1、课程网址： http:/ 欢迎大家访问第八章 矩阵1 矩阵设 是数域， 是一个文字，作多项式环 ，一个矩阵如果它的元素是PP的多项式，即 的元素，就称为 矩阵.在这一章讨论 矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上一章第八节中关于若当标准形的主要定理.因为数域 中的数也是 的元素，所以在 矩阵中也包括以数为元素P的矩阵.为了与 矩阵相区别，把以数域 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵.以P下用 等表示 矩阵.),(BA我们知道， 中的元素可以作加、减、乘三种运算，并且它们与数的运P算有相同的运算规律.而矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法与乘法，因此可以同样定义 矩阵的加法与乘法，它们与数字矩阵
2、的运算有相同的运算规律.行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个的 矩阵的行列式.一般地， 矩阵的行列式是 的一个多项式，它与n数字矩阵的行列式有相同的性质.定义 1 如果 矩阵 中有一个 级子式不为零，而所有 级子)(A)1(r 1r式（如果有的话）全为零，则称 的秩为 .零矩阵的秩规定为零.定义 2 一个 的 矩阵 称为可逆的，如果有一个 的 矩阵n)( n使)(B, (1)EABA)()(这里 是 级单位矩阵.适合(1)的矩阵 (它是唯一的)称为 的逆矩阵，En )(A记为 )(1A定理 1 一个 的 矩阵 是可逆的充要条件为行列式 是一个)(A|)(|非零的数.
3、课程网址： http:/ 欢迎大家访问2 矩阵在初等变换下的标准形矩阵也可以有初等变换定义 3 下面的三种变换叫做 矩阵的初等变换：(1) 矩阵的两行（列）互换位置；(2) 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 ；c(3) 矩阵有某一行（列）加另一行（列）的 倍， 是一个多项式.)()(和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵.例如，将单位矩阵的第行的 倍加到第 行上得j)(i 行行列列 jijiPji1)(1)(. 仍用 表示由单位矩阵经过第 行第 行互换位置所得的初等矩阵，用),(jiPij表示用非零常数 乘单位矩阵第 行所得的初等矩阵.同样地，对一个cc的 矩阵 作一次初等变换就相当于在
4、的左边乘上相应 的初ns)(A)(As等矩阵；对 作一次初等列变换就相当于 在的右边乘上相应的 的n初等矩阵.初等矩阵都是可逆的，并且有.)(,)(,)()(,(),( 1111 jiPjiciPijiPji由此得出初等变换具有可逆性：设 矩阵 用初等变换变成 ，这AB相当于对 左乘或右乘一个初等矩阵.再用此初等矩阵的逆矩阵来乘 就)(A )(变回 ，而这逆矩阵仍是初等矩阵，因而由 可用初等变换变回 .)(BA定义 4 矩阵 称为与 等价，如果可以经过一系列初等变换将)()(课程网址： http:/ 欢迎大家访问化为 .)(A)(B等价是 矩阵之间的一种关系，这个关系显然具有下列三个性质：(!
5、) 反身性：每一个 矩阵与它自身等价.(2) 对称性：若 与 等价，则 与 等价.)(AB)(A(3) 传递性：若 与 等价， 与 等价，则 与 等)(C)(C价.应用初等变换与初等矩阵的关系即得，矩阵 与 等价的充要条件为有)(AB一系列初等矩阵 ，使tlQP,2121. (2)tlBA 21)()(这一节主要是证明任意一个 矩阵可以经过初等变换化为某种对角矩阵.引理 设 矩阵 的左上角元素 ，并且 中至少有一个元)( 0)(1a)(A素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与 等价的矩阵 ，它的左上B角元素也不为零，但是次数比 的次数低.)(1定理 2 任意一个非零的 的 矩阵 都等价于下列形
6、式的矩阵ns)(A,0)()(21 rdd其中 是首项系数为 1 的多项式，且),21)(,ridri.),2,(|(1ridii 这个矩阵称为 的标准形.)A例 用初等变换化 矩阵课程网址： http:/ 欢迎大家访问232211)( A为标准形.课程网址： http:/ 欢迎大家访问3 不 变 因 子现在来证明， 矩阵的标准形是唯一的.定义 5 设 矩阵 的秩为 ，对于正整数 ， 中必有非)(Ar,1,rk)(A零的 级子式. 中全部 级子式的首项系数为 1 的最大公因式 称为kk kD的 级行列式因子.)(A由定义可知，对于秩为 的 矩阵，行列式因子一共有 个.行列式因子的rr意义就在于
7、，它在初等变换下是不变的.定理 3 等价的 矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子.现在来计算标准形矩阵的行列式因子.设标准形为(1)0)()(21 rdd其中 是首项系数为 1 的多项式，且)(,)(,21rdd.不难证明，在这种形式的矩阵中，如果一个),1|)( iii 级子式包含的行与列的标号不完全相同，那么这个 级子式一定为零.因此，k k为了计算 级行列式因子，只要看由 行与 列组成的 级子式kii,21 i,21 k就行了，而这个 级子式等于k )(,)(,21 kiii dd显然，这种 级子式的最大公因式就是 )()(21k定理 4 矩阵的标准形是唯一的.证明 设(1) 是 的标
8、准形.由于 与(1) 等价，它们有相同的秩与相同)(A)(A的行列式因子，因此， 的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数 ; r课程网址： http:/ 欢迎大家访问的 级行列式因子就是)(Ak. (2),21()()(21 rkddDkk 于是. (3)()(,)()(,)( 112211 rrDd这就是 的标准形(1)的主对角线上的非零元素是被 的行列式因子所唯A A一决定的，所以 的标准形是唯一的.)(定义 6 标准形的主对角线上非零元素 称为 矩阵)(,)(,21rdd 的不变因子.)(A定理 5 两个 矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.由(3)
9、可以看出，在 矩阵的行列式因子之间，有关系式. (4)1,2()|)(1rkDkk 在计算 矩阵的行列式因子时，常常是先计算最高级的行列式因子.这样，由(4)就大致有了低级行列式因子的范围了.例如，可逆矩阵的标准形.设 为一个 可逆矩阵，由定理 1 知)(An,d|其中 是一非零常数，这就是说d 1)(nD于是由(4)可知， 从而,2(1)kDk),2()nkdk 因此，可逆矩阵的标准形是单位矩阵 .反过来，与单位矩阵等价的矩阵一定是E可逆矩阵，因为它的行列式是一个非零的数.这就是说，矩阵可逆的充要条件是它与单位矩阵等价.又矩阵 与 等价的充要条件是有一系列初等矩阵)(AB，使tlQP,212
10、1课程网址： http:/ 欢迎大家访问tl QBPA 2121)()(特别是，当时 ，就得到EB)(定理 6 矩阵 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.推论 两个 的 矩阵 与 等价的充要条件为，有一个 可ns)(ABs逆矩阵与一个 可逆矩阵 ，使Q.)()(QP课程网址： http:/ 欢迎大家访问4 矩阵相似的条件在求一个数字矩阵 的特征值和特征向量时曾出现过 矩阵 ,我们AAE称它 为的特征矩阵.这一节的主要结论是证明两个 数字矩阵 和 相似的A nB充要条件是它们的特征矩阵 和 等价.EB引理 1 如果有 数字矩阵 使n0,QP, (1)0)(EA则 和 相似.AB引理
11、2 对于任何不为零的 数字矩阵 和 矩阵 与 ，一定n)(UV存在 矩阵 与 以及数字矩阵 和 使)(QR0UV, (2)0)()QAE. (3)R定理 7 设 ， 是数域 上两个 矩阵. 与 相似的充要条件是它们ABPnB的特征矩阵 和 等价.E矩阵 的特征矩阵 的不变因子以后简称为 的不变因子.因为两个A矩阵等价的充要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理 7 即得推论 矩阵 与 相似的充要条件是它们有相同的不变因子.AB应该指出， 矩阵的特征矩阵的秩一定是 .因此， 矩阵的不变因子nnn总是有 个，并且，它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.n以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量，因
12、此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子.Comment w1: 页：9课程网址： http:/ 欢迎大家访问5 初等因子一、初等因子的概念定义 7 把矩阵 （或线性变换 A）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算) 称为矩阵 (或线性变换 A)的初等因子.例 设 12级矩阵的不变因子是.2229 )1()(,1(,1个按定义，它的初等因子有 7个，即.222 )(,)(,)(,)( ii其中 出现三次， 出现二次.11现在进一步来说明不变因子和初等因子的关系.首先，
13、假设 级矩阵 的不nA变因子 为已知.将 分解成互不相同的一次)(,)(21ndd ),21)(id因式方幂的乘积：,rkkk1121 )()()(1,rd222 ,nrnn kkkn )()()(21则其中对应于 的那些方幂1ijk)()(ijkji就是 的全部初等因子.注意不变因子有一个除尽一个的性质，即A,)1,2()|(1nidii 从而.),;,()(|)(,1 rjijiijkk 因此在 的分解式中，属于同一个一次因式的方幂的指数有,21ndd递升的性质，即课程网址： http:/ 欢迎大家访问.),21(21 rjkknjj 这说明，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方次最高
14、的必定出现在的分解中，方次次高的必定出现在 的分解中.如此顺推下去，可知)(nd )(1nd属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的.二、初等因子与不变因子的求法上面的分析给了我们一个如何从初等因子和矩阵的级数唯一地作出不变因子的方法.设一个 级矩阵的全部初等因子为已知，在全部初等因子中将同一个n一次因式 的方幂的那些初等因子按降幂排列，而且当这些),21)(rj初等因子的个数不足 时，就在后面补上适当个数的 1，使得凑成 个.设所得n排列为.),2(,)(,)(,)( 1,1 rjjjnnj kkjk 于是令,),()()()()21 nidirii kk
15、ki 则 就是 的不变因子.,(,)21n A这也说明了这样一个事实：如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子，则它们就有相同的不变因子，因而它们相似.反之，如果两个矩阵相似，则它们有相同的不变因子，因而它们有相同的初等因子.综上所述，即得定理 8 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.初等因子和不变因子都是矩阵的相似不变量.但是初等因子的求法与不变因子的求法比较，反而方便一些.如果多项式 都与 互素，则.)(,21f )(,21g.)(,(,)( 212 gfgf 引理 设,)(00)()( 21gfgfA课程网址： http:/ 欢迎大家访问,)(00)()( 2112gfg
16、fB如果多项式 都与 互素，则 和 等价.,)(21f )(,21AB定理 9 首先用初等变换化特征矩阵 为对角形式，然后将主对角线上E的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是 的全部初等因子.A6 若尔当 (Jordan)标准形的理论推导我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题.首先计算若尔当标课程网址： http:/ 欢迎大家访问准形的初等因子.不难算出若尔当块 nJ00011 的初等因子是 .n)(0事实上，考虑它的特征矩阵 0000 110 JE显然 ，这就是 的 级行列式因子.由于 有一个nJ)(00 0Jn0JE级子式
17、是1n,100 )(011n 所以它的 级行列式因子是 1，从而它以下各级的行列式因子全是 1.因此它1n的不变因子.nnndd )(),)()( 011 由此即得， 的初等因子是 .0JE0再利用5 的定理 9，若尔当形矩阵的初等因子也很容易算出.设 sJJ21是一个若尔当形矩阵，其中课程网址： http:/ 欢迎大家访问.),21(100siJikiiii 既然 的初等因子是 ，所以 与iJ ),2()(sikiJEik)(1等价.于是 skkk JEJEJEs21与 skkk )(1)(1)(121 等价.因此， 的全部初等因子是：J.skkk )(,)(,)(21 这就是说，每个若尔当
18、形矩阵的全部初等因子就是由它的全部若尔当形矩阵的初等因子构成的.由于每个若尔当块完全由它的级数 与主对角线上元素n所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子 中.因此，若尔当块被它0 )(0课程网址： http:/ 欢迎大家访问的初等因子唯一决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外被它的初等因子唯一决定.定理 10 每个 级的复数矩阵 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形nA矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵 唯一决定的，它称为 的若尔A当标准形.例 1 5 的例中，12 级矩阵的若尔当标准形就是12011010 ii例 2 求矩阵 413062A的若尔当标准形.定理 10
19、 换成线性变换的语言来说就是：定理 11 设 A 是复数域上 维线性空间 的线性变换，在 中必定存在一nVV组基，使 A 在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被 A 唯一决定的.应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵，由此即得定理 12 复数矩阵 与对角矩阵相似的充要条件是 的初等因子全为一次A的.根据若尔当形的作法，可以看出矩阵 的最小多项式就是 的最后一个不A课程网址： http:/ 欢迎大家访问变因子.因此有定理 13 复数矩阵 与对角矩阵相似的充要条件是 的不变因子都没有重AA根.虽然我们证明了每
20、个复数矩阵 都与一个若尔当形矩阵相似，并且有了具体求矩阵 的若尔当标准形的方法，但是并没有谈到如何确定过渡矩阵 ，使A T成若尔当标准形的问题. 的确定牵涉到比较复杂的计算问题.T1 T最后指出，如果规定上三角形矩阵 00110 为若尔当块，应用完全类似的方法，可以证明相应于定理 10，定理 11 的结论也成立.7 矩阵的有理标准形前一节中证明了复数域上任一矩阵 可相似于一个若尔当形矩阵.这一节将A对任意数域 来讨论类似的问题.我们证明了 上任一矩阵必相似于一个有理标PP准形矩阵.课程网址： http:/ 欢迎大家访问定义 8 对数域 上的一个多项式Pnnad1)(称矩阵(1)121010aA
21、n 为多项式 的伴侣阵.)(d容易证明， 的不变因子(即 的不变因子)是AAE.（见习题 3）(,1,dn 个定义 9 下列准对角矩阵, (2)sAA21其中 分别是数域 上某些多项式 的伴侣阵，且满足iAP),1()idi， 就称为 上的一个有理标准形矩阵.)(|)(|21sdd AP引理 (2)中矩阵 的不变因子为 ，其中 1 的个)(,)(,21sd数等于 的次数之和 减去 .)(,)(,21s ns定理 14 数域 上 方阵 在上相似于唯一的一个有理标准形，称为PnA的有理标准形.A把定理 14 的结论变成线性变换形式的结论就成为定理 15 设 A 是数域 上 维线性空间 的线性变换，
22、则在 中存在一组nVV基，使 A 在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由 A 唯一决定的，称为 A 的有理标准形.例 设 矩阵 的初等因子为 ，则它的不变因子是 1，3)1(,2，它的有理标准形为2)1(,课程网址： http:/ 欢迎大家访问. .210第八章 矩阵(小结)一、基本概念矩阵，可逆的 矩阵，秩； 矩阵的初等变换及标准形， 矩阵 的等价；行列式因子，不变因子，初等因子；若尔当标准形，矩阵的有理标准形.课程网址： http:/ 欢迎大家访问二、主要结论1. 一个 的 矩阵 是可逆的充要条件为行列式 是一个非n)(A|)(|A零的数.2. 任意一个非零的 的 矩阵 都等价于
23、其唯一的标准形矩阵：s)(,0)()(21 rdd其中 是首项系数为 1 的多项式，且),21)(,ridri.),2,(|(1ridii 3. 两个 矩阵等价的充要条件是它们有相同的行列式因子，或者，它们有相同的不变因子.4. 矩阵 是可逆的充要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积.)(A5. 两个 的 矩阵 与 等价的充要条件为，有一个 可逆ns)(ABs矩阵与一个 可逆矩阵 ，使Q.)()(QP6. 设 ， 是数域 上两个 矩阵. 与 相似的充要条件是它们的特ABnAB征矩阵 和 等价.E7. 两个同级复数矩阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子.8. 首先用初等变换化特征矩阵 为对角形式
24、，然后将主对角线上的元E素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是 的全部初等因子.A9. 每个 级的复数矩阵 都与一个若尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵n除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵 唯一决定的，它称为 的若尔当标AA准形.课程网址： http:/ 欢迎大家访问10. 设 A 是复数域上 维线性空间 的线性变换，在 中必定存在一组基，nVV使 A 在这组基下的矩阵是若尔当形，并且这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被 A 唯一决定的 .11. 复数矩阵 与对角矩阵相似的充要条件是 的初等因子全为一次的(或A的不变因子都没有重根).12. 数域 上 方阵 在上相似于唯一的一个有理标准形，称为 的有Pn A理标准形.13. 设 A 是数域 上 维线性空间 的线性变换，则在 中存在一组基，VV使 A 在该基下的矩阵是有理标准形，并且这个有理标准形由 A 唯一决定的，称为 A 的有理标准形.
