1、第 1 页 共 9 页目 录摘要2关键词21.引言22.微积分在初等数学中的应用22.1 严格地推导出一些面积和体积公式22.2 求函数的极值32.3 讨论函数的单调性42.4 用微分法求曲线的切线52.5 微积分在代数教学中应用72.6 用于证明不等式和恒等式73.结束语8参考文献9第 2 页 共 9 页微积分在初等数学中的应用摘 要： 本文通过对微分在解决一些初等函数单调性、求曲线的切线以及几个初等数学命题的积分证明等问题的讨论，同时举出具体的实例来证明，为我们解决一些初等数学问题提供了一些新的思想，使微积分对初等数学的指导作用得到具体体现。关 键 词：微分；积分；初等数学；应用；高等数学
2、；导数1.引 言微积分是高等数学的重要组成部份，又是初等数学与高等数学相衔接的具体内容之一，因此研究微积分在初等数学中的应用很有必要，并且我国现在普遍使用的高中数学教材( 人民教育出版社) 中, 增加了微积分的部分知识。高等数学是在初等数学基础上经过一系列数学概念、原理、方法和思想的演变，最终成为一门高度抽象、逻辑严密的科学体系。用高等数学的思想、观点、原理和方法去认识、理解和解决初等数学问题，可以进一步地充实初等数学的某些理论的论述深度，以及进一步熟练地掌握用初等方法解决问题的技能。所以本文将从微积分的角度简单地论述高等数学知识对初等数学的指导作用。2.微积分在初等数学中的应用2.1 严格地
3、推导出一些面积和体积公式圆和椭圆的面积、球的体积等, 在中学数学中均会涉及, 但其公式运用初等数学知识并不能证明, 只能通过直观教具的演示或直观说明得到。有了微积分知识后, 这些公式就很容易严格推导了。例1 求半径为r 的圆的面积解 以圆心为坐标原点, 建立坐标系,则该圆方程为 , 其圆面积2ryx为 rr dxydxS0204令 , 则)(sin第 3 页 共 9 页2 202020sin1co4srdrxrS类似地可严格推导出椭圆面积公式和球的体积公式, 另外, 中学生熟悉的许多旋转体体积公式也可用此方法严格推导出, 这样, 不仅增强了中学数学的严谨性, 还可丰富中学数学的教学内容。2.2
4、 求函数的极值初等数学中, 经常用不等式、配方等方法求极值。这些方法的优点是学生熟悉, 易于掌握。但这些方法往往有三个缺点: 一是技巧性要求较高, 特别是对较复杂的问题; 二是适用面较窄, 只能解一些较特殊的问题; 三是容易混淆极值和最值两个概念, 遗漏了极值。用微积分方法求极值, 有固定程序可循, 技巧性要求低一些, 适用面也广一些, 极值和最值也容易区分。例2 求 的极值。1cos2xy解 , 令 得ini- 0y0)1cos2(inx解得 或 , 由 可得 或 . 因此,0sinx2cossix当 时, 得 ;21co43极 小y当 时, 得 ;sx极 大当 时,得 ;1co1极 大y此
5、题若用配方法解, 可得,43)2(csxy第 4 页 共 9 页当 时, 得 ;21cos43极 小y当 时, 得 , 但很容易遗漏 .x极 大 1极 大y2.3 讨论函数的单调性初等数学中讨论函数 的单调性时, 经常在某区间任取 , , 令)(xfy 1x2 ,若 , 则 在该区间单调增加, 若 , 1x20)(21xff 0)(ff则 在该区间单调减少。该方法的优点是直观易懂, 其缺点是函数表达)(y式较复杂时判断 的正负比较困难, 往往要求运用较高技巧, 且适)(21xff用面也较窄。运用微积分方法讨论函数单调性时, 只需求出 , 再考虑)(xf的正负即可。该方法简便易行, 不需多大技巧
6、 , 且适用面也较宽。)(xf例3 判定函数 和 在 上的增减性。xy31xy32)(解 . 令 , 得 或 ;)1(21x 01y31xx令 , 得 , 所以 在 和 内01y3xx31,单调增加, 在 内单调减少。1,3, 故 在 内单调增加。02xyxy32,以上用微积分法讨论函数 和 的单调性时, 均无需多大技巧, 且过程类12似, 都较简单。但若用初等方法讨论, 不仅需要一些技巧, 而且解法也不能一样, 均较繁难一些。对于函数 , 令 , 则xy32210132)()()()( 21212 2131313 xx第 5 页 共 9 页故 在 内单调增加。xy32,对于函数 , 若同样令
7、 ,21x1432)()()()( 21212321313xx此时就不容易判断单调性了。从这里可明显看到微积分方法讨论函数单调性的优越之处。2.4 用微分法求曲线的切线在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。例如，圆的切线定义为与圆只有一个交点的直线，但把这一定义用到其他曲线上就不行了。如直线 与0y抛物线 只有一个交点， 是 的切线，但 与抛物线 也2xy0y2x0x2x只有一个交点，但 却不是 的切线，由此可见，用“一个交点”来定义切线并不能用于所有曲线。而学了微积分的知识后，就可以给出曲线切线的一般定义了。定义：设 是曲线 上一定点， 是该曲线上一动点，从而有割线0m)(xfym，令 沿
8、着曲线无限趋近于 ，则割线 的极限位置就是曲线0 00在 的切线（如果极限存在的话） 。)(xfy0切线的斜率：设曲线 是函数 的图像， 是曲线 上的一个点，L)(xfyPL它的横坐标是 ，为了求出在 点切线，在曲线上另取一点 ，它的横坐标是0xPQ( 可以是正也可以是负） ，作割线 ，作 平行于 轴，以 表示x0 Rx与 轴的夹角 ，则 的斜率 为（如图1）PQRQtanPtan第 6 页 共 9 页此时， ， ， ，)(0xfAP)(0xfBQxPRABRBQ于是有： xffP)(tan00现在使点 沿曲线 移动，逐渐移近到 ，则割线 的位置也随着变动，QLPQ当 趋向于 时，割线 的极限
9、位置为 ， 这一条直线称为曲线 在TL点的切线。这时， 也趋向于 与 轴的夹角 ，因而切线 的斜率为：PxPTxffx)(tan00lim例4 求曲线 在 时的切线方程。yln2解： x1 当 时 2y第 7 页 共 9 页又 当 时2xxyln 当 时，所求的切线方程为： )(1lny即 02lx由此可见，用微积分法解此类问题是多么的简单容易，可是在初等数学中，曲线 y = f (x) 的切线定义都难得给出，更别说讨论与 y = f (x) 的切线有关的问题了。2.5 微积分在代数教学中应用利用微积分分解二次三项式 )0(22acybxa例5 设 , 则 .)0()(2cybxaf byxf
10、,)(2是 常 数Mdxf令 , 得ay224yac从而 4)2(1) 2yabcyxaf 当 时, .04bc2)(1xf当 时, .2a )42)(4)22iabcyaxibcayf 当 时, 。042bc )(2(1)2xf2.6 用于证明不等式和恒等式因为用求导法很容易判断函数的单调性, 而不等式问题又常常可化为函数问题, 故可用微积分法证明一些不等式。例6 设 是自然对数的底, 是圆周率, 求证 。证明 因为函数 单调增加, 故xyln第 8 页 共 9 页等价于 , 即 ,lnln即 .ln令 ,)(l)(xf则 。2ln1)(f因此, 当 时, , 于是 在 内单调减少, 从而x
11、0)(xf )(xf,)(f即 ,原命题得证。ln例7 求证: 。2arctgxt证明 设 , 则ttxf)(0122f从而 , 令 , 得)()是 常 数cx1x, 于是 .24(f 2arctgt这类问题证明的关键是把恒等式问题转化为函数问题( 此题中转化为证明 , 然后利用函数的导数达到解2)(xf决问题的目的。由上例可以看到, 若运用得当, 将会得到十分巧妙的证明。3.结 束 语综上所述，利用高等数学的一些思想、观点、原理和方法，可以改变我们对一些问题的思维方式，拓展我们的解题思路，不仅可以对初等数学的教学和研究有着很大的指导作用，也可以进一步加深我们对高等数学中的一些思想、观点、原理
12、和方法的理解和掌握，达到一举两得。我们从事初等数学教学的教第 9 页 共 9 页师，只有用高等数学的知识、观点和方法，以一种居高临下的态势，审视初等数学的教学内容，才能使初等数学的教学达到理想的境界，进而才能够不断地提高数学教学质量。对于微积分在初等数学中的应用还很多，还值得我们长期探讨和研究，微积分如果进入初等数学，可以扩大初等数学的应用范围，初等数学的面貌也就会发生很大的变化。参 考 文 献1 张景中, 任宏硕. 漫话数学 M . 北京: 中国少年儿童出版社, 2003.2 平野叶一, 乔颖译. 微积分超入门 M . 上海: 上海世界图书出版公司, 2005.3 田载今, 李海东. 关于高
13、中数学教科书中球的表面积公式推导的一点说明 J . 中学数学教学参考, 20074 华东师范大学数学系数学分析（上册，第3 版）M北京：高等教育出版社，20015 李长明，周焕山初等教育研究M北京：高等教育出版社，19956 黄星寿微分中值定理俯视通观初等数学的一些问题J河池师专学报（自然科学版），2002，22（4） 7 朱本富高考总复习 魔法数学（理科版）M北京：长征出版社，20058 蒋忠宏. 论中学微积分课程的设置. 硕士论文,1984.9 丁尔升. 现代数学课程论. 南京: 江苏教育出版社, 1997, 380-390.10 张奠宙. 国家高中数学课程标准正在研究的15个课题. 数学教学, 2000( 6) .
