常情况下，已知某种数量或事物按照明确的方法和步骤发展、变化后的结果，又要追溯它的起始状态，便适合用“
9、倒过来推想”的策略加以解决。1、通过图文结合的方式呈现问题，有利于启发学生的思考。教材中的两道例题和练习中的大部分题目，均采用了图文结合的方式来呈现。这其中，一类实际问题借助示意图说明事情发展变化的步骤和过程，如例 1 以及练习十六的第6、7、10 题等。在解决这类问题时，学生可以借助示意图清晰地把握事物和数量发展变化的线索，从而有序地展开思考。另一类实际问题，则是借助示意图唤起学生解决有关问题的经验，如例 2 以及练习十六第 2、3 题等。在解决这类问题时，学生容易身临其竟地联想事情的发展变化过程，回忆生活中解决这类问题的一些方法，从而为运用“倒过来推想”的策略解决问题提供帮助。二、教材编写
10、特点和教学建议1经历用不同方式探索解题策略的过程。逆推法是指从问题的最后结果开始，一步一步往前推，直到求出问题的答案。逆推的方法思考问题是一种常见的策略，有助于发展学生的逆向思维。教材在先后教学列表和画图的策略解决问题的基础上，教学逆推的解题策略。例 1 教学时，可以引导学生结合情境进行思考：首先容易想到现在每杯有多少毫升；第二步，这是甲杯倒入乙杯 40 毫升后的结果，因此，可以再倒回去，就能知道原来两杯果汁各有多少毫升。倒回去的过程就是从结果往前推的过程，这是借助直观进行思考和理解的过程。在此基础上，教材引导学生用列表的方法表示问题的结果。表格中的第一 栏是现在两杯的容量，第二栏是原来两杯的
11、容量。填表的过程是对用还原的策略思考问题的整理。例 2 教材先提示学生思考准备用什么策略，产生运用策略分析和解决问题的意识。然后呈现了两种不同的思考问题的方法，第一种是引导学生用摘录条件的方式，将题中数量的变化 过程和倒推的过程对应呈现，让学生再次体会逆推的策略。第二种是抓住“又收集的比送给小军的少 6 张 ”这一关键条件，想到现在比原来少 6 张。在教学时，应让学生在小组里交流自己的想法，如果学生提出第二种方法，可以联系第一种方法的逆推过程， 让学生理解 这一方法，但主要 应引导学生明确第一种方法。在列式解答后，教材还让学生根据算出的结果顺推过去，既是对结果的检验，也让学生体会不同的思维顺序。2提供现实多样的问题。教材在练习十六中安排了现实多样的实际问题，让学生加深对还原过程的体会。第 3 题结合方格图和数 对的知识让学生经历还原的过程；第 4 题结合路线图，让学生倒过来描述行走的路线；第 5 题结合计算，让学生倒推出每一步结果；第 7 题通过图画呈现问题，引 导学生看图倒推。第 9 题呈现信用卡的对账单，引导学生通过还原解决问题。第 10 题在有趣的游戏活动中加深对还原过程的体会。这些问题清楚地呈现了事件发生变化的过程，逆推的步数以两到三步为主。
