1、,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、 对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲线积分,第十一章,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“分割”,“近似”,“求和”,“取极限”,常力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1) “分割”.,2) “近似”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,机动 目录 上页 下
2、页 返回 结束,3) “求和”,4) “取极限”,(其中 为 n 个小弧段的最大长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 定义.,设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .,称为被积函数 ,在L 上定义了一个向量函数,极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在 空间曲线弧 上的对坐标的曲线积分为:,称为,称为,类似地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对 y 的曲线积分.,对 x 的曲线积分;,3.
3、 性质,(1) 若 L 可分成 k 条与L同向的光滑曲线弧,(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在, 且有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注:,不一定小于,.,特别是, 如果 L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧 :,类似有,定理 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为参数, 则,解法2 取 y 为参数, 则,从点
4、,的一段.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,(2) 取 L 的方程为,则,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 计算,其中L为,(1) 抛物线,(2) 抛物线,(3) 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解: 取 的参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、两类曲线
5、积分之间的联系,设 L 的参数方程为,则L的切向量为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以,所以L的切向量的方向余弦为,类似的，有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则两类曲线积分有如下联系,例5.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L 沿上半圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以L的切向量为,则L的切向量的方向余弦为,所以,因为L的方程为,1. 定义,2. 性质,(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 计算, 对有向光滑弧, 对有向光滑弧,机动 目录
6、 上页 下页 返回 结束,4. 两类曲线积分的联系, 对空间有向光滑弧 :,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原点 O 的距离成正比,思考与练习,1. 设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 已知,为折线 ABCOA(如图), 计算,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 设曲线C为曲面,与曲面,从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;,(2) 计算曲线积分,解: (1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2) 原式 =,令,利用“偶倍奇零”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
