1、复变函数与积分变换试题与答案 一、填空题： （每题 3 分） 1. i31 的三角表达形式： ； 指数表达形式： ； 几何表达形式： . 2 =i2)3( ； 3. 设 Max=M Czzf |)(| ,L 为曲线 的长度，则 C zzfCd)( . 4级数 的和函数的解析域是 21nzz z+ + + +L L 。 5. 分式线性函数、指数函数、 幂函数的映照特点各是 。 二、 判断正确与错误（画对错号，每题 3 分） 1因为 |s ， 所以在复平面上in | 1z sin z有界。 （ ） 2、若函数 在 处解析， 则 也在 解析。 （ ） ()zf0z )()(zfn0z3如果 u(x,
2、y)， v(x,y)的偏导数存在， 那么 f(z)=u+iv可导。 （ ） 4在zo处可导的函数，一定可以在 zo的邻域内展开成罗朗级数。 （ ） 5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性 （ ） 三、解答题（每题 8 分） 1设22() if zxy x=+y，则 ()f z 在何处可导？何处解析？ 2 已知 f （ z ）的虚部为222121),( yxyxv += ，求解析函数. 0)0()( =+= fivuzf 且3.求积分 ,CI zdz=为沿单位圆 (|C | 1)z = 的逆时针一周的曲线。 24.求sind(1)Czzzznull，其中 C为 |2z = 。 5.求edcosz
3、Czznull，其中 为 |C 2z = 。 6把函数)2)(1(12+ zz在 2|1 z 内展开成罗朗级数。 37指出 6sin)(zzzzf=在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。 8.求将单位圆 | z | 1 内保形映照到单位圆 | w | 1 内， 且满足0)21( =f ，2)21(arg=f 的分式线性映照。 四、利用拉氏变换求解微分方程（ 6 分） （ 提示 ：=+1)0()0(34yyeyyyt11tLes=+） 4试题答案 一、填空题：（每题 3 分） 1. i31 的三角表达形式：222cos( 2)sin( 2)33ki k + + + ; 指数表达形式：
4、2(2)32kie+； 几何表达形式： |1 3i|2, =2(1 3i) ( 2 )3Arg k = + . 2 ； =i2)3(22 2ln3kie+3. 设 Max=M Czzf |)(| , L 为曲线 的长度，则 C ()dCf zzML. 4级数 的和函数的解析域是 |21nzz z+ + + +L L 1z 。 5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是：保圆性、保对称性、 ；带形域到角形域；角带形域到角形域。 二、 判断正确与错误（画对错号，每题 3 分） 1因为 |s ，所以在复平面上 siin | 1z n z有界。 （） 2、若函数 在 处解析，则 也在 解析。
5、（） ()zf0z )()(zfn0z3如果 u(x,y)，v (x,y)的偏导数存在，那么 f(z)=u+iv 可导。 （） 4在zo处可导的函数，一定可以在zo的邻域内展开成罗朗级数。 （） 5. 解析函数构成的保形映照具有保圆性 （） 三、解答题（每题 8 分） 1设22() if zxy x=+y，则 ()f z 在何处可导？何处解析？ 解：2222, , 2, 2,(0,0) ,() (0,0)uxyvxyuvu vy xxyxyy xCRfz= = = xy Q 处处可微,方程仅在 处成立在 处可导,处处不解析.2已知 f（z ）的虚部为222121),( yxyxv += ，求解
6、析函数 ()f zuiv=+, (0) 0f =且 解：22,(0) 0(0,0)1() ( ).2uv u vy xxy y xuxycffz xy ix y = = =+= QQ在 处可导,处处不解析.3.求积分 ,CI zdz=为沿单位圆 (|C | 1)z = 的逆时针一周的曲线。 5解：设 20(0 2 ), ,(3 ) 2iiiize dziedIeied i = =则分4.求sind(1)Czzzznull，其中 C为 |2z = 。 解：01sind(1)sin sin2 Re ,0 Re ,1(1) (1)sin sin2 | |21 212sin1Czzzzzzzzis s
7、zz zzizzi=+=+=null5.求edcoszCzznull，其中 为 |C 2z = 。 解：2222edcosee2Re ,Re , cos 2 cos 2ee2 112(e e)zCzzzzis sii =+=+=null6把函数)2)(1(12+ zz在 2|1 z 内展开成罗朗级数。 解：2222220012100 01(1)(2)11 252 1111 1 ( 2) 1521()211 ( 2) 1() (1)52 211(1)(1)52nnnnnnnnnnnnn nzzzzzzzzzzzzzzzz= += =+=+= += = + + 27指出 6sin()zfzz=z在
8、有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。 6解：63576sin() 0,1() ( )3! 5! 7!0()1Re ( ),0 .5!zzfzzzzfz zzzzfzsfz=+=QL的孤立奇点 = 为 的三阶极点,8.求将单位圆 | z | 1 内保形映照到单位圆 | w | 1 内， 且满足0)21( =f ，2)21(arg=f 的分式线性映照。 解：设分式线性映照为 112221211211 11()422 2|13(1 )22212iiizzzwezzzwe ezzwiz =+ = =Q四、利用拉氏变换求解微分方程（ 6 分） （ 提示 ：=+1)0()0(34yyeyyyt11tLes=+） 解：方程两边同时施加拉普拉斯变换，并代入初始条件得 222231( ) (0) (0) 4 ( ) (0) 3 ( ) ,11(4 3)() 5,166() ,(4 3)(1)173()244tt tSYs Sy y SYs y YssSS Ys ssssYsSS syt te e e+ +=+ +=+=+ =+7
