1、 1一 .常微分方程数值解问题 1.以 0.1h = 为步长，用欧拉法求初值问题 (0) 1ydyxeydxy= =的数值解，给出 (1)y 的近似值，精确到小数点后三位。 解答提示： (, )yf xy xe y=，问题的欧拉格式为 10(, ) 0.1( )1nynn nnn n ny yhfxy y xe yy+ =+ =+ =按照这样的公式进行计算，直到得出10y ，将其作为 (1)y 的近似值。计算的步骤是：012 10y yy y。 具体的计算过程请自己完成。 2.以 0.1h = 为步长，用预报校正格式求解初值问题 1(0) 1dyy xdxy=+=的数值解，给出 (1)y 的近
2、似值，精确到小数点后三位。 解答提示： (, ) 1f xy y x= + + ，问题的预报 -校正格式为 (0)1(0) (0)111 10(, ) 0.1( 1)1( , ) ( , ) 0.05( 1 1)21nn nnn nnnn nn nn n nn nnyyhfxyy xyyyhfxyfxy y xy xyy+ + =+ =+ +=+ + =+ + + +=按照这样的公式进行计算，直到得出10y ，将其作为 (1)y 的近似值。 计算的步骤是：(0) (0) (0)01 12 2 1 10yy yy y y y 具体的计算过程请自己完成。 3.(1) 叙述 Admas 外插公式；
3、2(2) 设ja 为 Admas 外插公式的系数，计算4a 的准确值。 解答提示： 常微分方程初值问题 00(, )()dyf xydxy xy=的近似解公式 1001,kjnn jnjjkyy afyy y+ =+ 称为 Admas 外插公式。 其中，10(1)jjtadj=就是 Admas 外插公式的系数。 (1)( 1)!ttt t jj j +=，特别地， 10t=，1tt=。 1100(1)( 1) 1(1) ( 1) ( 1)!jjtt tjadtjdjj+= = + + 1401(1)(2)(3)4!attttdt=+具体计算请自己进行。 4.(1) 叙述 Admas 内插公式；
4、 (2) 设*ja 为 Admas 内插公式的系数，计算*4a 的准确值。 解答提示： 常微分方程初值问题的近似解公式 1*11001,kjnn jnjjkyy afyy y+ +=+ 称为 Admas 内插公式，其中，00*111(1) ( 1) ( 1)!jjtadttjdtj j= = + + 。 0*411(1)(2)(3)4!attttdt=+3具体的计算请自己进行。 5.二级二阶 Runge-Kutta 格式为 111212221()(, )(, )nnnnnnyyhcKcKKfxyKfxahybhK+=+ +=+ +要求其局部截断误差为3()Oh ，确定系数12 221,ccab
5、所满足的条件，并具体地给出一个二级二阶 Runge-Kutta 格式。 解答提示： 格式的局部截断误差为 *11 12()()( )nn ne y x y xhcKcK+=+ 其中，*12,KK分别为12,KK中ny 替换为 ()ny x 所得。 根据一元函数的泰勒公式以及 (, )dyf xydx= ，有 2311( ) () (,() (,() (,()(,() ()2n n nn xnn ynn nny x yx fx yx h f x yx f x yx fx yx h Oh+= + + +*1(,()nnKfxyx= ， 2* *2 2 21 1 2 21 1*22 * *221 2
6、2121*22*222111( ,() ) (,() (,() (,()1 ( ,( ) ) 2 ( ,( ) )2(,() )n n nn xnn ynnxx n n xy n nnnyK fx ahyx bhK fx yx f x yx ah f x yx bhKf x a h y x b hK a h f x a h y x b hK a hb hKfx ahyx bhKbhK =+ + = + + + + + +=2221(,() (,() (,() (,() ()nn xnn ynn nnfx yx f x yx ah f x yx fx yx bh Oh+ +因此， *11 122
7、3212 2 2112()()( )1(,() (,() (,()(,() ()2( , ( ) ( , ( ) ( , ( ) ( , ( ) ( , ( ) ( )(1 ) ( , (nn nnn xnn ynn nnnn nn xnn ynn nnneyx yxhcKcKfxyx h fxyx fxyx fxyx h Ohchfx yx ch fx yx f x yx ah f x yx fx yx bh Ohccfxyx+=+=+ + + + + +=22322 22111) ( ) ( , ( ) ( ) ( , ( ) ( , ( ) ( )nxn ynnhacf x y xh c
8、bf x y x f x y xh Oh+ + +4根据31()neOh+= ，必须122222110102102ccaccb =，也就是122221 211212ccacbc + =。 令12 2211,12cc ab= =，就得到了预报 -校正格式： 1121211()2(, )(, )nnnnnny yhKKKfxyKfxhyhK+=+ +=+6.求二级二阶，三级三阶，四级四阶 Runge-Kutta 格式的绝对稳定区域。 (分别选一个作为代表，即可 )(补考用 ) 解答提示： 考虑对试验方程dyydx= 运用这些格式。作为课程设计问题之一，具体的步骤已经在上课的时候讲过，请自己写上。例
9、如，对于经典四级四阶 Runge-Kutta格式，我们如此求其绝对稳定区域。 经典四级四阶 Runge-Kutta 格式为 1123412132431(22 )6(, )11(, )2211(, )22(, )nnnnnnnnnny yhKKKKKfxyKfx hy hKKfx hy hKKfxhyhK+=+ + + +=+ +=+ +=+对于试验方程dyydx= ，其 (, )f xy y= ， 1(, )nn nKfxy y=， 2111211 1 1 1(, )( )22 2 2 21()2nn n n n nnKfx hy hK y hK y hK y hyhy =+ + =+ =+
10、=+=+ ， 52322223211 1 1 1 1(, )( ) ( )22 2 2 2 211()24nn n n n nnKfx hy hK y hK y hK y h hyhhy =+ + =+ =+ =+ +=+ + 23243332324311(, )( ) ( )2411()24nn n n n nnKfxhyhK yhK y hK y h h hyhh hy =+=+=+=+ +=+ + + 因此， 11234223223243232 43 22 33 441(22 )611 112( ) 2( ) ( )62 2411 1(6 3 ) (1 )6 4 2! 3! 4!nnnn
11、 n n nyyhKKKKy hy hy h hy h h hyyh hh hy h h h hy +=+ + + +=+ + + + + + + + +=+ + + + =+ + +给ny 一个扰动n ，将nnnyy=+代入，求得 22 33 4411122 33 44 22 33 4422 33 441111(1 )( )2! 3! 4!111 111(1 ) (1 )2! 3! 4! 2! 3! 4!111(1 )2! 3! 4!nn nnnnnyy h h h hyhh h hy hh h hyhhhh +=+=+ + + +=+ + + + + + + + =+ + + 因此， 22
12、 33 441111(1 )2! 3! 4!nnhh h h +=+ + + 为了使得格式绝对稳定，必须1nn+ ，也就是 22 33 441112! 3! 4!hh h h + + + 这就是格式的绝对稳定区域。 二抛物型方程的差分方程 1.(1) 简述用差分方法求解抛物型方程初边值问题的数值解的一般步骤。 (2) 写出近似一阶偏导数 ()nmux的三种有限差分逼近及其误差阶 ,写出近似 22()nmux的差分逼近及其误差阶。 解答提示： (1) 先构造微分方程的有限差分逼近。为此，首先将求解区域 用二组平行于坐6标轴的网格覆盖，选定适当的网格边长，用差商近似地替代偏导数，从而得到相应的差分
13、方程。 考虑原问题的初值条件和边值条件，从而得到差分方程的初始条件，并得到部分边界节点的函数值信息。 最后求解差分方程，其解就是微分方程的近似解。 （ 2） ()nmux的三种有限差分逼近为： 向前差商：1()nnn mmmuuuxh+向后差商：1()nnn mmmuuuxh中心差商：11()2nnn mmmuuuxh+假设 u 有所要求的各阶偏导数，由泰勒公式： 2222121() ( )12() ( )2nnnnmmnnmmmmuuhhuu uuxxhhhxx+ + =+因此，向前差商的误差为 ()Oh。 222 2121() ( )2 1() ( )2nn n nmm m mnnnnmm
14、mmuuuu h hxxuu uuhhhxx + + =+因此，向前差商的误差为 ()Oh。 221132311() () () ()221() ( )3!nn n nn nmm m mm mnnmmnnmmuu uuuh huh hxx xxuuhhuuhx x+ + + + + +=+ + 因此，中心差商的误差为2()Oh 。 1121112 2() ()2()nnnnnnmmmmnnnmmn mmmmuuuuuuuuuuxx h hxh h h+ + =711223 2323 232242211 11() ( ) ( ) 2 () ( ) ( )2! 3! 2! 3!2() ()4!nn
15、nmmmnn n n nnn n nmm m m mmm m mnnmmuuuhuu u uu uuh h huuh h hxx x xx xhuuhxx+ + + + + + + +=+ +因此，近似公式的误差为2()Oh 。 2.求 n阶矩阵方阵0110 110110S=% 的特征值。 解答提示： 此为对角矩阵，我们有如下结论： n阶三对角矩阵bcabcAabcab=% 的特征值为 122( ) cos1iajbccn =+， 1, 2, ,jn= 具体计算请自己进行。 3.设21224 22nnAnn n=“#%#“，求12,A AA。 解答提示： 直接根据三类矩阵范数定义，可以求得。
16、设 ()ij m nAa= ，则 111maxmijjniAa=，11maxnijimjAa=，2()HAAA= ，其中，TH TAAA=表示 A的共轭转置，当 A为实矩阵时，H TAA= 。 8这里特别要指出，()212 124 2 21, 2, ,2nnAnnn n n=“#%# #“其实是一个秩为 1 的矩阵。关于秩 1 矩阵，我们指出： A为 mn 的秩 1 矩阵当且仅当存在 m 维非零列向量 u 和 n维非零列向量 v，使得TA uv= 。 设 ,uv都是 n维非零列向量，TAuv= ，则1()mTmAvuA= 。关于其特征值和特征向量，有如下结论： 若 0Tvu ，则 A有 1n
17、重特征值 0，对应特征向量为 0Tvx= 的解，共 1n 个线性无关，又有单重特征值Tvu，对应特征向量为 u 。 若 0Tvu= ，则 A有 n重特征值 0，对应特征向量为 0Tvx= 的解，共 1n 个线性无关。 按照这个结论去解答问题，即可。 详解： ()212 124 2 21, 2, ,2nnAnnn n n=“#%# #“， ()()() ()()211 1122 221, 2, , 1, 2, , 1, 2, , 1, 2, ,121(1)(21) 1,2,6TAA A n n n nnn nnnn n nn = = = = + + # #， ()121, 2, , nn#的特征
18、值为 0（ 1n 重）和()1211, 2, , ( 1)(2 1)6nnnnn = + +#。 因此，21() (1)(21)6TAA nn n =+ ，21(1)(21)6Annn= +。 94.推导求抛物型方程2212,( , ) (0,1) (0, ),(,0) (),0 1,(0, ) ( ), (1, ) ( ),0uuxt Ttxux x xut tut t tT=的加权六点隐式格式，并确定其稳定性条件。 解答提示： 212exp( ) exp( )nnnmmmukukutx+= 221exp( ) exp(1 ) )nnmmku kuxx+= 221(1 ) (1 (1 ) )
19、nnmmku kuxx+ + = + + 左右两边各保留前两项，得到 2211() (1)()nnn nmmm muuuk u kx x+ 211222()nnnn mmmmuuuuxh+ +于是， 1111 1122(1 )nnn nnnmmm mmmuuu uuuuk u khh+ + + + 令2krh= ，就有 11111 11(1 2 ) ( ) 1 2(1 ) (1 ) ( )nnn n nnmmm m mmru ru u ru ru u + + 这样，就得到了加权六点隐式格式： 11111 11(1 2 ) ( ) 1 2(1 ) (1 ) ( )nnn n nnmmm m mm
20、rU rU U rU rU U + +=+ 用 Von Neumann 方法来判定其稳定性条件。令nnimhmlUe= ，代入方程，得到 11(1)1(1) (1)(1)(1 2 ) ( ) 1 2(1 ) (1 ) ( )nimh nim h nim h nimh nim h nim hlll l llre re e re re e + + =+ 11(1 2 ) ( ) 1 2(1 ) (1 ) ( )n ihihn n ihihnlll lr ree r ree + + =+ 1(1 2 2 cos ) 1 2(1 ) 2(1 ) cosnnllrr h r r h + =+因此，增长因
21、子为 102214(1 )sin1 2(1 ) 2(1 ) cos2(,)12 2 cos14 sin2hrrrhGkhrr hr +=+222222214(1 )sin2(,) 1 1 14(1 )sin 14 sin1 4 sin21 4 sin 1 4(1 ) sin 1 4 sin14(12)sin 2 (12)sin222hrhhGk r rhrhhhrrr + + 若12 ，21(1 2 ) sin 022hr，格式无条件稳定。 若12 ，由于2sin 12h ，为了使得格式稳定，必须1(1 2 )2r 。 这就得出了格式的稳定性条件。 三椭圆型差分方程 1.对于边值问题 2222
22、9,(,) (0,1)(0,1)|0uuxyxyu+= =（ 1）建立该边值问题的五点差分格式，推导截断误差的阶。 （ 2）取13h= ，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式并求解） 。 （ 3）就取15h= 的情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示） 。 解答提示： (1) 211222()nnnn mmmmuuuuxh+，112222()nnnn mmmmuuuuyh+ +11221122 2 222()() 9nnnnnnnnmmmmmmmmuuuuuuuuxy h h+ + + 因此，该边值问题的五点差分格式为 1111229nnnnnnmmmmmmUUuUUUhh+
23、+ = 也就是 11 21149nnnn nmmmm mUUUU Uh+= 11利用泰勒公式，可以得到 242112242 2() ()4!nnnnmmmmuuu uuhhxx+ = +112422242 2() ()4!nnnnmmmmuuu uuhhyy+ = +4222 2 22 2 2 44222 2 22 2 2 4(9 ) (9 )uu u u uux xx x y yx y y y = 11112224 242244 42244 49() () () () 94! 4!11()() ()12 6nnn nnnmmm mmmnn nnmm mmnn nmm muuuuuuhhuu
24、uuhhxx yyuu uhhxy x+ + =+ + + = + += + 因此，局部截断误差为2()Oh 。 (2) 取13h= ， 考虑 1n = ，则 1120141mmmmmUUUUU+ + =，112141mmmmUUUU+ + = 分别取 1, 2mm=，得到 112 1201 141UUU U+ =，12 121 141UU U+ =； 112 131 2 241UUU U+ =，12 112 241UU U+ =； 考虑 2n = ，则 223121141mmmmmUUUUU+ + =，22121141mmmmUUUU+ + = 分别取 1, 2mm=，得到 221 2201
25、 141UUU U+ =，21 221 141UU U+ = 221 231 2 241UUU U+ =，21 21241UU U+ = 令11 21 12 22(, , , )TUUUUU= ，这就得到一个方程组 1241 1 0 11401 110 41 1011 4 1U=容易求得方程组的解为1111(,)2222TU = 。事实上， 41101 22224 1111 21 4011 1 4011 140111 0 411 1 0 411 10 41 101141 01141 0114111 1 1 2 11 1 1 2 100 5 305103 011 4101503 0510301
26、1 41 0 1 50 3 100 5 301 1 4 1 011 4 100 4 20 8 001 5 200 4 4 4 001 1 1110002100 5 3100 5 31010 1 1 0100010 1 12001 5 2001 5 2 1001012000 6 3 000 12100012 (3) 同理可知，如果15h= ，则方程组为 AUK= ， K 为 16 维的全 1 列向量。 BIIB IAI BII B=， I 为 4 阶单位矩阵，4114 114 114B= 。 2.对于边值问题 222201 010,(,) (0,1)(0,1)|1,|0,| |1xx yyuux
27、yxyuuuu x= = += =（ 1）建立该边值问题的五点差分格式，推导截断误差的阶。 （ 2）取 3/1=h ，求边值问题的数值解。 （写出对应的方程组的矩阵形式） （ 3）就 5/1=h 和 Nh /1= 的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示） 。 解答提示： 13(1) 与上一题类似，只是改为齐次了。 (2) 与上一题类似，只是边界条件改了。 取13h= ， 考虑 1n = ，则 1120140mmmmmUUUUU+ + =， 分别取 1, 2mm=，得到 112 0 1201 1 140UUUU U+ =，12 1 1021 1 011541(1)33UU U UU+
28、 = = = ； 112 0 131 2 2 240UUUU U+ =，12 1 1012 2 322140()33UU U UU+ = = = ； 考虑 2n = ，则 223121140mmmmmUUUUU+ + =， 分别取 1, 2mm=，得到 2231 22011 140UUUU U+ =，21 2 2321 1 011541(1)33UU U UU+ = 2231 231 22 240UUUU U+ =， 21 2 2312 32214033UU U UU+ = = = 令11 21 12 22(, , , )TUUUUU= ，这就得到一个方程组 5341 1 011401310
29、41 53011 413U=(3) 15h= 时，系数矩阵为BIIB IAI BII B= ，4114 114 114B= 。 1hN= 时，系数矩阵为22(1)(1)NNBIIB IAIB IIB=% ，其中， 14(1)(1)4114 114 114NNB =% 。 3.用 Jacobi 迭代法求解线性方程组 123123123221322 5xxxxxxxxx+ =+=+ +=精确到小数点后三位数字。 解答提示： Jacobi 迭代格式 (1) () ()123(1) () ()213(1) () ()3122213225kkkkkkkkkxxxxxxxxx+ =+= +=+任取一个初始
30、值，例如(0)000x=，进行迭代，直到前后两次迭代值之差的范数，例如无穷范数小于310，即可。具体计算过程请自己完成。 4.用 Gauss-Seidel 迭代法解线性方程组 12 312312353 41236 41344513xxxxxxxxx+ +=+ +=+ +=精确到小数点后三位数字。 解答提示： Gauss-Seidel 格式 () ()(1) 231(1) ()(1) 132(1) (1)(1) 123341253413644135kkkkkkkkkxxxxxxxxx+ +=+= +=任取一个初始值，例如(0)000x=，进行迭代，任取一个初始值，例如(0)000x=，进行迭代，
31、直到前后两次迭代值之差的范数，例如无穷范数小于310，即可。具15体计算过程请自己完成。 四双曲型差分方程 1.用特征线法求解柯西问题 02() :0 1, 0uuyxyuux xy+= =解法提示： 其特征方程为 0ydy dx=，解为212y xC = 。在该特征线上，221dudy=，也就是12uyC=+。 特征线212yxC= 与 的交点为 (,0)C ， 200 111(,0) () ( )202uC u C ux y C C= =+=， 于是， 2101(, ) 2 2 ( )2uxy y C y u x y=+=+ 即为初值问题的解。 2.计算一阶线性方程柯西问题 2203yuu
32、x xyxyux=+ =+=的解析解在点 (3,19)之值。 解答提示： 其特征方程为230dy x dx=，特征方程的解为3y xC= + 。在特征线 3y xC=+上，原方程化为3dux yxxCdx= +=+，4211142ux xCxC= +。 在特征线3y xC=+上，当 0y = 时，3x C= 。于是， 322 4 233 3 33111(,0)() ()()42uC C C C CCCC=+ 这样，就得到 3333 332424 24111 142 24CC C CC C C= += + 16于是，在特征线3y xC=+上， 3342 42 2 4142 3 32 343311
33、 11 1 342 42 2 411 1 3() () ()42 2 4ux xCxC x xCx C Cxxyxx yx yx=+=+ +=+ 因此， 42 3 32 343311 1 3 59(3,19) 3 3 (19 3 ) 3 (19 3 ) (19 3 )42 2 4 4u =+ + + = 3.求柯西问题 21:0,0uuxu uxyuyx+= = 的解析解。 解答提示： 特征方程为 0xdy udx=， 在此特征线上，2du uudy u=， 因此，yuCe= 。 设特征线与 交点为0(,0)x ，则00(,0) 1ux Ce= = ， 1C = 。因此，问题的解析解为yuCe
34、= 。 4.求波动方程22222uuatx=的五点古典显格式 112 11220jjj jjjiii iiiuuu uuuah+ + = 的局部截断误差。 解答提示： 22222uuatx=，4222 2 22 2 2 422 24222 2 22 2 2 4() ()uu u u uuaa aaatttt x xt x x x = = = = 17112 112223 2323 232222211 11() ( ) ( ) 2 () ( ) ( )2! 3! 2! 3!11() ( ) (2! 3!jjj jjjiii iiijj j j jjj j jii i i iii i ijj ji
35、i iuuu uuuahuu u uu utt t tt tuuuh hxxa+ + +=+ +32222 4 4222444222 211)2()()()2! 3!2() () () ()4!2() () (4!jjjjjjiiiiiijj j jii i ijjiiuuuuhuuh h hxxxxhuu u uaatx t xuuaahOaxx+ + + + = + +=+=2)h5.求对流方程 0=+xuatu的 Lax-Friedrichs 格式 1111 112()02nnn nnmmm mmUUU UUakh+ + + = 稳定的条件。 (并入 6) 解答提示： 格式就是 111
36、1111()()22nnn nnmmm mmUUUarUU+ +=+ 应用 Von-Neumann 方法来判定稳定性比较方便。 nnimhmlUe= ，代入，得到 1 (1) (1) (1) (1)1122n imh nim h nim h nim h nim hlll lleeearee + +=+ 也就是 111()()(cossin)22nihihn ihihn nll l le e ar e e h iar h + =+ = 增长因子为 (,) cos sinGk hiar h = 22222(,) cos sinGk har h =+ 22222 22 2( , ) cos sin
37、1 sin sinGk har h ar h h =+ 因此，稳定性条件就是221ar ，也就是 1ar 。 186.叙述求解一阶双曲型方程00()tuuatxux=+ =的 Lax-Friedrichs 格式，并给出格式的稳定性条件。 解答提示：参考 5，即可！ 7.叙述求解一阶双曲型方程00()tuuatxux=+ =的 Leap-Frog 格式 (蛙跳格式 )，并给出格式的稳定性条件。 8.叙述求解一阶双曲型方程00()tuuatxux=+ =的 Lax-Wendroff 格式， 并给出格式的稳定性条件。 解答提示： Lax-Wendroff 格式为 12211 1 111()(2)22
38、nn nn n nnmm mm m mmUU arUU arU UU+ + = + + 用 Von-Neumann 方法来判定其稳定性。令nnimhmlUe= ，代入方程，得到 1 ( 1) ( 1) 2 2 ( 1) ( 1)11222n imh nimh nim h nim h nim h nimh nim hll l l l lleeare e are ee + = + + 12211( ) ( 2 ) (1 sin 2 sin )22 2n n ih ih n ih ih n nll l l lhare e ar e e iar h ar + = + + = 因此，增长因子为 22 2
39、(,) 12 sin sin2hGk ar iar h = 222 2 2 22 2 22 2 44 4 22 2 222 22 4( , ) (1 2 sin ) sin 1 4 sin 4 sin 4 sin (1 sin )22214 (1 )sin2h hhhhG k ar ar h ar ar arhar ar = + = + + = 为了2(,) 1Gk ，必须22 22 44(1 )sin 02har ar ，也就是221ar ，即 1ar 。 9.叙述求解一阶双曲型方程00()tuuatxux=+ =的 Grank-Nicolson 格式， 并给出格式的稳定性条件。 19解答提
40、示： Grank-Nicolson 格式为 11111 11() ()44nnnnnnmmmmmmUarUUUarUU+ += 用 Vo n - N e u ma n n 方法判定格式的稳定性。为此，令nnimhmlUe= ，代入方程，得到 11(1)1() (1)(1)44nimh nim h nim h nimh nim h nim hlllllleare e eare e+ +=， 11() ()44n ihihn n ihihnllar e e ar e e + = ， 111sin211sin2nnlliar hiar h +=+， 因此，增长因子为11sin2(,)11sin2iar hGkiar h=+，由于11sin2(,) 111sin2iar hGkiar h= =+，因此，格式无条件稳定。
