1、计数原理基本知识点 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 种不同的方1m法，在第二类办法中有 种不同的方法，在第 n 类办法中有 种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆 那么2mn完成这件事共有 种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆1nN2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 种不同的方1m法，做第二步有 种不同的方法，做第 n 步有 种不同的方法，那么完成这件事2mm有 种不同的方法 奎 屯王 新 敞新 疆1nN3排列的概念：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素
2、中取出 个元素的一个排列 奎 屯王 新 敞新 疆n4排列数的定义：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫n做从 个元素中取出 元素的排列数，用符号 表示 奎 屯王 新 敞新 疆nmmnA5排列数公式： （ ）(1)2(1)nA ,Nmn6 奎 屯王 新 敞新 疆 阶乘： 表示正整数 1 到 的连乘积，叫做 的阶乘 奎 屯王 新 敞新 疆 规定 ! 0!17排列数的另一个计算公式： = 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆mn!()8 奎 屯王 新 敞新 疆 组合的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 个元素的一个组合 奎 屯王
3、新 敞新 疆n9组合数的概念：从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做n从 个不同元素中取出 个元素的组合数用符号 表示mmnC10组合数公式： (1)2(1)!nAC或 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆)!(mn),N且11 奎 屯王 新 敞新 疆 组合数的性质 1： 规定： ；mnC10n12组合数的性质 2： + 奎 屯王 新 敞新 疆n11二项式定理及其特例：（1） ，01() ()nnrnnabCabCbN （2） .rnnxx 2二项展开式的通项公式： 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆1rrT3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨
4、论对 的限制；求有理项时要r注意到指数及项数的整数性 奎 屯王 新 敞新 疆 4 奎 屯王 新 敞新 疆 二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当 依次取 时，二 项 式 系 数 表 ， 表 中 每 行 两 端 都 是()nabn1,23， 除 以 外 的 每 一 个 数 都 等 于 它 肩 上 两 个 数 的 和 奎 屯王 新 敞新 疆15二项式系数的性质：（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ ） 直线mnC是图象的对称轴2nr（2）增减性与最大值：当 是偶数时，中间一项 取得最大值；当 是奇数时，中间两n2nn项 ， 取得最大值1nC2（3）各二项式系数和： ，1(
5、)nrnnnxCx 令 ，则 奎 屯王 新 敞新 疆 奎 屯王 新 敞新 疆022rnnC 特别提醒1. 在运用二项式定理时一定要牢记通项公式 ，注意 与 虽1rnrTab()nab()na然相同，但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指 ，rnC而后者是指字母外的部分。2在使用通项公式 时，要注意：1rnrTCab（1）通项公式是表示第 r1 项，而不是第 r 项.（2）展开式中第 r+1 项的二项式系数 C 与第 r+1 项的系数不同.n（3）通项公式中含有 a，b，n，r，T 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求1r出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意 n 是正整数，r 是非负整数且 rn.
