1、1第十二讲 最不利原则在生活中，要保证完成某一个任务，必须考虑最不利条件。只有用最不利条件下也能实现的做法，才可以使这个任务必能完成，这就是解决问题时要采用的最不利原则。因此，必须全面分析给定的条件，分析最不利的因素，然后选用万无一失的方法。本讲运用学生已有的数学工具（如枚举法、余数的妙用、可能性分析等） ，确定最不利的情况，培养学生严谨的思维习惯和应用现有知识解决实际问题的能力。1. 红桃、黑桃各 2 张，要保证从中摸出两张同色的，至少要摸出 张。2红桃、黑桃各 5 张，要保证从中摸出两张同色的，至少要摸出 张。3红桃、黑桃各 4 张，要保证从中摸出 3 张同色的，至少要摸出 张。解答两种颜
2、色的扑克，要摸出两张同色的，至少都要摸出 3 张，就能保证有两个扑克同色，在每种扑克数量足够多的情况下，与扑克的数量多少没有关系。摸出 3 张同色的，最不利的情形是先各摸出红、黑 2 张，再摸出 1 张，就肯定有 3 张同色的。1、3 张；2、3 张；3、5 张。例 1灰太狼抓住了懒羊羊。聪明的喜羊羊决定去营救懒羊羊。他对灰太狼说：“我知道你很聪明，那你有胆量和我比一下么？如果你赢了的话，那么我也愿意被你吃掉；如果你输了，请把懒羊羊放掉。 题目很简单，就是随意把 1 和 2分别填入下面立方体的格子中，使每个面上的 4 个数的和都不一样”灰太狼不假思索答应了。请问谁赢了？为什么？【解析】随意填
3、1，2，那么每个面上 4 个格子的 4 个数的和最小为 4，最大为8；4 到 8，共有 5 个数。而立方体有 6 个面。一定有相同的和。【例 2】120 名少先队员选举大队长，有甲、乙、丙三个候选人，每个少先队员只能选他们之中一个人，不能弃权。若前 100 票中，甲得 45 票，乙得 35 票，甲要当选至少还要（ ）张选票。【解答】丙已得 20 票.后面的 20 票即使全给丙不影响甲当选。最不利的情况是 20 票都给了乙。为了避免这种情况发生，甲还需得 6 票，就能保证当选。【例 3】某小学四年级的学生身高（都按整数厘米计算），最矮的是 138 厘米，最高的是 160 厘米。如果任意从这些学生
4、中选出若干人，那么至少要选出多少人，才能保证有 5 人的身高相同？【解析】138-160 中共有 22+1 个数（植树问题的应用）；最不利的情况是每一个厘米数都有 4 人。因此保证有 5 人身高相同，需要选 234+1=93 人。2【例 4】皮夹里有 2 元，3 元，4 元的邮票各 10 张，现在要寄一封 12 元邮资的信，不用眼睛看，从皮夹里抽出若干张邮票，为了保证从抽出的邮票中一定能凑出 12 元的邮票组合来，那么至少要抽出（ ）张邮票。【解析】先分析最有利的情况，取出 4 元 3 张；最不利的情况可能是取出 2 元 6 张；但这是最不利的情况吗？如果取出 2 元 5 张，3 元 1 张呢
5、？这种情况不能保证从抽出的邮票中一定能凑出 12 元的邮票组合来。但再取一张任意的 2，3，4 元可以保证完成任务。答案为 7 张。【例 5】一把钥匙只能开一把锁，现有 8 把钥匙和 8 把相配的锁，至少要试验多少次才能保证全部的钥匙和锁相匹配？分析：要保证匹配就要从最不利的情况考虑，也就是第一把钥匙试 7 次，如果都不成功，它必然和第八把锁匹配，所以第一把钥匙只试 7 次，同理，第二把钥匙在其余的 7 把锁中试 6 次，第三把试 5 次，第四把 4 次最后剩一把钥匙一把锁就不用试了。解：7+6+5+4+3+2+1=28（次）答：最少要试验 28 次才能保证全部的钥匙和锁相匹配。【例 6】若干
6、箱货物总重 15 吨，每箱重量在 290310 千克之间，今有载重量为 3 吨的汽车，至少需要多少辆，才能确保这批货物一次全部运走？【解析】最有利的情况：汽车的载重量是 3 吨。如果每箱的重量是 300 千克那么每辆汽车都是满载，即运了 10 箱。此时需要汽车 1535（辆）。如果装箱的情况不能使汽车满载，那么 5 辆汽车就不能把这批货物一次运走。为了确保把这批货物一次运走，需要从最不利的装箱情况来考虑。最不利的情况就是使每辆车运得尽量少，即空载最多。因为 31093000，所以每辆车至少装 9 箱。每箱 300 千克，每车能装 10 箱。如果每箱比 300 千克略多一点，比如 301 千克，
7、那么每车就只能装 9 箱了。此时，每车载重30192709（千克），空载 3000-2709291（千克）。注意，这就是前面所说的“最不利的情况”。前 5 辆汽车共空载 52913000，也就是说，按最不利的情况， 6 辆车可确保将这批货物一次运走。1、 一列 2 个小方格，每个方格中随意涂红黑两种颜色中的一种，当涂完第几列时，至少有 2 列是相同的？（有一列与另一列重复）。2、上海世博会的现场，建筑工人们正在努力的工作。为了保证工作餐的营养，工人叔叔每天的午饭是一个荤菜加上一个素菜。目前职工食堂的厨师会做 5 种荤菜，假如你是职工食堂的经理，请你想一想，至少需要多少种素菜才能保证一个月（按
8、31 天算）之内吃的午饭不重复。33、733 名小朋友参加 2009 年走美夏令营，这些小朋友中，至少有多少人是同月同日出生？4、一个同学用硬币掷着玩，每次掷四枚，而后他将四枚硬币是正面向上还是反面向上的结果记录下来，他一共掷了 14 次，在他记录的结果中至少有多少次是相同的？5、一排椅子只有 15 个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，他无论坐在哪个座位，都将与已就座的人相邻。问：在乐乐之前已就座的最少有几人？6、每场足球比赛分胜、负、平 3 种结果。英超每轮有 10 场比赛，给你 50000次机会，你一定能猜出所有比赛的正确结果吗？7.一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中
9、四种花色都有？1、有 5050 张数字卡片，其中一张上写着 1，2 张上写着 2，3 张上写着 3，100 张上写着 100。现在要从中抽取若干张，为了确保抽出的卡片中至少有 10 张以上的数字完全相同，至少要抽取（ ）张卡片。【解答】最不利的情况是1 张 1，2 张 2，3 张 3，9 张 9，9 张 10，9 张 11，9 张 100共计：1+2+3+9+991=864.至少要取 873+1=865.2、小明和小强玩一个猜数字的游戏。小明心里想一个 100 以内的数字，然后小强来猜。小强每猜一个数字，小明就告诉他，心里想的这个数比猜的这个数大还是小。请问小强至少要猜多少次才能保证猜到小明想的这个数字？（7次）3、有 1，2，3，4 的数字卡片各有 100 张，每次任意选其中 5 张卡片相加，至少选（ ）次才能保证有两次相加的和相等。4、口袋中放有红、黄、白、黑四种颜色的袜子各 10 只，只需用手摸，不许用眼看，至少要从口袋中取出（ ）只袜子，才能保证配成 5 双（一双指颜色相同的袜子两只）袜子。次序 正面个数 反面个数1 4 02 3 13 4
