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类型无处不在的数学.doc

  • 上传人:jinchen
  • 文档编号:8511275
  • 上传时间:2019-06-30
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    1、2011-12-7- 1 -无处不在的斐波那契数列王震(化学化工学院 学号 091130121)摘 要:数学规律往往和生活中的某些现象有着紧密的联系。本文以大家熟知的斐波那契数列作为一个典型的例子,通过查找资料和参考一些文献,从斐波那契数列的性质、和黄金分割数的联系以及一些在生活中存在斐波那契数列的现象为出发点,对斐波那契数列进行了简单的介绍。通过这一过程,对斐波那契数列有了更深的了解和认识。从斐波那契数列这一典型的例子认识到生活中的数学无处不在,认识到大自然的伟大和数学的神奇,进而培养一种在生活中发现和探索的积极心态。关 键 词:斐波那契数列; 黄金分割; 生物;前 言:斐波那契数列,又称黄

    2、金分割数列,是由意大利数学家列昂那多 斐 波 那契 发 明 的 。 指 的 是 这 样 一 个 数 列 :1、1、2、3、5、8、13、21、在数学上,斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义:F0=0,F1=1,Fn=F(n-1)+F(n-2)(n2,nN*) ,在现代物理、准晶体结构、化学等领域,斐波纳契数列都有直接的应用。斐波那契数列从被发明到现在许许多多的科学家都曾对其进行研究分析过,并取得了一些重要的成果。通过参考资料,了解到斐波那契数列有许多有趣的性质,和黄金分割有着紧密有趣的联系,在现实生活中同样能够发现许许多多和斐波那契数列紧密联系的现象。正 文:1.斐波那契数列通项式的简单推导2

    3、011-12-7- 2 -斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。它的通项公式为nnn 2515a又叫“比内公式” ,是用无理数表示有理数的一个范例。为求得费波那西数列的一般表达式,可以借助线性代数的方法。高中的初等数学知识也能求出。斐波那契数列的初等代数解法如下 1:已知 a1 = 1a2 = 1an = an 1 + an 2首先构建等比数列设 an + an 1 = (an 1 + an 2)化简得an = ( )an 1 + an 2比较系数可得:不妨设 0, 0解得:所以有 an + an 1 = (an 1

    4、+ an 2), 即 为等比数列。求出数列 an + an 1由以上可得:2011-12-7- 3 -变形得: 。 令变形得: 。 令求数列 bn进而得到 an设 ,解得 。 故数列 为等比数列即 。 而 ,故有 又有 和 可得 得出 an 表达式通过以上简单的初等代数的推导,我们很快得出了斐波那契数列的通项式。这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的,是一个非常有趣的现象。当然斐波那契数列还有许许多多的其他的更为简单的便捷的推导方法,只是由于上述的初等代数法相比于其他方法在我们目前接触的数学知识范围之内是比较简单易懂的,故加以详细叙述。2011-12-7- 4 -2.斐波那

    5、契数列与黄金分割的联系从斐波那契数列的通项公式我们可以看出,斐波那契数列与黄金分割存在着密切的联系。随着项数 n 的不断增大,斐波那契数列相邻两项的比值越来越接近于黄金比 2:5.0216.3.05625.8615.03619.023事实上若令 n+1n+1n+1nn-2fu=5-当 n 时,由于n102,所以n+1nn5limu=li=2斐波那契数亦可以用连分数来表示:而黄金分割数亦可以用无限连分数表示:当然这只是斐波那契数列和黄金分割的总多联系中的一个小小的方面。上述的联系,老师在上课的时候重点提到过。黄金分割是生活中接触到的,也是我们学习数学时最先接触到的数学美学问题。斐波那契数列与黄金

    6、分割的紧密2011-12-7- 5 -联系间接的说明了其与生活的联系紧密。我们不得不感慨数学的相关性和自然的奇妙和伟大。3.斐波那契数列的一些性质 3 斐波那契数列的项之间有一些非常有趣的关系,如: (1)f nfn-2=f2n-1(-1)n(n2)(2)f nfn+1fn-1fn-2=f2n-1(n2)(3)f 2n-1+f2n=f2n-1(n1)(4)数列中任意相邻的四个数 A,B,C,D,有 C2一 B2=AD斐波那契数列的一些项的和也具有一些有趣的性质,如:(1)若设该数列的前 项之和为S n则S n=fn+21(2)从斐氏数列中任意选连续的l0个数,这l0个数之和等于所选出的l0个数

    7、中第 7个数的11倍由此可见,连续l0个数的和是l1的倍数上述结论,均可以通过通项公式进行证明,限于本人非数学本专业的学生,数学能力有限,故只能进行简单的罗列,从这些既定的规律和性质中去了解斐波那契数列的奇妙 4.大自然中的斐波那契数列在大自然中很容易见到斐波那契数列的身影,尤其是在植物界中。(1)一些花草长出的枝条会出现斐波那契数,有一种叫着“喷嚏麦”的花草,新的一枝从叶腋长出,而另外的新枝又从旧枝长出来,老枝条和新枝条的数目的和就像兔子问题一样 4。(2)花朵的瓣数几乎都是斐波那契数列。1片花瓣的马蹄莲,2片花瓣的鸭跖草,3片花瓣的三角梅、兰花,5片花瓣的丁香花、金凤花,8片花瓣的翠雀花、

    8、万寿花,13片花瓣的金盏花、雏菊,2l片花瓣的雏菊、紫苑,34片花瓣的雏菊,55片花瓣的雏菊,89片花瓣雏菊 5。(3)一些植物的种子排列对这个数列有着特殊偏好。向日葵花盘内,种子是按对数螺线排列的,有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数,一般是34和55,大向日葵是89和144,还曾发现2011-12-7- 6 -过一个更大的向日葵有144和233条螺线,它们都是相继的两个斐波那契数。这是植物生长的动力学特性造成的:相邻器官原基之间的夹角是黄金角13750776度,这使种子的堆集效率达到最高 4。类似这样的规律在植物和动物的生长和生活过程中都是非常常见的

    9、现象。不仅仅是在生物界,在其他的科研领域,同样存在着许多和斐波那契数列紧密相关的现象和规律,除了很多已知的,还有更多的未知的等待我们的探寻和发现。总 结:通过上述的对斐波那契数列的几个方面的介绍,我们已尽能够初步了解到斐波那契数列的神奇。就这样一个多年前在科学家研究兔子生育问题时创造出来的看似非常简单的数列,竟然可以和我们的自然界联系如此之紧密,一些生物的生命过程竟然可以如此完好的遵循这个数列的规律,在让我们惊叹之余更多留给我们的是思考。生活和自然本身是科学创造和发现的最基础的平台,生活中我们需要一颗高度灵敏度的,并且对于自然科学规律有高度热情的探索的心,无论是对于生活本身或者是更高层次的科学研究,这都是具有重大意义的。文 献 参 考:1 维基百科.斐波那契数列条目.2 龚秀芳.浅谈黄金分割和斐波那契数列. 上海中学数学,2001(3):18-203 禾青.趣谈斐波那契数列.高中数学与教学,2002(10):54-574 汤志浩.斐波那契数列实例探寻.技术与市场,2008(8):61-635 孙瑛.神奇的斐波那契数列.教育信息技术,2010(5):63-64

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