1、图像的DFT和DCT变换,报告人：胡青,1,主要内容,DFT变换 DFT变换定义 DFT变换的性质 DFT在频域滤波中的应用 DCT变换 一维、二维定义 性质 实例(JPEG压缩),2,参考书目,数字图像处理（第二版）冈萨雷斯 数字图像处理（matlab版）冈萨雷斯,3,傅里叶变换,为什么要在频率域研究图像 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通; 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质; 可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导;,4,傅里叶变换,一维连续傅里叶变换及反变换 连续
2、函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义为傅里叶反变换为：其中， 2 =-1,5,傅里叶变换,二维连续傅里叶变换及反变换 连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定义为反变换为：,6,傅里叶变换,一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换 离散函数f(x)(x=0,1,2,N-1)的傅里叶变换F(u)定义为傅里叶反变换为：,7, = 1 =0 1 () 2/ U=0,1,2,N-1, = =0 1 () 2/ x=0,1,2,N-1,傅里叶变换,其中： =exp(-j2/N),8,其中的U称为变换矩阵。从U的构成形式可知,U是对称的，即 =U 且则 称U为酉矩阵.,F=Uf 正交变换,傅里叶变换,从
3、欧拉公式,9,傅里叶变换,傅里叶变换的极坐标表示,功率谱为,幅度或频率谱为,相角或相位谱为,10,傅里叶变换,二维离散傅里叶变换及反变换 图像尺寸为MN的函数f(x,y)的DFT为反DFT为：,11,傅里叶变换,二维DFT的极坐标表示幅度或频率谱为R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部,相角或相位谱为,功率谱,12,图像DFT变换性质,傅里叶变换对的平移性质 以表示函数和其傅里叶变换的对应性,当 0 =M/2且 0 =N/2,带入（1）和（2），得到,13,图像DFT变换性质,2. 尺度变换（缩放） 给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列2个公式成立,14,图像DFT变
4、换性质,3. 旋转性 引入极坐标 将f(x,y)和F(u,v)转换为 。将它们带入傅里叶变换对得到,15,图像DFT变换性质,16,图像DFT变换性质,4. 周期性和共轭对称性上述公式表明 尽管F(u,v)对无穷多个u和v的值重复出现，但只需根据在任一个周期里的N个值就可以从F(u,v)得到f(x,y) 只需一个周期里的变换就可将F(u,v)在频域里完全确定 同样的结论对f(x,y)在空域也成立,17,图像DFT变换性质,接上 如果f(x,y)是实函数，则它的傅里叶变换具有共轭对称性其中， (u,v)为F(u,v)的复共轭。,18,图像DFT变换性质,用 （1） + 乘以f(x,y),将F(u
5、,v)原点变换到频率坐标下的(M/2，N/2)，它是MN区域的中心 u=0,1,2,M-1, v=0,1,2,N-1,19,周期性和共轭对称性举例,20,图像DFT变换性质,5. 分离性F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变换。当x=0,1,M-1，沿着f(x,y)的所有行计算傅里叶变换。, , = 1 =0 1 2/ 1 =0 1 (,) 2/,= 1 =0 1 2 (,),21,图像DFT变换性质,6. 平均值,说明：如果f(x,y)是一幅图像，在原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级,22,图像DFT变换性质,7. 卷积理论 大小为MN的两个函数f(x,y)和h(x,y)的
6、离散卷积,23, , , = 1 =0 1 =0 1 , (+,+),图像DFT变换性质,8. 相关性理论 大小为MN的两个函数f(x,y)和h(x,y)的相关性定义为,24, 表示f的复共轭。 对于实函数, f,相关定理,图像DFT变换性质,自相关理论,注：复数和它的复共轭的乘积是复数模的平方,25,图像DFT变换性质,26,图像DFT变换性质,卷积和相关性理论总结 卷积是空间域过滤和频率域过滤之间的纽带 相关的重要应用在于匹配：确定是否有感兴趣的物体区域 f(x,y)是原始图像,h(x,y)作为感兴趣的物体或区域（模板）如果匹配，两个函数的相关值会在h找到f中相应点的位置上达到最大,27,
7、图像DFT变换频域滤波,频率域的滤波步骤 1. 用 （1） x+y 乘以输入图像进行中心变换 2. 计算1中的DFT F(u,v) 3. 用滤波器函数H(u,v)乘以F(u,v) 4. 计算3中结果的反DFT 5. 得到4中结果的实部 6. 用 （1） x+y 乘以5中的结果，取消输入图像的乘数,28,图像DFT变换频域滤波,频率域滤波的基本步骤,思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像变换，然后通过取结果的反变换来获得处理后的输出图像,29,图像DFT变换频域滤波,一些基本的滤波器：如何作用于图像？ 陷波滤波器,30,图像DFT变换频域滤波,陷波滤波器设置F(0,0)=0(结果图像的平均值为
8、零),而保留其它傅里叶变换的频率成分不变 除了原点处有凹陷外，其它均是常量函数 由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低 用于识别由特定的、局部化频域成分引起的空间图像效果,31,图像DFT变换频域滤波,32,任何问题 ？,33,离散余弦变换（DCT）,问题的提出：DFT一个最大问题是：它的参数都是复数，在数据的描述上相当于实数的两倍。为此，我们希望有一种能够达到相同功能但数据量又不大的变换。,34,离散余弦变换（DCT）,由傅里叶变换性质 当f(x)或f(x,y)为实的偶函数时，傅里叶变换域中得到实的偶函数考察一维离散傅立叶变换,当f(x)或f(x,y)为偶函数时，傅里叶变换的计算公式
9、虚部为零，只有余弦项,余弦变换是简化傅立叶变换的一种方法,35,离散余弦变换（DCT）,一维离散余弦变换定义,通常归一化表示为：,36,离散余弦变换（DCT）,一维离散余弦反变换定义,37,离散余弦变换（DCT）,二维离散余弦变换定义,38,离散余弦变换（DCT）,离散余弦变换的矩阵算法,一维离散余弦变换：,正变换：,反变换：,二维离散余弦变换：,正变换：,反变换：,C为离散余弦变换矩阵，CT为C的转置矩阵,39,离散余弦变换（DCT）,变换矩阵C为：,40,离散余弦变换（DCT）,(3). 举例,图像经DCT后, 能量集中于频率平面的左上角。 DCT用于图像数据压缩。,41,离散余弦变换（DCT）,离散余弦变换的矩阵算法举例：,由此例可看出：DCT将能量集中于频率平面的左上角。,42,离散余弦变换（DCT）,43,谢谢,44,
