1、最速降线问题的泛函构造王世恩红河学院理学院物理系，云南省，中国，661100摘要：本文在最速降线问题的一般性数学描述下，建立起泛函的概念。并在泛函空间的构造上，建立起变分运算的基础，从而在要求泛函取极值的条件下，通过变分求解最速降线问题。关键词：最速降线；泛函；变分。最速降线的问题是 1630 年伽利略提出来的 1, 2，伽利略认为最速降线应该是一段圆弧。瑞士数学家约翰伯努利后来了解了这个问题后并不这样认为。1696 年，伯努利再一次提出这个问题，并征求解答。第二年，有多位数学家得到正确答案，其中包括牛顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线。1
2、726 年，瑞典科学家欧勒开始关注这个问题。1744 年，欧勒给出了之类问题的普遍解法，并由此产生了泛函的概念和变分法。今天，由最速降线问题发展起来的泛函变分已作为分析力学的重要基础 3。本文在接下来的一节，先给出最速降线问题的准确表述，再给出该问题的一般性数学描述；而在第二节，将建立泛函的概念，并在泛函空间的构造上，给出变分运算的基础；最后，在要求泛函取极值的条件下，通过变分，求解最速降线问题。1. 最速降线问题的数学描述伽利略提出的最速降线问题是这样的：在给定的两个点之间，质点只在重力的作用下，沿什么样的曲线下滑所用的时间最短、最快捷？实际上，这个问题可考虑在 A、B 两个定点之间，质点只
3、在重力的作用下假设沿曲线 无摩擦地下滑。)(xfy如图 1，取 A 点为坐标系的原点， B 点的坐标为 。),(By质点下滑到 点时，由机械能守恒定律，质点的速度),(yx大小有(1)gdtsv2其中的弧微分可有(2)xys2)(1于是就有x A O(x，y)y=f(x)By图 1，假设质点只在重力的作用下沿 A 和 B两点间的曲线 无摩擦地下滑。)(xfy(3)dxgyvdst2)(1对整段曲线积分，就得到质点只在重力的作用下沿曲线 无摩擦地从 A 点下滑到)(xfyB 点所用的时间。(4)Bxdxgyt02)(1接下来的问题就是曲线 是什么具体的函数形式时，这个时间最短。这就是最速降)(f
4、线问题的数学描述。2. 最速降线问题的泛函构造显然，曲线 是什么样的函数形式，质点就有什么样的下滑时间。因此，下滑)(xfy时间是函数 的函数，即应有)(5)Bxdxgyyt02)(1)(但这样的函数不是普通的复合函数。因为 A、B 两点间的曲线可以是任意的，未定的，所以时间 t 是任意未定函数 的函数 。这样的函数 我们称之为泛)(x)(xt)(xyt函。XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX参考文献1. 谢小良，统计与决策，17 期，2007，P.2. 吴佩萱，数学通报，05 期，2006，P .3. 甘特. 马赫（苏） ，分析力学讲义，人民教育出版社，1963 年，第一版，第三章.
