1、2011 精品ksdowe 1无穷递缩等比数列的和1.教材分析本节课题取材于人教版普通高中数学第三册（选修）第二章“数列”阅读材料-无穷等比数列的和，其主要内容是无穷递缩等比数列的求和公式及简单应用。教材在前面已介绍了数列的有限项的和，利用极限这个工具，不难将有限和转化到“无限和” 。这样引伸，既符合学生的认知规律，也有助于加深体会从有限认识无限、从已知认识未知、从近似认识精确的极限思想。本课内容蕴涵着丰富的数学思想方法和广泛的实际应用，对于开扩学生思路，激发学习数学的兴趣，都能起到较好的作用。新编教科书增加“阅读材料” ，不仅是为了扩展学生的知识，培养学生学习数学的兴趣，更重要的是为了充分展
2、现数学的科学价值和人文价值。如何指导学生自学阅读并深入研究，最大限度地发挥其功能，是教师应该认真思考和对待的问题。2.学情分析无穷递缩等比数列及其它无穷数列的求和问题，主要用到数列求和方法、等比数列的求和公式、数列极限的概念及运算法则等知识，这些内容学生理解起来并不困难。无穷递缩等比数列求和公式的应用也十分广泛，对本节内容进行适当的拓展研究，通过学习、总结、探究和反思，挖掘出具有较深层次的知识，既丰富知识内容，完善知识结构，提高解题能力，也符合“源于教材，高于教材”的教学原则。3.教学目标1、理解数列的前 的和与所有项的和的联系与区别，掌握无穷递缩等比数列的求和n公式的推导，能利用无穷递缩等比
3、数列的求和公式解决某些简单问题；2、进一步提高学生的学习自觉性和学习数学的能力，提高学生的阅读能力、观察能力、归纳能力，培养学生获取数学知识和应用数学的能力，培养交流合作精神；3、培养学生勇于探索、敢于质疑的精神，在解题教学中揭示生活哲理，体会数学的人文价值，丰富学生的人文素养。4.重点难点2011 精品ksdowe 2本课的重点是通过问题的探讨和公式的推导及应用，培养学生掌握运用在获取数学知识中的重要数学思想方法，体会数学的价值；难点是引导学生进行思维创新，在不断探索中发现问题、解决问题；关键是创设问题情景，激发学习兴趣，把教学过程设计为一个实践探索的过程。5.设计思想本课设计的指导思想是着
4、眼于提高学生的学习自觉性和学习数学的能力，充分展现数学的人文价值，增强课堂教学的启发性和探究性，改变传统的“灌输式”学习模式，采用学生动手、讨论、探索，教师指导尝试的方法，通过故事引入、小组合作、交流讨论、阅读材料、自编习题、归纳分析等多种形式，发挥学生的主体作用，精心设计，创造良好情景，去深入体会数学中的一些重要思想方法和数学的文化价值，提高学生的思维品质和学习能力。6.教学过程师：我们先来了解著名的古印度“分牛传说” 。古代的印度，有一位老人，他在弥留之际，把三个儿子叫到床前，对他们说：“我就要去见真主了，辛苦了一辈子，没有其它珍贵遗产留给你们，只有 19 头牛，你们自己去分吧，老大分总数
5、的 1/2，老二分总数的 1/4，老三分总数的 1/5。 ”话音甫落，老人就咽了气。按照印度的教规，牛被视为神灵，不准宰杀，只能整头地分，而先人的遗嘱必须无条件遵从。那么，这 19 头牛怎样分呢？这道题着实难坏了兄弟三人。他们请教了许多有才学的人，人们总是摇头，表示爱莫能助。兄弟三人无法可想，只得诉诸官府，请求公断，官府老爷也是目瞪口呆，一推了之。三兄弟急得走投无路，却计无所出师：同学们，我们能否用学过的数学知识帮助三兄弟解决这一难题？（学生讨论、交流、发言）师：这个故事有的同学曾经听说过，结局是这样的：三兄弟为分牛一事绞尽脑汁，有一天，一位老农牵着一头牛路过，看到兄弟三人愁眉苦脸，便动问原由
6、。老农听后思索了片刻说：“这件事好办，我把自己的一头牛借给2011 精品ksdowe 3你们，这样总共就有了 20 头牛，老大可分得 10 头，老二可分得 5 头，老三可分得 4 头，你们三人分去了 19 头牛，剩下的一头再还给我！”真是妙极了！一个曾使多少人费尽心机无法解决的大难题竟这样干脆利落的解决了，不用说，这件事也被当作佳话而广为流传。师：同学们对故事中的老农有何评价？生：“智慧老人”！生：称得上一位数学家。师：都不错！但同学们更应看到，这虽是一道数学题，却隐藏着丰富的社会和人生奥秘，社会乃至人生中的许多难题，有时只靠自身的元素或力量是难以解决的，这时，我们若能打开视野，借助一个外来的
7、力量，难解的问题也许会变得出奇的简单！【评注】数学教学的形式多种多样，教师如果仅满足于就题论题，学生的解题水平或许会有所提高，但学生的人文素养难免“营养不良” 。教师要善于抓住时机，利用一些经典案例，去揭示生活中蕴涵的深邃哲理，给学生以启迪。生：我对这个分牛方案有疑议，老大似乎只该分 9.5 头，最后他怎么得了 10 头呢？师：这位同学问得好！我相信其他同学也会有此疑问，运用无穷递缩等比数列求和的知识，可以验证分牛方案是否合理。请同学们先看课本 P93-P94 上的阅读材料。（学生看书、讨论、交流）出示课题：无穷递缩等比数列（ ）的和1q设有无穷数列 ,即na， ，,321an记数列 的前 项
8、的和为 ，即nnS ，21n如果数列 存在极限， ，则称 是数列 的和，记作nSnlimSna2011 精品ksdowe 4 .21aSn1na师：注意， 与一般的 不同， 表示数列 前 项的和，是有限项的和，而nS是这个数列前 项和的极限，它表示数列 所有项的和。S na对于无穷递缩等比数列（ ）1q ,21q,1n由 可得,1)(qaSnn0limn qaqannnn 1)li(1)(lili1即 .qaS1无穷递缩等比数列各项的和只与首项、公比有关。师：现在，我们再回过头来看看分牛问题中三兄弟到底可以得多少头牛。我们知道，19 头牛中，老大分 头，老二分 头，老三分 头，加起来是 19(
9、 + +192 194 195 1214)=19 19，兄弟三人并未把牛分完，还余下 19(1 )= （头） 。15 209 1920对余下的 头牛，按遗嘱规定比例再分，老大分 头，老二分 头，老三1920 20194分 头。这样，还余下 (1 )= 头没有分完，按遗嘱规定比例继续分下去，5 1920 1920老大分 头，老二分 头，老三分 头，可见还余下 (1 )=2019 24 20195 19202 19202011 精品ksdowe 5头没有分完32019从以上分析可知，这样分下去永远没有穷尽，但每次的剩余越来越少。不妨设老大分得 S1 头牛，则 .321 019092S 102这就说
10、明老大分得 10 头牛是符合遗嘱规定的。类似地，我们可以验证，老二、老三各分得 5 头、4 头牛也是符合遗嘱规定的。因此，这种分牛方案是完全合理和公平的。师：“分牛传说”给你有何启示？生：有助于我们认识 “有限”与“无限”的辩证关系，深入体会极限的概念和思想。师：很好！从阅读材料来看，无穷递缩等比数列的求和公式又有哪些应用？请各小组自己编题，并加以解答。（小组活动，教师巡视）生：应用之 1，求无穷递缩等比数列的和，如无穷等比数列 各项之和,842,n 。1Sn12师：不错，我们还可从右上图示中看到，图中各个矩形和小正方形的面积之和（图中阴影部分）的极限等于正方形面积。生：应用之 2，循环小数化
11、分数，如 ； 1 7.0 07 971.0 ； 2 3434.3493401. 3 1.0. 0.22011 精品ksdowe 6；9021.32.0师：很好！从以上几个小题大家是否发现循环小数化分数的一般性规律？生：循环小数的小数部分化分数，分母中 9 的个数等于循环节的个数，未循环的小数位数用 0 替补，分子的值等于小数点后整数部分减去未循环的整数部分。师：非常棒！这位同学的观察能力和归纳能力值得我们好好学习。生：应用之 3，求一类几何图形的面积之和，如下图正三角形的边长等于 1，连结正三角形各边中点得到一个小正三角形，又连结小正三角形各边中点得到一个更小的正三角形，如此无限继续下去，则这
12、些正三角形面积构成以 为首项、 为公比的无穷等比数列，431a4q所有这些正三角形面积的和是。31qS小结：本节课我们从著名的“分牛传说”入手，对无穷等比数列的求和问题进行了深入探讨，并通过构造习题说明其简单应用 “阅读材料”不仅可以扩展我们的知识结构，还可以帮助我们充分领略数学的科学价值和人文价值，提高学习自觉性和培养学习数学的兴趣我们要善于阅读，深入体会内中蕴涵的一些重要数学思想方法，培养交流合作精神在解题中揭示生活哲理，丰富人文素养，提高思维品质和学习能力。练习与作业：1计算 ；1)3(91324limnn比较 与 1 的大小；.02011 精品ksdowe 7求数列 前 n 项之和与所
13、有项之和；)2(14一个公比绝对值小于 1 的无穷等比数列的所有项和等于 2，它的各项平方所组成的数列的所有项和等于 ，求这个数列各项立方所组成的数列的所有项和。5正方形 内接于单位圆 ，圆 内切于正方形 ，正方形1DCBA1O21DCBA内接于单位圆 ，圆 内切于正方形 ，正方形 内接22 23 233于单位圆 ，如此无限继续下去，求所有这些正方形的面积之和。3O7.知识结构明线：暗线：通过学习培养能力，发展智力，体会数学的价值.8.问题探讨(1)这节课的内容来源于不作教学要求的“阅读材料” 。本人以为， “阅读材料”与本套教科书的另两个专题性栏目“研究性课题” 、 “实习作业” ，有一定的
14、共同之处。在教学中安排一定的时间给予关注，引导学生把数学知识应用到相关学科和社会生活、生产的实际中去，对于扩大学生的知识面，提高学习数学的兴趣，培养他们解决实际问题的能力,体数列求和数列极限无穷数列的和无穷递缩等比数列的和无穷等比数列求和循环小数化分数几何图形面积求和其它应用初始问题2011 精品ksdowe 8会数学的价值，无疑是大有裨益的。(2)古印度的“分牛传说”学生可能并不陌生，分牛方案的数学原理就是无穷递缩等比数列的求和问题，教师如果只把它作为一个数学应用的例子教给学生，就失去了一次很好的对学生进行德育教育的良机。我们可通过与学生一起思考、交流，在积极寻求解决问题策略的同时，去揭示“善借”之中蕴涵的生活哲理。这样处理，既能很好地启迪学生思维，又有助于学生人文素养的积累和提高。我认为，在数学教学中充分展现数学的人文价值，作为新课标的基本理念之一，是广大教师值得重视的新课题。以上两点，不知然否？愿与同行探讨。2011 精品ksdowe 9
