1、第 1 页高一数学必修三必修五综合( 二)一、选择题1已知数列a n中，a 1=3，a 2=6，a n+2=an+1an，则 a5=（ ）A6 B 6 C 3 D32在等差数列a n中，若 a2=2，a 5=5，则数列a n的通项公式为（ ）Aa n=n Ba n=2n Ca n=n1 Da n=2n13不等式 x（13x）0 的解集是（ ）A（， ） B（ ，0） （0， ） C（ ，+ ） D（0， ）4已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为（ ）A3 B 3 C1 D5在ABC 中，角 A、B、C 所对的对边长分别为 a、b、c ，sinA 、sinB、sinC 成等
2、比数列，且c=2a，则 cosB 的值为（ ）A B C D6已知 a0，1b0，那么（ ）Aaabab 2 Bab 2aba Cab aab 2 Dabab 2a7等差数列中，a 1+a2+a3=24，a 18+a19+a20=78，则此数列前 20 项和等于（ ）A160 B180 C200 D2208已知等比数列a n的各项都是正数，且 3a1， a3，2a 2 成等差数列，则 =（ ）A1 B3 C6 D99若 x，yR +，且 2x+8yxy=0，则 x+y 的最小值为（ ）A12 B14 C16 D1810已知等比数列a n的公比为正数，且 a3a9=2a52，a 2=2，则 a1
3、=（ ）A B C D2第 2 页11已知数列a n 的前 n 项和 Sn=3n2，nN *，则（ ）Aa n是递增的等比数列 Ba n是递增数列，但不是等比数列Ca n是递减的等比数列 Da n不是等比数列，也不单调12不等式 x2+2x 对任意 a，b（0，+ ）恒成立，则实数 x 的取值范围是（ ）A（2， 0） B（ ， 2）（ 0，+ ） C（ 4，2） D（ ，4）（2，+）二、填空题 13一个工厂有若干车间，今采用分层抽样方法从全厂某天生产的 1024 件产品中抽取一个容量为64 的样本进行质量检查若某车间这一天生产 128 件产品，则从该车间抽取的产品件数为 14S n 为等差
4、数列 an 的前 n 项和，S 2=S6，a 4=1 则 a5= 15设 a0，b0，若 a+b=4，则 的最小值为 16如图，在一个半径为 3，圆心角为 的扇形内画一个内切圆，3若向扇形内任投一点，则该点落在该内切圆内的概率是 三、解答题17三角形 ABC 中，BC=7，AB=3，且 （）求 AC； （）求A 18已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=1，a n+1 = Sn（nN *）（1）求 a2，a 3，a 4 的值； （2）求数列a n的通项公式第 3 页19 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图） 分 组
5、 频率 频 率组 距1000,1500）1500,2000） 0.00042000,2500）2500,3000） 0.00053000,3500）3500,4000 0.0001合 计（1 ）根据频率分布直方图完成以上表格；（2 ）用组中值估计这 10 000 人月收入的平均值；（3 ） 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，则在2000，3500） （元）月收入段应抽出多少人？20 某种产品有一等品、二等品、次品三个等级，其中一等品和二等品都是正品现有 6 件该产品，从中随机抽取 2 件来进行检测（1 ）若
6、 6 件产品中有一等品 3 件、二等品 2 件、次品 1 件抽检的 2 件产品全是一等品的概率是多少？抽检的 2 件产品中恰有 1 件是二等品的概率是多少？（2 ）如果抽检的 2 件产品中至多有 1 件是次品的概率不小于 ，则 6 件产品中次品最多有多少件？450.00010.00020.00030.00040.00051000 1500 2000 2500 3000 3500 4000月收入(元)频率/组距第 4 页一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知数列a n中，a 1=3，a 2=6，a n+2=an
7、+1an，则 a5=（ ）A6 B6 C3 D3【考点】数列递推式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】利用递推关系即可得出【解答】解：数列a n中，a 1=3，a 2=6，a n+2=an+1an，a3=a2a1=3，同理可得：a 4=36=3，a 5=33=6故选：B【点评】本题考查了递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题2在等差数列a n中，若 a2=2，a 5=5，则数列a n的通项公式为（ ）Aa n=n Ba n=2n Ca n=n1 Da n=2n1【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】设出等差数列的公差，由 a2=2，a 5=5 列
8、式求得公差，代入 an=am+（n m）d 得答案【解答】解：在等差数列a n中，设公差为 d，则 a5=a2+3d，a2=2， a5=5，5=2+3d，解得：d=1an=a2+（n2）d=2+1 （n2）=n故选：A第 5 页【点评】本题考查了等差数列的通项公式，在等差数列中，若给出任意一项 am，则 an=am+（n m）d，是基础题3不等式 x（13x）0 的解集是（ ）A（， ） B（ ，0） （0， ） C（ ，+ ） D（0， ）【考点】一元二次不等式的解法【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用【分析】根据不等式 x（13x ）0 对应的方程以及二次函数的关系，即可写出该不等
9、式的解集【解答】解：不等式 x（13x ）0 对应的方程 x（1 3x） =0 的两个实数根为 0 和 ，且对应二次函数 y=x（1 3x）的图象开口向下，所以该不等式的解集为（0， ）故选：D【点评】本题主要考查二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于基础题4已知 x，y 满足约束条件 ，则 z=2x+y 的最大值为（ ）A3 B3 C1 D【考点】简单线性规划【专题】计算题【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线 z=2x+y 过点 A（2，1
10、）时，z 最大是 3，故选 A第 6 页【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题5在ABC 中，角 A、B、C 所对的对边长分别为 a、b、c ，sinA 、sinB、sinC 成等比数列，且c=2a，则 cosB 的值为（ ）A B C D【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用【专题】解三角形【分析】利用等比数列的性质，结合正弦定理可得 b2=ac，再利用 c=2a，可得 ，利用 cosB=，可得结论【解答】解：sinA 、sinB、sinC 成等比数列，sin2B=sinAsinC，由正弦定理可得 b2=ac，c=2a， ，cosB
11、= = = 故选 B【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，正确运用正弦定理、余弦定理是关键第 7 页6已知 a0，1b0，那么（ ）Aaabab 2 Bab 2aba Cab aab 2 Dabab 2a【考点】不等关系与不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】根据题意，先确定最大的数 ab0，再确定最小的数 a，从而得出正确的结论【解答】解：a0，1b0 时，ab0，1b 20，0 ab2a，abab 2a故选：D【点评】本题考查了不等式的性质的应用问题，解题时应根据题意，确定每个数值的大小，也可以用特殊值法进行判断，是基础题7等差数列中，a 1+
12、a2+a3=24，a 18+a19+a20=78，则此数列前 20 项和等于（ ）A160 B180 C200 D220【考点】等差数列的性质【专题】计算题【分析】先根据 a1+a2+a3=24，a 18+a19+a20=78 可得到 a1+a20=18，再由等差数列的前 20 项和的式子可得到答案【解答】解：a 1+a2+a3=24，a 18+a19+a20=78a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3（a 1+a20）a1+a20=18 =180故选 B【点评】本题主要考查等差数列的前 n 项和公式的应用考查等差数列的性质第 8 页8已知等比数列a n的各项都是正数，且 3a1，
13、 a3，2a 2 成等差数列，则 =（ ）A1 B3 C6 D9【考点】等差数列与等比数列的综合【专题】等差数列与等比数列【分析】设各项都是正数的等比数列a n的公比为 q，（q0），由题意可得关于 q 的式子，解之可得 q，而所求的式子等于 q2，计算可得【解答】解：设各项都是正数的等比数列a n的公比为 q，（q0）由题意可得 2 a3=3a1+2a2，即 q22q3=0，解得 q=1（舍去），或 q=3，故 = =q2=9故选：D【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题9设 Sn 为等比数列a n的前 n 项和，8a 2+a5=0，则 等于（ ）A
14、11 B5 C 8 D11【考点】等比数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得数列的公比 q，代入求和公式化简可得【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，（q 0）由题意可得 8a2+a5=8a1q+a1q4=0，解得 q=2，故 = = = =11故选 D第 9 页【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题10已知等比数列a n的公比为正数，且 a3a9=2a52，a 2=2，则 a1=（ ）A B C D2【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题【分析】设公比为 q0，由题意可得 =2 ，a 1q=2，由此求得 a1 的值【解答】解：设公比为 q0，由
15、题意可得 =2 ，a 1q=2，解得 a1= =q，故选 C【点评】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题11已知数列a n 的前 n 项和 Sn=3n2，nN *，则（ ）Aa n是递增的等比数列Ba n是递增数列，但不是等比数列Ca n是递减的等比数列Da n不是等比数列，也不单调【考点】等比数列的通项公式；数列的函数特性【专题】等差数列与等比数列【分析】由数列的前 n 项和，分别求出 a1 及 n2 时的通项公式，经验证数列从第二项起构成首项是 6，公比为 3 的等比数列，所以得到结论数列a n是递增数列，但不是等比数列【解答】解：由 Sn=3n2，当 n=1 时， 当 n2
16、时， =23n1n=1 时上式不成立所以 因为 a1=1，a 2=6，第 10 页当 n2 时， 所以数列a n 从第二项起构成首项是 6，公比为 3 的等比数列综上分析，数列a n是递增数列，但不是等比数列故选 B【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了数列的函数特性，对于给出了前 n 项和求通项的问题，一定要讨论 n=1 和 n2 两种情形，此题是基础题12不等式 x2+2x 对任意 a，b（0，+ ）恒成立，则实数 x 的取值范围是（ ）A（2 ，0） B（ ， 2）（0，+ ） C（ 4，2 ） D（，4）（2，+）【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题；不等式的解法及应用【分
17、析】由已知，只需 x2+2x 小于 的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值【解答】解：对任意 a，b（0，+）， ，所以只需 x2+2x8即（x2 ）（x+4）0，解得 x（4，2）故选 C【点评】本题考查不等式恒成立问题，往往转化为函数最值问题二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13如图，从高为 米的气球（A ）上测量铁桥（BC）的长，如果测得桥头 B 的俯角是 60，桥头 C 的俯角是 30，则桥 BC 长为 400 米【考点】解三角形【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形第 11 页【分析】由已知条件求出DAB 的大小，结合 AD=200，通过解直角三角
18、形求出 AB 的长度，在等腰三角形 ABC 中，由腰长相等得 BC 的长度【解答】解：如图，由EAB=60，得DAB=30 ，在 RtADB 中，AD=200，DAB=30 ，AB=400又EAC=30，ACB=30EAB=60，EAC=30，BAC=30在ABC 中，ACB=BAC，BC=AB=400故答案为：400【点评】本题考查了解三角形的实际应用，关键是把实际问题转化为数学问题，是中档题14S n 为等差数列 an 的前 n 项和，S 2=S6，a 4=1 则 a5= 1 【考点】等差数列的性质【专题】计算题；压轴题【分析】由 S2=S6，a 4=1，先求出首项和公差，然后再求 a5
19、的值【解答】解：由题设知 ，a1=7， d=2，a5=7+4（2）= 1故答案为：1【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用15设 a0，b0，若 a+b=4，则 的最小值为 第 12 页【考点】基本不等式【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式【分析】由已知得 = ，由此利用均值定理能求出 的最小值【解答】解：a0，b0，a+b=4， = = + + +2 = 当且仅当 时取等号， 的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查代数式和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用16在 ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c ，已知
20、a=1，且（1 b）（sinA+sinB）=（cb）sinC ，则ABC 周长的取值范围为 （2，3 【考点】余弦定理；正弦定理【专题】方程思想；转化思想；解三角形【分析】a=1，（1b）（sinA+sinB）=（c b）sinC，可得（a b）（sinA+sinB）=（c b）sinC，由正弦定理可得：（ab）（a+b）= （c b）c，利用余弦定理可得 A，再利用正弦定理即可得出【解答】解：在 ABC 中， a=1，（1b）（sinA+sinB）=（cb）sinC，（ ab）（sinA+sinB）= （c b）sinC，由正弦定理可得：（ab）（a+b）= （c b）c，化为：b 2+c2
21、a2=bccosA= = ，A（0，），A= 第 13 页由正弦定理可得： = = ，b= sinB，c= sinC，ABC 周长=1+b+c=1+ sinB+ sinC=1+ =1+2，B ， ，ABC 周长的取值范围是（2，3故答案为：（2，3【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、和差化积、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题17三角形 ABC 中，BC=7，AB=3，且 （）求 AC；（）求A【考点】余弦定理；正弦定理【专题】计算题【分析】（）由正弦定理，根据正弦值之比得到对应的边之比，把 AB 的值代入比例式即可求出AC 的值；（）利用余弦定理表示出 cosA，把
22、 BC，AB 及求出的 AC 的值代入求出 cosA 的值，由 A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数【解答】解：（）由 AB=3，根据正弦定理得：（）由余弦定理得： ，所以A=120 【点评】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键第 14 页18已知数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1=1，a n+1= Sn（nN *）（1）求 a2，a 3，a 4 的值；（2）求数列a n的通项公式【考点】数列递推式；等比关系的确定【专题】点列、递归数列与数学归纳法【分析】（1）根据 an+1= Sn，
23、分别令 n=1，2，3 即可求得 a2，a 3，a 4 的值；（2）由 an+1= Sn，得 ，两式相减可得数列递推式，由递推式可判断 an从第 2 项起，以后各项成等比数列，从而得通项公式；【解答】解：（1）a n+1= Sn， = = ， = ， = = ；（2）a n+1= Sn， ，两式相减得： = ， ，数列 an从第 2 项起，以后各项成等比数列， ，故数列a n的通项公式为 【点评】本题考查由数列递推公式求数列通项公式，解决（2）问关键是明确关系式：19已知a n，是递增的等差数列，a 2，a 4 是方程 x26x+8=0 的根（）求a n的通项公式；第 15 页（）求数列 的前
24、 n 项和【考点】数列的求和【专题】等差数列与等比数列【分析】（）由题意列式求出 a2，a 4，代入等差数列的通项公式求得公差，再代入等差数列的通项公式得答案；（）把等差数列的通项公式代入数列 ，然后由错位相减法求其和【解答】解：（）在递增等差数列a n中，a2，a 4 是方程 x26x+8=0 的根，则，解得 d= an=a2+（n2） d=2+n1=n+1；（） = ， 的前 n 项和：，得：=1+ 第 16 页 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题20在ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，且 = （1）求角 B 的大小；（2）如果
25、 b=2，求ABC 面积的最大值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】三角函数的求值；解三角形【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，求出 tanB 的值，即可确定出 B 的度数；（2）利用余弦定理表示出 cosB，将 b 与 cosB 的值代入，整理得到关系式，利用基本不等式化简求出 ac 的最大值，再由 sinB 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积的最大值【解答】解：（1）已知等式 = ，由正弦定理得 = ，即 tanB= ，B= ；（2）b=2，cosB= ，cosB= = ，a2+c2=ac+4，又 a2+c22ac，ac4，当且仅当 a=c 取等号，S= acsinB
26、，则ABC 为正三角形时，S max= 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键21小张于年初支出 50 万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出 2 万元，假定该车每年的运输收入均为 25 万元小张在该车运输累计收第 17 页入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第 x 年年底出售，其销售收入为 25x 万元（国家规定大货车的报废年限为 10 年）（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入
27、+销售收入总支出）【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】（1）求出第 x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于 0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+ 销售收入总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论【解答】解：（1）设大货车运输到第 x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为 y 万元，则 y=25x6x+x（x1）50=x 2+20x50（0x10，x N）由x 2+20x500，可得 105 x10+52 105 3，故从第 3 年，该车运输累计收入超过总支出；（2）利润=累计收入+销售收入 总支出，二手车出售后，小张的
28、年平均利润为 =19（x+ ）1910=9当且仅当 x=5 时，等号成立小张应当在第 5 年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题22已知在递增等差数列a n中，a 1=2，a 3 是 a1 和 a9 的等比中项（）求数列a n的通项公式；（）若 bn= ，S n 为数列b n的前 n 项和，是否存在实数 m，使得 Snm 对于任意的nN+恒成立？若存在，请求实数 m 的取值范围，若不存在，试说明理由【考点】数列递推式；等差数列的通项公式【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用第 18 页【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（）存在 由于 bn= = ，利用“裂项求和” 方法即可得出【解答】解：（）由a n为等差数列，设公差为 d，则 an=a1+（n 1）d，a3 是 a1 和 a9 的等比中项， =a1a9，即（ 2+2d） 2=2（2+8d），解得 d=0（舍）或 d=2，an=2+2（n1）=2n （）存在 bn= = ，数列 bn的前 n 项和 Sn= + = ，存在实数 m ，使得 Snm 对于任意的 nN+恒成立【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和” 、“放缩法” ，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
