1、柯西不等式的证明及应用(河西学院数学系 01(2)班 甘肃张掖 734000)摘要:柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式,解三角形相关问题,求函数最值,解方程等问题的应用方面给出几个例子。关键词:柯西不等式 证明 应用 中图分类号: O178 Identification and application of Cauchy inequalityChen Bo(department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000)Abstract: Cauchy-ineq
2、uality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved . This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc. provides s
3、everal examples.Keyword:inequation prove application柯西(Cauchy)不等式 1221nbaba 221221 nnbba niRai2,1等号当且仅当 或 时成立(k 为常数, )现将它的01 ii ,证明介绍如下:证明 1:构造二次函数 2221)( nbxabxaxf =22 2121n naaxb 120n恒成立fx2221211440nnnababab 即 22nn 当且仅当 即 时等号成立01,iiaxbn 12nbb证明(2)数学归纳法(1)当 时 左式= 右式=n21a21a显然 左式=右式当 时, 右式 2n2222 21
4、111ababab右式 1122abab仅当即 即 时等号成立21212故 时 不等式成立 ,n(2)假设 时,不等式成立k,即 2221211kkkababab 当 ,k 为常数, 或 时等号成立ii,in 20ka设 221kA 212Cabab则 221111kkkkabA22C22121 1k kaa 1kkbb当 ,k 为常数, 或 时等号成立ii,2in 20kaa即 时不等式成立1n综合(1) (2)可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式,灵活巧妙的应用运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,这个不等式结构和谐,应用灵活广泛,利用柯西不等式可处理以下问题:1) 证明相关
5、命题例 1 用柯西不等式推导点到直线的距离公式 。3已知点 及直线 0,xy:l0xyCA20A设点 p 是直线 上的任意一点, 则l(1)xCA(2)22120101xy点 两点间的距离 就是点 到直线 的距离,求(2)式有最小值,有p2pl22201010101xyxyAA0yC由(1) (2)得:即120pxyCA(3)0122当且仅当 0101:yxA(3)式取等号 即点到直线的距离公式12pl即 0122xyCA2) 证明不等式例 2 已知正数 满足 证明 4,abc1c2233abcabc证明:利用柯西不等式23131222acc333222bab33ac1c又因为 在此不等式两边
6、同乘以 2,再加上22abab得:22bc23cca故2233bcbc3) 解三角形的相关问题例 3 设 是 内的一点, 是 到三边 的距离, 是 外接圆pABC,xyzp,abcRABC的半径,证明 221xyzabcR证明:由柯西不等式得, 11xyzaxbycz 1axbyczabcA记 为 的面积,则SABC242cabczR1abaxy bcaR221bcR故不等式成立。4) 求最值例 4 已知实数 满足 , 试求 的最值5,abcd3abcd22365abcda解:由柯西不等式得,有22213636b即 222cdbc由条件可得, 5a解得, 当且仅当 时等号成立,1236121c
7、d代入 时, ,36bcdmax时 1in5)利用柯西不等式解方程 5例 5在实数集内解方程2294863xyz解:由柯西不等式,得22222864864xyzxy296431439又 28xy2226864zxyz即不等式中只有等号成立从而由柯西不等式中等号成立的条件,得 8624xyz它与 联立,可得39y13x618z6)用柯西不等式解释样本线性相关系数 67在概率论与数理统计 一书中,在线性回归中,有样本相关系数,并指出 且 越接近于 1,相关程度越大, 越1221()niiiniiiixyr=1rr接近于 0,则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记 , ,则,i
8、iaxiiby,由柯西不等式有,12niiiabr=1r当 时,1r2211nniiii ab此时, , 为常数。点 均在直线iiybkx,ixyni2,1上,kr当 时,1r2211nniiiiabb即 22110nniiii而 222111nniiiijjii ijnabbab0ijjiijn0ijji为常数。,ibka此时,此时, , 为常数iiybkxa点 均在直线 附近,所以 越接近于 1,相关程度越大,i xr当 时, 不具备上述特征,从而,找不到合适的常数 ,使得点0r,ib k都在直线 附近。所以, 越接近于 0,则相关程度越小。,ixyykxr致谢:在本文的写作过程中,得到了马统一老师的精心指导,在此表示衷心的感谢。参考文献: 柯西不等式的微小改动 数学通报 2002 第三期1J柯西不等式与排序不等式 南山 湖南教育出版社2M普通高中解析几何 高等教育出版社31990-年全国统一考试 数学试卷4J李永新 李德禄 中学数学教材教法 东北师大出版社5盛聚,谢式千,潘承毅 概率与数理统计 高等教育出版 6 M用用柯西不等式解释样本线性相关系数 数学通讯 2004 年第七期7 J2004 年 6 月利用柯西不等式证明问题