1、 - 1 -第十一讲 分类数图形知识：数图形个数问题我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确。但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。例 1下面图形中有多少个正方形？（例1）跟踪训练：（a）（b）（c）（1）图 a 中共有多少个正方形？（2）图 b 中共有多少个正方形？（3）图 c 中共有多少个正方形，多少个三角形？- 2 -例 2图中共有多少个三角形？（例2）跟踪训练：（a）（b）（c）（1）数一数，图 a 中共有多少个三角形？（2）数一数，图 b 中有多少个三角形？（3）数一数
2、，图 c 中共有多少个三角形？例 3数出下图中所有三角形的个数。ABCDE F GJ MI- 3 -跟踪训练：数出下面图 a、b、c 中分别有多少个三角形？（a） （b） （c）例 4如图，平面上有 12 个点，可任意取其中四个点围成一个正方形，这样的正方形有多少个？（例 4）跟踪训练：（a）（b）（c）（1）图 a 中共有 8 个点，连接任意四点围成一个长方形，一共能围成多少个长方形？（2）图 b 中共有 6 个点，连接其中的三点围成一个三角形，一共能围成多少个三角形？（3）图 c 中共有 9 个点，连接其中的四个点围成一个梯形，一共能围成多少个梯形？- 4 -例 5数一数，图中共有多少个三
3、角形？（例 5）跟踪训练：（a）（b）（c）（1）图 a 中共有（ ）个三角形。（2）图 b 中共有（ ）个三角形。（3）图 c 中共有（ ）个正方形。1下图中共有（ ）个正方形。（第 1 题）2三角形中从一个顶点到底边画一条线段可以得到 3 个三角形，画两条线段可以得到 6 个三角形，画十条线段呢？- 5 -3平面上八条线段可以将平面最多分成多少部分？4三个同样大小的正方形，摆在适当位置，最多可数出多少个正方形？5一个 33 的正方形钉阵，拔掉一个钉子后（如图） ，连接任意三点围成一个三角形，共能围成多少个三角形？（第 5 题）6数一数图中共有 线段。（第 7 题）（第 6 题）7数一数图中
4、共有 条线段。- 6 -8数一数图中共有 个小于 180。（第 8 题） （第 9 题）9数一数图中共有 个三角形。10数一数图中共有 个三角形。（第 11 题）（第 10 题）11数一数图中共有 个三角形。12数一数图中共有 个三角形。（第 12 题） （第 13 题）13数一数图中共有 个三角形。14数一数图中共有 个三角形。（第 14 题） （第 15 题）15数一数图中共有 个三角形。- 7 -第十二讲 尾数和余数知识：尾数和余数自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。例
5、1写出除 213 后余 3 的全部两位数。跟踪训练：（1）写出除 109 后余 4 的全部两位数。（2）178 除以一个两位数后余数是 3，适合条件的两位数有哪些？- 8 -（3）写出除 1290 后余 3 的全部三位数。例 2 （1）125 125 125 125，求 100 个 125 积的尾数是几？（2） （21 26） （21 26） （21 26） ，求 100 个（ 21 26）积的尾数是几？跟踪训练：（1）21 21 21 21，求 50 个 21 积的尾数是几？（2）1.5 1.5 1.5 1.5，求 200 个 1.5 积的尾数是几？- 9 -（3） （12 63） （12
6、63） （12 63） （12 63） ，求 1000 个（12 63）积的尾数是几？例 3 （1）4 4 4 4，求 50 个 4 积的个位数是几？（2）9 9 9 9，求 51 个 9 积的个位数是几？（3）用上面的方法可以发现，51 个 9 相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51 2 = 251余数是 1，说明 51 个 9 本乘积的个位是 9。- 10 -跟踪训练：（1）24 24 24 24，求 2001 个 24，积的尾数是多少？（2）1 2 3 98 99，积的尾数是多少？（3）94 94 94 94，求 102 个 94 - 49 49 49，求 101 个 49
7、，差的个位是多少？例 4把 化成小数，那么小数点后面第 100 位上的数字是多少？17跟踪训练：（1）把 化成小数，求小数点后面第 2001 位上的数字。- 11 -（2） 写成循环小数后，小数点后第 50 个数字是几？57（3）有一串数：5，8，13，21，34，55，89，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第 1000 个数被 3 除后所得的余数是多少？例 555555，直到 2001 个 5 时，其数除以 13，当商是整数时，余数是几？跟踪训练 1：4444，直到 100 个 4 时，其数除以 6，当商是整数时，余数是几？- 12 -跟踪训练 2：当商是整数时，余
8、数各是几？（1）6666 4（100 个 6）（2）4444 74（200 个 4）（3）8888 7（200 个 8）（4）1111 7（50 个 1）- 13 -第十三讲 平均数（一）知识：平均数（1）把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。（2）下面的数量关系必须牢记：平均数 = 总数量 总份数总数量 = 平均数 总份数总份数 = 总数量 平均数例 1小明、小军、小丁、小珍身高分别为 141 厘米，143 厘米，142 厘米，150 厘米。四人的平均身高是多少厘米？跟踪训练 1：把 40 千克苹果和 80 千克梨装在 6 个筐内（可以
9、混装） ，使每个筐装的重量一样。每筐应该装多少千克？- 14 -跟踪训练 2：吴蓓在四年级期末考试中，语文、数学、英语三科平均成绩是 96 分，已知语文 89 分，英语 100 分，那么数学是多少分？跟踪训练 3：第三小队 11 位少先队员参加跳绳比赛，他们每分钟跳绳的个数分别是92，86，92，87，90，94，91，88，89，92，89，求每个人平均每分钟跳绳多少个？例 2已知七个连续偶数的和是 84，求这七个连续偶数。跟踪训练 1：有两块小麦试验地，第一块 5 亩共收小麦 2170 千克，第二块 3 亩平均亩产 450 千克，两块地平均亩产多少千克？- 15 -跟踪训练 2：用每千克
10、22 元奶糖 3 千克，每千克 17 元的夹心糖 2 千克，每千克 14 元的椰子糖 1 千克，拌合成什锦糖，每千克什锦糖应售多少元？例 3某次数学考试，甲、乙的成绩和是 186 分，乙、丙的成绩和是 184 分，甲、丙的成绩和是 188 分，甲、乙、丙数学成绩各是多少分？跟踪训练 1：有七个数，这些数的平均数是 49，其中前四个数的平均数是 28，后四个数的平均数是60，那么第四个数是多少？跟踪训练 2：工路队前 4 天平均每天筑路 80 米，增加工人后，第 5 天筑路 100 米，求工程队这 5 天平均每天筑路多少米？- 16 -例 4笑笑上学期期末考试成绩：语文 80 分，音乐 88 分
11、，体育 84 分，美术 78 分，数学成绩比五科平均成绩高 6 分，笑笑数学得了多少分？跟踪训练：淘气在期末考试中语文、外语和自然的平均分是 81 分，数学成绩公布后，四门成绩的平均分提高了 2 分，淘气数学考多少分？例 5在一次登山比赛中，王军上山时每分走 40 米，到达山顶后按原路下山，每分走 60 米，王军上、下山平均每分走多少米?跟踪训练 1：在一次登山比赛中，小刚上山时每分钟走 40 米，18 分钟达到山顶,然后按原路下山，每分钟走 60 米，小刚往返的平均速度是每分多少米？- 17 -跟踪训练 2：甲乙两地相距 288 千米，一艘客轮从甲地顺水行驶 12 小时到达乙地，已知船速为每
12、小时20 千米，客轮从乙地逆水返回甲地时要用多少小时？例 6学校组织同学去旅行，同样价格的小点心小青买了 8 包，小红买了 7 包，小兰没有买。午餐时三个人把点心平均分吃。小兰算了算拿出 4.5 元交给她俩，小青应收回多少元？小红应收回多少元？跟踪训练 1：甲、乙、丙三人一起买了 8 个面包平均分着吃，甲拿出 5 个面包的钱，乙付了 3 个面包的钱，丙没付钱，等吃完结算，丙应付 4 角钱，那么甲应收回钱多少分？跟踪训练 2：甲乙丙三人共买 9 个面包平均分着吃，甲付了 5 个面包的钱，乙付了 4 个面包的钱，丙没有带钱，经计算，丙应付 4.5 元，甲应收回多少钱？- 18 -例 7甲、乙、丙、
13、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重 120 千克，甲、丙、丁三人共重 126 千克，丙、丁二人的平均体重是 40 千克。求四人的平均体重是多少千克？跟踪训练 1：1甲、乙、丙三人的平均年龄为 22 岁，如果甲、乙的平均年龄是 18 岁，乙、丙的平均年龄是 25 岁，那么乙的年龄是多少岁？跟踪训练 2：有两块棉田，平均每亩产量是 92.5 千克，已知一块地是 5 亩，平均每亩产量是 101.5 千克；另一块田平均每亩产量是 85 千克。这块田是多少亩？- 19 -第一部分1一台拖拉机，第一天耕地 78 亩，第二天上午耕地 49 亩，下午耕地 31 亩，第三天耕地 82 亩，平均每天耕地多少亩？2某
14、个车间制造机器零件，第一组 9 个人，一天一共做零件 180 个，第二组 6 个人，平均每人每天做15 个零件。两个小组平均每人每天做多少个零件？3有两块柑桔田，平均亩产量是 185 千克。已知一块田是 5 亩，平均亩产量是 203 千克，另一块田的亩产量是 170 千克，这块田是几亩？- 20 -4一次数学测验，甲、乙、丙、丁、戊 5 个同学的平均分要比丙、丁、戊 3 人的平均分少 4 分，甲、乙两人的平均分是 84 分。求 5 个同学的平均分数。56 个连续奇数的和是 120，求这 6 个连续奇数。6某次数学考试，甲、乙的成绩和是 184 分，乙、丙的成绩和是 187 分，丙、丁的成绩和是
15、 188 分，甲比丁多 1 分，求甲、乙、丙、丁各多少分？7新星服装厂第一季度平均每月生产服装 750 套，第二季度生产的是第一季度生产的 2 倍多 66 套，下半年平均每月生产 1200 套，新星服装厂一年的月平均产量是多少套？- 21 -86 个学生的年龄正好是连续偶数，他们的年龄之和与小玲的爸爸的年龄相同，这样七个人的年龄一共是 132 岁，那么 6 个学生的年龄各多少岁？第二部分一、填空题1已知 9 个数的平均数是 72，去掉一个数后，余下的数平均数为 78，去掉的数是 。2某班有 40 名学生，期中数学考试，有两名同学因故缺考，这时班级平均分为 89 分，缺考的同学补考各得 99 分
16、，这个班级中考平均分是 。3有 5 个数，其平均数为 138，按从小到大排列，从小端开始前 3 个数的平均数为 127，从大端开始顺次取出 3 个数，其平均数为 148，则第三个数是 。4某 5 个数的平均值为 60，若把其中一个数改为 80，平均值为 70，这个数是 。5如果三个人的平均年龄为 22 岁，年龄最小的没有小于 18 岁，那么最大年龄可能是 岁。6数学考试的满分是 100 分，六位同学的平均分是 91 分，这 6 个同学的分数各不相同，其中一个同学得 65 分，那么居第三名的同学至少得 分。7在一次登山比赛中，小刚上山时每分钟走 40 米，18 分钟达到山顶，然后按原路下山，每分
17、钟走 60米，小刚往返的平均速度是每分 米。8某校有 100 名学生参加数学考试，平均分是 63 分，其中男生平均分是 60 分，女同学的平均分是 70分，男生比女生多 人。9一些同学分一些书，若平均每人分若干本，还余 14 本，若每人分 9 本，则最后一人分得 6 本，那么共有学生 人。10有几位同学参加语文考试，赵峰的得分如果再提高 13 分，他们的平均分就达到 90 分，如果赵峰的得分降低 5 分，他们的平均分就只得 87 分，那么这些同学共有 人。11有四个数每次取三个数，算出它们的平均数再加上另一个数，用这种方法计算了四次，分别得到以下四个数：86，92，106 那么原 4 个数的平
18、均数是 。- 22 -二、分析解答题12今年前 5 个月，小明每月平均存钱 4.2 元，从 6 月起他每月储蓄 6 元，那么从哪个月起小明的平均储蓄超过 5 元?13A、B、C 、 D 四个数，每次去掉一个数，将其余下的三个数求平均数，这样计算了 4 次，得到下面 4 个数，23，26，30，33，求 A、B、C、D 四个数的平均数是多少？14 下 图 中 的 内 有 五 个 数 A、 B、 C、 D、 E， 内 的 数 表 示 与 它 相 连 的 所 有 中 的 平 均 数 。求 C 是 多 少？3 10EDCBA7（第 15 题）- 23 -15以 15 为首位数的连续 67 个自然数的平
19、均数是多少？16王师傅加工一批零件，前三天共加工 97 个，第四天加工的零件个数比这四天的平均数还多 11 个，第四天加工多少个？- 24 -第十四讲 平均数（二）知识：平均值（1）如何求平均数：把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的数就是平均数。（2）如果灵活的运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？下面的数量关系必须牢记：平均数 = 总数量 总份数总数量 = 平均数 总份数总份数 = 总数量 平均数例 1有 4 箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱 42 个，梨、橘子、桃平均每箱 36 个。苹果和桃平均每箱 37 个。求一箱苹果多少个？一箱桃多少个？跟
20、踪训练 1：一次考试，甲、乙、丙三人平均 91 分，乙、丙、丁三人平均 89 分，甲、丁二人平均 95分，问甲、丁各得多少分？- 25 -跟踪训练 2：甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两个组平均每组植 18 棵，甲、丙两组平均每组植 17 棵，乙、丙两组平均每组植 19 棵。三个小组各植树多少棵？例 2一次数学测验，全班平均分是 91.2 分；已知女生有 21 人，平均每人 92 分，男生平均每人 90.5分，求这个班男生有多少人？跟踪训练 1：两组同学进行跳绳比赛，平均每人跳 152 下。甲组有 6 人，平均每人跳 140 下，乙组平均每人跳 160 下，乙组有多少人？跟踪训练 2：把
21、甲级和乙级糖混在一起，平均每千克买 7 元。已知甲级糖有 4 千克，平均每千克 8 元，乙级糖有 2 千克，平均每千克多少元？- 26 -例 3五个数的平均数是 18，把其中一个数改为 6 后，这五个数的平均数是 16，这个改动的数原来是多少？跟踪训练 1：甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是 90 分。可是，甲在抄分数时，把自己的分数错抄成 87 分，因此算得的四人平均分为 88 分。求甲在这次考试中得了多少分？跟踪训练 2：有两块棉田，平均每平方米产量是 92.5 千克。已知一块田是 5 平方米，平均每平方米产量是 101.5 千克；另一块田平均每平方米产量是 85 千克，这
22、块田是多少平方米？例 4一位同学在期中测试中，除数学外，其它几门功课的平均成绩是 94 分，如果数学算在内，平均每门 95 分。已知他数学得了 100 分，问这位同学一共考了多少门功课？- 27 -跟踪训练 1：小明前五次数学测验的平均成绩是 88 分，为了使平均成绩达到 92.5 分，小明要连续考多少次满分？跟踪训练 2：小莉读一本小说，第一天读 74 页，第二天读 82 页，第三天读 71 页，第四天读 63 页，第五天读的页数比这五天中平均每天读的少 6 页，小莉第五天读多少页？例 5把五个数从小到大排列，其平均数是 38，前三个数的平均数是 27，后三个数的平均数是 48，中间一个数是
23、多少？跟踪训练 1：一个技术工带 4 个普通工人完成了一项工作，每个普通工人各得 200 元，这位技术工人的收入比他们 5 人的平均收入还多 80 元，问这位技术工人得多少元？- 28 -跟踪训练 2：把五个数从小到大排列，其平均数是 38，前三个数的平均数是 27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？1小宇与五名同学一起参加数学竞赛，那五名同学的成绩分别为 79 分、82 分、90 分、85 分、84 分，小宇的成绩比 6 人的平均成绩高 5 分，求小宇的数学成绩。2一位同学在其中测验中，除了数学外，其他几门功课的平均成绩是 94 分，如果数学算在内，平均每门 95 分。已知他数学得了
24、 100 分，问这位同学一共考了多少门功课？3小明前几次数学测验的平均成绩是 84 分，这次要考 100 分，才能把数学平均成绩提高到 86 分，问这是他第几次数学测验？- 29 -4老师带着几个同学在做花，老师做了 21 朵，同学平均每人做了 5 朵。如果师生合起来算，正好平均每人做了 7 朵，求有多少个同学在做花？5小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科平均成绩是 89 分，政治、数学两科平均91.5 分，语文、英语两科平均 84 分，政治、英语两科平均 86 分，英语比语文多 10 分。小亮各科成绩是多少分？6甲、乙、丙三个数的平均数是 82，甲、乙两数的平均数是 86，乙、丙两数的平均数是 77。乙数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？8甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重 120 千克，甲、丙、丁三人共重 126 千克，丙、丁二人的平均体重是 40 千克。求四人的平均体重是多少千克？- 30 -9小芳与四名同学一起参加一次数学竞赛，那四位同学的成绩分别为 78 分、91 分、82 分、79 分，小芳的成绩比五人的平均成绩高 6 分。求小芳的数学成绩。10两组同学跳绳，第一组有 25 人，平均每人跳 80 下，第二组有 20 人，平均每人比两组同学跳的平均数多 5 下，两组同学平均每人跳多少下？
