学士论文线性方程组理论的有关应用.doc

1、线 性 方 程 组 理 论 的 有 关 应 用Applications on theory of linear equations专 业: 数学与应用数学作 者: 指导老师: 学校二I 摘 要本文介绍了线性方程组的一些理论, 在此基础上做了一定的推广, 并讨论了这些重要的理论在高等代数中的具体应用.关键词: 线性方程组; 行列式; 非零解; 矩阵的秩; 解空间II AbstractIn this paper, we introduce some theories of linear equations, popularize some significant theories, and dis

2、cuss these important theories of algebra in specific applications.Keywords: linear equations; determinant; non-zero solution; rank of matrix; solution space目 录摘 要 .IABSTRACT .II0 引言 11 关于线性方程组的一般理论 12 线性方程组理论的几个应用 22.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用 .22.2 齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用 .52.3 线性方程组理论在解析几何中的应用 .7参考文献 .1

3、1第 1 页, 共 11 页0 引言目前, 新的中学教材已初步渗透了高等数学的一些知识理论, 而利用这些知识理论来解决初等数学问题显得既简洁又优美. 本文针对中学数学中由几个结构相似且具有共同字母或数字的等式联系在一起的若干变量之间的相互关系问题,结合高等代数中有关齐次线性方程组的理论, 从而有助于问题迅速的得以转化和解决. 同时将线性方程组理论应用于解析几何, 沟通了代数与几何的内在联系, 并可透视代数与几何的相互渗透, 也可使许多几何问题得到更为简明的刻画.关于线性方程组的一般理论, 可参看文献1-3,8-11, 一些专题研究可参看文献4-7. 1 关于线性方程组的一般理论在这一节, 我们

4、回顾高等代数中关于线性方程组的一般理论. 对于任一个矩阵 , 我们用 表示 的转置, 表示 的秩, 表示自由未知量的个数, ATArAnr表示 的维数. 并且我们知道在经典的高等代数的教材中, 有以下关于线dim性方程组的结果.定理 1.1 含有 个未知量 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是其1n系数行列式等于零.定理 1.2 设齐次线性方程组1(1.1)1121221200nmmnaxaxaxax 系数矩阵 的秩 . 且方程组(1.1)的解空间为 . 则可以得到下列结()ijnA()RArV论 , 这里 表示方程组(1.1)解空间的维数dimVdiV2 线性方程组理论的几个应用第 2

5、 页, 共 11 页2.1 齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用(1) 在求解二元方程组上的应用利用定理 1.1 可求解二元方程组, 求解时只需将其中一个变量作为常数即可. 例 1 求下面方程组的全部解, 其中方程组为 32301xy解 将 看成是常数, 则方程组可改写为 y,(32)(3)01yx则有 .3201y 求解得 , . 代入方程组求解, 得到 , . 故原方程组的1y2515x21x全部解为, .15xy2例 2 已知一次函数 , 且 , , 求 的取()fab(1)f2()3f()f值范围.解 应先找出 与 , 的关系, 有(3)f1)f(2f, , ,ab)ab(3)

6、fab得 (1)023fabf这是关于 的三元齐次线性方程组, 显然方程组有非零解, 于是1ab第 3 页, 共 11 页1()203ff化简为 , 所以 因此 (1)4(2)0fff4()(1)(2),3f.1f例 3 等差数列 的前 项和为 30, 前 2 项和为 100, 则它的前 3 项和为nammm130; 170; 210; 260()A()B()C()D解 由等差数列知识, 可设前 n 项和为 ，所以 ,2nSabN2mSab, , 考察以 为未知数的方程组224mSab239mSab,12223049mmSab由于该齐次线性方程组有非零解, 因此其系数行列式为0, 于是 223

7、409mS即 231409mS化简, 得 , 所以 2330mmS.2()(10)2mSS故选 .()C例 4 已知 , 求证 , , 中至少有一个不小于 2()fxpq()ff(3)f 12证明 先找出 , , 间的关系, 有1()f第 4 页, 共 11 页1()024239(3)pqff此关于 , , 的齐次线性方程组有非零解, 于是pq11()2039ff化简, 假设结论不成立, 即(1)2()ff, , ,12f()f1(3)2f易推出 , 产生矛盾, 命题得证.2(1)(3)ff(2) 在证明一元 次方程重根上的应用n由高等代数中多项式理论容易知道, 多项式 的重因式 必是 的因式

8、.因()Fx()Px()F此, 的重根必是 的的根, 且此根是 与 的公共根. 由此结论我们可()Fx()Fx 以推广到以下结论如果 是 的 重根 , 则 是 的 重根.下面我们0fk(1)0x()f1k就这一理论: 来看一看如何利用线性方程组理论证明方程的重根. 首先给出一个简单的结论:设 是方程 与 的公共根, 则 也是 的根, 01ax20120bx201ax从而有下列齐次线性方程组0120120axb其根为 , 根不为零, 由线性方程组理论知其系数行列式为零. 即2(1)x.01012 ab由上述结论, 我们可以获得一个判断重根的方法.例 5 证明一元二次方程 ( )有重根的充要条件是

9、其判别式2axc0第 5 页, 共 11 页. 240bac证明 对方程两边求导有 . 一元二次方程 有重根, 即其20axb20axbc与 有公共根, 由上面的结论有 x.1 20 abc展开运算即有 . 推广到一元 次方程. 设 是240bacn110nxaax的根, 从而有下列齐次线性方程组 121211100()nnnnnnxaxaxaa 其根为 不为零, 由线性方程组理论知其系数行列式为零. 即1(,.)nxx.112112 00()nnnaaa 2.2 齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用例 6 设 为 矩阵, 为 矩阵, 且 , 则 .AmnBns0AB()RBn证明 把矩阵

10、分块为: , 则 , . 从而 , 12()s i1,2is iV其中 是 的解空间. 由定理1.2得 . 于是V0X(dm()RVn.()RABn例 7 若 是 阶方阵，且 , 则 .2A()IA第 6 页, 共 11 页证明 因为, ()()()nRIAIRAI（2.1）又因 即 , 由例 6 知 2A()0I. ()In（2.2）由(2.1)(2.2)两式得 .()RAI分析以上三个例题, 很容易想到利用齐次线性程组解的理论来解决, 特别是例6，由 , 容易联想到把 的列向量作为齐次线性方程组 的解向量, 从而0ABB0AX获得解决. 下面讨论几个例子, 看起来似乎与齐次线性方程组无关系

11、, 但经过仔细分析，我们将会发现, 仍然可以通过齐次线性程组的理论加以解决.例 8 设 为 矩阵, 为 矩阵, 则 .AmnBns()min(),RABRB证明 设 为齐次线性方程组 的解空间, 其中我们令12(,)sVL 0X. 由定理 1.2 知 . 又因 , 由例 6 于是我们12(,C t ()tcsC知.即 .同理可得 , 于是结论()(RABs()()(RABsRA()(RAB成立.例 9 设 为 阶方阵, 则 .n1()nn证明 若 为满秩矩阵, 则结论显然成立. 现设 , 则存在自然数 使得()nk. 设 为齐次线性方程组 的解空间, 则对任意 , 1()kkRAiV0iAxi

12、V有 , 于是有 , ，因 , 故由定理 1.2 知, 10ii 1k,2i 1()kkR. 又因 , 从而 .1dm()()kkV 1kV现设 , 则 . 由此得 , 故 . 22kA10k 1kA1()0kkA于是 . 从而 , 由定理 1.2 得 . 同理可得1kkV2()()0kR.23 1()()kknnR 例10 设 为2阶方阵，且 , 则 .A0mA2第 7 页, 共 11 页证明 不考虑 的情况, 则 . 设 , 但 , 则, ,0A()1RA0m10mA()1iRA. 设 为齐次线性方程组 的解空间, 与例5同样证明方法得1,2i miViX. 121mV设 , , 从而 ,

13、 故 , 从而 ,于是 10210mA211()0A1mAV. 同理 . 故 .22()A2()221(,)例 11 设 为 列矩阵, 从 中任取出 列, 组成矩阵 , 有 .sB()Rs证明 设 , , 并设 为齐次12()m 12()iisB 12,Tiisx线性方程组 的任意解, 即有0BX.12 0ii isxx 12smii于是.1120 0.ii ismxx 即 1200(,)Ti i is 是齐次线性方程组 的解. 故齐次线性方程组 解空间的维数不小于齐次AX0AX线性方程组 解空间的维数. 由定理1知 , 即 B()()mRsB.()RBs在一般教材或习题指导书中, 上面几个例

14、题均不是以这种方法证明的, 例如, 例8 常用的方法是利用向量的相互线性表出, 例 9 一般用到线性变换的方法, 例 10 则是讨论 2 阶矩阵的各种可能的情况, 例 11 用到极大无关组方面的性质. 这些方法彼此都不同, 学生难以在短时间内掌握, 而我们这里介绍的方法最重要的优点是方法统一. 涉及知识较少, 便于掌握 , 且解题范围比较全面. 因此, 对齐次线性方程组解空间的理论加以灵活运用, 对提高学生解题信心, 积累解题技巧, 是十分有帮助的.2.3 线性方程组理论在解析几何中的应用命题 1 设有平面上四个点 , . 矩阵 , 如下()iipxy1,234AB第 8 页, 共 11 页,

15、 1234xyA211233244xyB则这四点共圆的充分必要条件是矩阵 与矩阵 的秩相同, 即 .()RAB证明 设平面上圆的一般方程为 , 其中 为不全为零的20xyabc,abc常数, 考虑关于 的方程组,abc211223344()0()xyxycabxyxyc(2.3)则由线性方程组的理论可知: 四点 , 共圆等价于关于 , , 的iiP1,2abc线性方程组(2.3)有解 等价于 . (,)abc()RAB命题 2 设平面上有 条直线 , , 且 n0iiixbyc,in, (2.4) 12=nab 1122nnabc 则这条直线相交于一点的充分必要条件是 .()RAB证明 考虑方

16、程组11220nnaxbyc 则由线性方程组理论可知: (1)这 条直线相交于一点(只有一个公共点）等价于方程组; (2)有唯一解 等价于 .(,)xy)2RAB命题 3 设有空间四个点 , . (,iipxyz1,34i第 9 页, 共 11 页11223344xyzAz，矩阵 的秩 , 则(i) 当 时, 四点异面; (ii) 当 时, 四点共面; A()Rrr 3r(iii) 当 时, 四点共线; (iv) 当 时, 四点重合.21证明 对 施行初等变换,112,3.420iryxzABA 从 知 .B12()()RA(i) 当 时, , 向量组 , , 线性无关, 张成整个三维4r31

17、2p1314p空间(2), 所以四点异面; (ii) 当 时, 不妨设 的前两行线性无关, 向量 , 线性r2()RA2 12p13无关, 于是该组向量可以将向量 线性表示, 故四点共面, 但不共线14p(iii) 当 时, , 与前面类似分析可得 , , 共线;r2() 12p134(iv) 当 时, , 即 , , , 四点重合. 10RA121340命题 4 设有 个平面 , n0iiiiaxbyczdin1122nnAabc , 1122nnabcdB 则(i) 这 个平面只有一个公共点等价于 ; (ii) 这 个平面相交于一n()3RA条直线等价于 ;()2RAB证明 (i) 考虑方

18、程组11220nnaxbyczdxyc 第 10 页, 共 11 页（2.5）则由方程组理论可知: 这 个平面只有一个公共点等价于方程组(2.5)有唯一解等价n于 . ()RA3B(ii) 充分性 若 , 则由线性方程组理论知, 方程组(2.5)有无穷()2RAB多个解,其基础解系含有 个解向量 , 全部解为 , 因此，这 个平311(0)1kn面相交于一条直线, 该直线的方向向量为 .必要性 若这 个平面相交于一条直线, 则方程组(2.5)有无穷多个解, 从n ()RA. 又因为这 个平面不重合, , 故 . ()3RB()1RB()2ARB命题 5 设三角形三条边所在的直线方程分别为 已3

19、,1,30iiiaxy知的代数余子式为 , 则三角形的面积A()ijnaijA. (2.6)213|AS其中“”的选取使 为正值. S证明 将任意两条直线方程联立, 可得到三个方程组, 因三条边两两相交, 故这些方程组的系数行列式 , , 均不为零且顶点分别为13A23, , 13123xyA2132xy3123Axy从而 .123xSy*132|A213|致谢 本文是在 的指导和帮助下完成的, 在此对周老师表示衷心的感谢!第 11 页, 共 11 页参考文献1 北京大学数学系. 高等代数M. 北京: 高等教育出版社, 1988.2 张禾瑞, 郝鈵新高等代数(第四版)M. 北京: 高等教育出版

20、社, 1999.3 丘维声. 高等代数M. 北京: 高等教育出版社, 1996. 4 许绍元, 赵礼峰. 高等师范院校数学教学改革的研究与实践J. 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版), 2(2004), 64-68.5 许绍元 , 陈亮. 实变函数课程教学中培养学生科研能力的体会J. 淮北煤炭师范学院学报(自然科学版), 2(2003), 53-56.6 赵树嫄. 线性代数(第三版M). 北京: 中国人民大学出版社, 2006.7 马国贤, 蒋洪, 赵海利. 谁从高等教育补贴中受益N. 中国财经报, 2002-4-6.8 史明仁. 线性代数600证明题详解M. 北京: 北京科学技术出版社, 1985.9 萧永震等. 空间解析几何解题指导M. 天津: 天津科学技术出版社, 1990.10 W.Greub. LinearAlgebra(FourthEdition)M. Springer-Verlag, 1975.11 L.Smith. Linear Algebra (Second Edition)M. Springer-Verlag, 1984.