1、函数的应用与三角函数教学解读,浙江省龙游中学 赖忠华,为什么改？ 改什么？怎么改？ 教什么？怎么教？ 学什么？如何学？ 教的怎样？学的怎样？,函数的应用,定 位,函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.通过本章内容的学习，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.通过学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系.,课程标准内容,1、结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系. 2、根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解
2、这种方法是求方程近似解的常用方法.,课程标准内容,3、利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义. 4、收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用.,课程标准内容,5、根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流.,本章目录,3.1 函数与方程阅读与思考 中外历
3、史上的方程求解信息技术应用 借助信息技术求方程的近似解 3.2 函数模型及其应用 信息技术应用 收集数据并建立函数模型 实习作业 小结 复习参考题,内容简介,1、函数与方程 2、阅读与思考 中外历史上的方程求解 3、信息技术应用 借助信息技术求方程的近似解 4、函数模型及其应用 5、信息技术应用 收集数据并建立函数模型 6、实习作业,知识结构,建立函数模型解决问题的过程,教材特点,1、激发学生的学习兴趣，增强学生的应用意识 2、函数模型的应用贯穿始终 . 3、重视数学思想，感受到数学文化. 4、使用信息技术，使学生经历更多的数学建模的过程. 5、创设问题情景，让学生在不断的观察、思考和探究的过
4、程中培养能力,课时分配,共9个课时，其中,3.1 函数与方程 约3课时 建议：3.1.1方程的根与函数的零点 约1课时3.1.2用二分法求方程的近似解 约2课时 3.2 函数模型及其应用 约4课时 建议：3.2.1几类不同增长的函数模型 约2课时3.2.2函数模型的应用实例 约2课时实习作业 约1课时小结 约1课时,教学要求： 基本要求：全体学生应在本节学习时掌握. 发展要求：有条件学生可在本节增补；全体学生在必修结束时掌握. 说明：主要注明不宜拓展（留待选修学习）的内容；超纲的内容、已删除的内容、限定深广度的内容等.,教学要求、重点、难点,基本要求 了解函数零点的概念，了解函数的零点与方程根
5、的联系. 理解并会应用连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. 能利用函数的图象和性质判断函数零点的个数. 了解二分法是求方程近似解的常用方法. 能够借助信息技术工具用二分法求函数的零点或方程的近似解.,1.1 函数与方程,发展要求 体验函数与方程、数形结合、算法等数学基本思想 .,说明 连续函数在某个区间上存在零点的判定方法，只要求学生理解并会应用，教学中不需要给出证明.,1.1 函数与方程,重点 通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.,难点 在利用“二分法”求方程的近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算.,1.1 函数
6、与方程,基本要求 理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义. 理解指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异. 能利用给定的函数模型解决实际问题；能建立确定性的函数模型解决问题；能选择适当的函数模型进行拟合实现问题解决；了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 初步掌握建立函数模型解决问题的过程和方法.,1.2 函数模型及其应用,发展要求 通过建立和运用函数基本模型，体验数学建模、拟合等数学基本思想，发展学生的创新意识和数学应用意识. .,说明,1.2 函数模型及其应用,重点 认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异.,难点 如何选择适当的函数模型分
7、析和解决实际问题.,1.2 函数模型及其应用,教学建议,1、帮助学生认识函数与方程的联系. 2、帮助学生弄清一次函数、指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异. 3、重视数学思想方法的渗透. 4、培养学生的应用意识，使学生认识数学的科学、人文价值，提高科学文化素养. 5、恰当使用信息技术. 6、控制难度，适可而止. 7、遵循从具体到一般的认识过程.,基本初等函数（三角函数）,定 位,三角函数是基本初函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用.在本模块中，通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用.,课程标准内容,1.了解任意
8、角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( , ,-的正弦、余弦、正切)，能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x的图象，了解三角函数的周期性.,4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在（- ， ）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）. 5. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1， .,课程标准内容,课程标准内容,6.结合具体实例，了解y=Asin（x+）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（x+）的图象
9、，观察A，对函数图象变化的影响.7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.,本章目录,1.1 任意角和弧度制 1.2 任意角的三角函数 阅读与思考 三角学与天文学 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图象与性质 探究与发现 函数y=Asin(x+)及函数y=Acos(x+)的周期探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质信息技术应用 利用正切线画函数 的图象 1.5 函数y=Asin(x+)的图象阅读与思考 振幅、周期、频率、相位 1.6 三角函数模型的简单应用 小结 复习参考题,内容简介,1、 任意角和弧度制 2、 任
10、意角的三角函数 3、 阅读与思考 三角学与天文学 4、 三角函数的诱导公式 5、 三角函数的图象与性质 6、 探究与发现 函数y=Asin(x+)及函数y=Acos(x+)的周期 7、 探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质 8、 信息技术应用 利用正切线画函数 的图象 9、 函数y=Asin(x+)的图象 10、阅读与思考 振幅、周期、频率、相位 11、三角函数模型的简单应用,知识结构,教材特点,1、数形结合思想贯穿始终. 2、突出三角函数在刻画周期变化现象中的地位和作用、过程和方法. 3、利用知识的发生发展过程提出问题，引导思考，训练思维，提高能力. 4、突出信息
11、技术的工具性.,课时分配,共16个课时，其中,1.1 任意角和弧度制 约2课时 建议：1.1.1 任意角 约1课时1.1.2 弧度制 约1课时,1.2 任意角的三角函数 约3课时 建议：1.2.1任意角的三角函数 约2课时1.2.2同角三角三数的基本关系约1课时,课时分配,1.3 三角函数的诱导公式 约2课时,1.4 三角函数的图象与性质 约4课时 建议：1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 约1课时1.4.2正弦函数、余弦函数的性质约2课时1.4.3正切函数的性质与图象 约1课时,1.5 函数y=Asin(x+)的图象 约2课时 1.6 三角函数的简单应用 约2课时复习与小结 约2课时,课时分
12、配,教学要求： 基本要求：全体学生应在本节学习时掌握. 发展要求：有条件学生可在本节增补；全体学生在必修结束时掌握. 说明：主要注明不宜拓展（留待选修学习）的内容；超纲的内容、已删除的内容、限定深广度的内容等.,教学要求、重点、难点,基本要求 认识角扩充的必要性，了解任意角的概念. 能用集合和数学符号表示终边相同的角. 能用集合和数学符号表示象限角. 了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. 认识弧长公式，能进行简单应用.,1.1任意角和弧度制,1.1任意角和弧度制,发展要求 能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.,说明 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.,重点 将0
13、至360范围的角推广到任意角，了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.,难点 弧度的概念，用集合来表示终边相同的角和象限角.,教学建议,1.1任意角和弧度制,基本要求 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 能判断各象限角的正、余弦，正切函数的符号. 理解终边相同的角的同一三角函数的值相等. 认识单位圆中任意角的正弦线、余弦线和正切线 理解同角三角函数的两个基本关系： sin2x+cos2x=1 ， ，能进行简单应用.,1.2任意角的三角函数,发展要求 利用单位圆中的三角函数线解决简单的三角问题 .,说明 用同角三角函数基本关系证明三角恒等式和求值计算，教学中不必作太多的拓展、补充 .,
14、1.2任意角的三角函数,1.2任意角的三角函数,重点 任意角的正弦、余弦、正切的定义，同角三角函数的基本关系.,难点 用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；利用与单位圆有关的有向线段，表示任意角的正弦、余弦、正切的函数值.,教学建议,基本要求 能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公 式 ，-的正弦、余弦、正切， 能进行简单地应用.,1.3三角函数的诱导公式,发展要求 掌握用单位圆中三角函数线研究三角问题的方法 .,说明 已知三角函数值求角问题，达到课本要求即可，不必拓展 .,1.3三角函数的诱导公式,重点 诱导公式的探究，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明.,1.3三角函数
15、的诱导公式,难点的诱导公式的推导.,教学建议,1.4三角函数的图象与性质,基本要求 能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象. 了解三角函数的周期性. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在0，2，正切函数在(- , )上的性质（单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）.,1.4三角函数的图象与性质,发展要求 掌握一种用计算机软件绘制函数图象的方法. 知道“五点法”画正、余弦函数. 了解y=cosx图象与y=sinx图象之间的联系.,说明 教学中根据学生基础选择画函数图象的方法.,重点 正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）.,难点 正弦函数和
16、余弦函数图象间关系、图象间的变换.,1.4三角函数的图象与性质,教学建议,1.5函数y=Asin(x+)的图象,基本要求 了解y=Asin(x+)的实际意义，能借助计算器或计算机画出它的图象，观察参数A，对函数图象变化的影响. 会用“五点法”画函函数y=Asin(x+)的图象.,1.5函数y=Asin(x+)的图象,发展要求 掌握参数A，对函数图象变化的影响规律. 掌握运用平移变换和伸缩变换把y=sinx的图象变换为y=Asin(x+)的图象的方法. 掌握函数y=Acos(x+)的图象与函数 y=Asin(x+)的图象的联系.,说明 教学中提倡用计算机辅助研究函数y=Asin(x+)图象.,1
17、.5函数y=Asin(x+)的图象,重点 用平移变换和伸缩变换画函数y=Asin(x+)的图象变换过程 .,难点 对图象变换与函数解析式变换的内在联系的认识.,教学建议,1.6三角函数模型的简单应用,基本要求 会用三角函数解决一些简单的实际问题. 初步学会由图象求出解析式的方法. 体验实际问题抽象为数学问题的过程. 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.,发展要求 能运用三角函数知识分析和处理实际问题 .,说明 教学中应突出三角函数的工具性，重点在引导学生建立三角函数模型 .,1.6三角函数模型的简单应用,1.6三角函数模型的简单应用,重点 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际
18、问题.,难点 将某些实际问题抽象为三角函数模型,教学建议,1、对终边相同的角的概念的认识；2、弧度制的认识，弧度与角度的互化，非特殊角的三角函数值的计算；3、任意角的三角函数的定义，用三角函数线表示正弦、余弦和正切函数；4、画三角函数的图象，用三角函数的图象研究三角函数的性质；5、画函数y=Asin(x+)的图象，探索A、对图象的影响；6、根据实际数据拟合函数图象,拟使用信息技术的部分内容,新课程教材中感到比较难教的章节,新课程教材中感到比较难教的章节,把握新课程教学理念,1、让学生经历数学知识的形成与应用过程. 2、鼓励学生自主探索、自主学习. 3、培养学生的创新精神和实践能力. 4、尊重学
19、生的个体差异，满足多样化的学习需要.,处理好几对矛盾,对象与内容 方法与内容 课时与内容 条件与内容,解决突出问题,1、课时问题 2、负担问题 3、师资问题 4、衔接问题 5、资源问题,几点建议,1、理解课标精神，把握教学要求. 2、切实做好课堂教学设计. 3、努力改善教与学的方式. 4、科学合理安排教学时间与内容.,立足实际，制定教学计划注重实效，开展学科教研深入实践，做好教学研究,谢谢！,新生心理上的不适应 三多：书多 课多 活动多 学生学习方法上的不适应 三大：阅读量大 活动量大 思维量大 学生对自主学习的不适应 两强：选择性强 自习性强,教学对象与教学内容之间的矛盾,稳扎稳打与螺旋体系
20、 “范例练习”与“问题引导”数学探究：问题串教学数学建模：数学应用题与数学建模,教学方法与教学内容之间的矛盾,教学课时与教学内容之间的矛盾,内容多需要时间 学科外部：课目多 学科内部：内容多 活动开展需要时间 衔接内容需要时间 模块化使得时间上缺乏灵活性,教学条件与教学内容之间的矛盾,大班教学的活动 信息技术的使用 信息技术与数学课程整合的基本原则：有助于理解数学；有助于学生主动探索；有助于提高兴趣.,值得注意的问题,容量过大，面面俱到. 注重通性通法. 在关注多种教学方式时，要关注形式与内容的有机结合. 在校本教研中特别应提高反思能力. 体现知识的“来龙去脉”，展示数学思想方法形成的过程.,
21、值得注意的问题,注重培养学生的应用意识介绍数学内容与其他学科、日常生活的联系；亲自利用数学解决一些实际问题；拓宽学生的视野，增长见识.,值得注意的问题,注重培养学生的创新精神鼓励学生提出问题；鼓励学生从多种角度寻求解决问题的方法；给学生思考的空间；为学生营造一个积极思路、探索创新的氛围；处理好基础与创新的关系.,值得讨论的问题,如何看待大容量、高强度的课堂教学？ 如何“合理”地使用“题型教学”？ 如何“合理”地安排三年的时间？ 如何看待“大运动量的练习”？ 如何使“课程内容”与多样的“教学方式”更好的统一起来？ 如何提高学习数学的效率？ ,把尊重带进课堂 把鼓励带进课堂 把方法带进课堂 把创造带进课堂,
