1、模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊关系与模糊矩阵,第二章 模糊聚类分析,聚类分析的基本思想是用相似性尺度来衡量事物之间的亲疏程度, 并以此来实现分类，模糊聚类分析的实质就是根据研究对象本身的属性来构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,第一节 模糊矩阵,【定义1】设R = (rij)mn， 若0rij1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.,一、模糊矩阵的概念,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,【定义2】矩阵,分别称为零矩阵、单位矩阵
2、、全称矩阵。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,【定义3】设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵，相等：A =B aij = bij；包含：A B aijbij；（O R U）并：AB = (aijbij)mn；交：AB = (aijbij)mn；余：Ac = (1- aij)mn.,二、模糊矩阵的运算及其性质,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,模糊矩阵的并、交、余运算性质,1.幂等律：AA = A，AA = A； 2.交换律：AB = BA，AB = BA； 3.结合
3、律：(AB)C =A(BC),(AB)C=A(BC)； 4.吸收律：A(AB) = A，A(AB) = A； 5.分配律：(AB)C = (AC )(BC)；(AB)C = (AC )(BC)； 6.0-1律： AO = A，AO = O；AU = U，AU = A； 7.还原律：(Ac)c = A； 8.对偶律： (AB)c =AcBc, (AB)c =AcBc.,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,注意：,证明8，10,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂,【定义4】设A = (aik)ms，B = (bkj)
4、sn， 定义模糊矩阵A 与B 的合成为：A B = (cij)mn，,模糊矩阵的合成运算相当于矩阵乘法运算。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,注意：,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,模糊方阵的幂【定义5】若A为 n 阶方阵，A2 = A A，A3 = A2 A，Ak = Ak-1 A.如：,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,合成( )运算的性质：,1.结合律 (A B) C = A (B C)； 2.Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn； 3.分配律 A ( BC ) = ( A B )( A C
5、 )；( BC ) A = ( B A )( C A )；,关于并（）的分配律可以推广到无限多个并的运算中去，即,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,注意: (1)合成( )运算关于()的分配律不成立，即 ( AB ) C ( A C )( B C )(2) A A A,而有A A A2,4.0-1律 O A = A O = O，I A=A I =A； 5.AB，CD A C B D； 6. AB A C B C，C A C B ,AnBn,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,结论：( AB ) C ( A C )( B C ),研究( AB )
6、 C与( A C )( B C ),( AB ) C,( A C )( B C ),模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,模糊矩阵的转置,【定义6】设A = (aij)mn, 称AT = (aijT )nm为 A的转置矩阵，其中aijT = aji.,转置运算的性质：,性质1：( AT )T = A； 性质2：( AB )T = ATBT，(AB)T = ATBT； 性质3：( A B )T = BT AT；(An )T = ( AT )n ； 性质4：( Ac )T = ( AT )c ； 性质5：AB AT BT .,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节
7、模糊矩阵,模糊矩阵的 - 截矩阵,【定义7】设A = (aij)mn,对任意的0, 1，称 A= (aij()mn, 为模糊矩阵A的 - 截矩阵, 其中当aij 时，aij() =1；当aij 时，aij() =0.显然，A的 - 截矩阵为布尔矩阵.,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,例3,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,截矩阵的性质：对任意的0, 1，有,性质1：AB A B； 性质2：(AB) = AB，(AB) = AB； 性质3：( A B ) = A B； 性质4：( AT ) = ( A )T.,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊
8、聚类分析 第一节 模糊矩阵,三、模糊矩阵的基本定理,【定义8】设A = (aij)nn, 若模糊矩阵A满足AI, (A的主对角线元素aii1)， 则称A为自反矩阵。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,【定义9】设A = (aij)nn, 若模糊矩阵A满足AT=A (等价于aij = aji)， 则称A为对称矩阵。,【定义10】设A = (aij)nn, 若模糊矩阵A满足A2A， 则称A为传递矩阵。,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,传递闭包t(A)满足性质：,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,【定理1】设A = (aij)nn是自反矩阵，则有,【定理2】设A = (aij)nn，则传递闭包,【定理3】设A = (aij)nn，则传递闭包,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,模糊数学 第二章 模糊关系与模糊聚类分析 第一节 模糊矩阵,作业：P89 2 (只做第二问), 3(4),
