1、关于罗巨格公式 201()()!nnndPxx的证明。（1） 关于函数的零点和极点的定理。设 在围道 内除有限个极点 外是解析的， 是()zC(1,2)jb (1,2)ka在 内的零点，在 上 ，又 是 内及 上的解析函数，则)0zzC（1）1()()()2kjjCdanbpiA其中 和 分别是零点 和极点 的阶；积分是沿 的正向一周（逆时针） 。knjpkajb证明按柯西（Cauchy ）定理（2）() ()1()1()()22k jCabzzzdddii A和 分别表示积分路线是正向饶 点和 点一周的围道，每一个这样的围道内只()kajbj含有一个零点或极点。在 的邻域内k，()(knza
2、z()0ka因此()()l()kkzdzz 由于 在 的邻域内是解析的，且 ，故只要围道 够小， 在其()kzka()0ka()ka()kz中也是解析的，含它的项对（2）式中积分的贡献为零。因此，按残数定理有（3）() ()1()1()2)k kkkaanzdzdzi i同样，在在 的邻域内jb，()()jjpzb()0jb因此()()ln()jjpzzdzb由于 在 的邻域内是解析的，且 ，故只要围道 够小， 在其中()jzjb()0j()jb()jz也是解析的，含它的项对（2）式中积分的贡献为零。因此，按残数定理有（4）() ()1()1()2k j jjjabpzdzdzi i把（3）和
3、（4）的结果代入（2）中，即得（1） 。令 ，得（1） 式的一个重要特殊情形：()z（5）()2CzdNPiA其中 是 在 内的零点个数， 是 在 内的极点个数；重零点和重极点须按N()z()阶数计算其个数。如果 和 在围道 上及 内无奇点，则 而有()f0P（6）1()2CzdNiA（2） 拉格朗日定理设 和 在围道 上及 内是解析的， 为 内一点。如果对于 上的点 ，()fzaCC参数 满足t（7）()t则（i）方程（8）()zatz在 内有一根而且只有一根；当 时此根趋于 。 （ii）函数 可以依 的幂展开为C0()fzt（9）1()()!nntdfzafa这公式称为拉格朗日展开公式。先
4、证明（i） 。应用公式（6）于函数，()()zatz注意条件（7） ，得 在 内的零点的个数()zC1()2CtNdiaA由于1001()()()nnntttaa10()2nnCtNtdiA因为 11000() ()()!n mnmnnnCCt tdadaadA 1,0 ,0 02()2()!()! !nm n nn nmnmmt t tdiaia 110 00() ()()()!n nnn nmCCt tddaa A1100()()!nmnmt aA 1 111 1,0 ,0()2()! )!()mn nmn nmmn nmCdt tdadi aan 110 12()2()()! !nnnn
5、t ti iad 所以 10011()() ()()2!nnnnnnCttdtdNt ai aa A即 在 内有而且只有一个根。()()zatzC再来证明（ii） 。设 是方程（8）在 内的唯一根，用公式（ 1）有1()()2CfdfziA但另一方面 ()1()()CCtf fdi ia 101()()()2nnCfttdi aA1,0()!()nmnnmtdfia1 1,0()2!()n nmnCtfadi a 因为 1()()()()1nndfafa11nndffn所以 1,0()()2!()nmnnmCtfzfadidaA1 111,01()()!() ()nmnnnmnmCtffadi
6、a ,0!nmntdf1 11,0()()!()n nnmnmtdfafa 0(!nnntdfa1 11 10 0()()()! ()!nn nnnt tdf fa 0()!nnntdfa11()()!nn nnnt tdf fa 1()()!nnntdfafa因此有（9）式。例 设 ，则方程 ，即 的根为2()1)z()0zxt210ztx2zt取围道 ： 内只有其中一个根 。当 时， 。于是，按拉C21xt0tzx格朗日定理，令 ，得()fz2121!nnxttdx两边对 求微商，得展开式x22210(1)(1)!1nnnnt tdxxdxt上式的左边是勒让德函数 的生成函数：()nP2200(1)()!1nnntxPxtdxt即得罗巨格公式（10）21()()!nnnPx
