1、定 义 在 平 面 内 的 一 条 直 线 , 如 果 和 穿 过 这 个 平 面 的 一 条 斜 线 在 这 个 平 面 内 的 射 影垂 直 , 那 么 它 也 和 这 条 斜 线 垂 直 。逆 定 理 三 垂 线 定 理 的 逆 定 理 : 如 果 平 面 内 一 条 直 线 和 穿 过 该 平 面 的 一 条 斜 线 垂 直 , 那么 这 条 直 线 也 垂 直 于 这 条 斜 线 在 平 面 内 的 射 影 。用 线 面 垂 直 证 明 已 知 : 如 图 , PO 在 上 的 投 影 OA 垂 直 于 a 求 证 : OP a 证 明 : 过 P 做 PA 垂 直 于 PA PA
2、a 又 a OA OA PA=A a 平 面 POA a OP 用 向 量 证 明 三 垂 线 定 理 1.已 知 : PO, PA 分 别 是 平 面 的 垂 线 , 斜 线 , OA 是 PA 在 内 的 射影 , b 属 于 , 且 b 垂 直 于 OA, 求 证 : b 垂 直 于 PA 证 明 : PO 垂 直 于 , PO 垂 直 于 b, 又 OA 垂 直 b, 向 量 PA=( 向量 PO+向 量 OA) 向 量 PAb=( 向 量 PO+向 量 OA) b=( 向 量 POb) +( 向 量 OAb ) =O, PA b。 2.已 知 三 个 平 面 OAB, OBC, OA
3、C 相 交 于 一 点O, AOB= BOC= COA=60 度 , 求 交 线 OA 与 平 面 OBC 所 成 的 角 。 解 : 向 量 OA=( 向 量 OB+向 量 AB) , O 是 内 心 , 又 AB=BC=CA, OA与 平 面 OBC 所 成 的 角 是 30。 编 辑 本 段 使 用1,三 垂 线 定 理 描 述 的 是 PO(斜 线 ),AO(射 影 ),a(直 线 )之 间 的 垂 直 关 系 . 2,a 与 PO 可 以 相 交 ,也 可 以 异 面 . 3,三 垂 线 定 理 的 实 质 是 空 间 内 的 一 条 斜 线 和 平 面 内 的 一 条 直 线 垂
4、直 的 判 定 定 理 . 关 于 三 垂 线 定 理 的 应 用 ,关 键 是 找 出 平 面 (基 准 面 )的 垂 线 . 至 于 射 影 则 是 由 垂 足 ,斜 足 来 确 定 的 ,因 而 是 第 二 位 的 . 从 三 垂 线 定 理 的 证 明 得 到 证 明 a b 的 一 个 程 序 :一 垂 , 二 射 ,三 证 .即 第 一 ,找 平 面 (基 准 面 )及 平 面 垂 线 第 二 ,找 射 影 线 ,这 时 a,b 便 成 平 面 上 的 一 条 直 线 与 一 条 斜 线 . 第 三 ,证 明 射 影 线 与 直 线 a 垂 直 ,从 而 得 出 a 与 b 垂 直 . 注 : 1定 理 中 四 条 线 均 针 对 同 一 平 面 而 言 2应 用 定 理 关 键 是 找 “基 准 面 “这 个 参 照 系